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云南省宣威市第三中学2024-2025学年上学期中考试
高二数学
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
2.在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，已知，，则的模为（ ）
A. 1 B. C. D. 3
4.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A. B. C. D.
5.已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知直线方程为，则其倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
8.两条平行直线：与：之间的距离是（ ）
A. 0 B. C. 1 D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A.
B. ，夹角的余弦值为
C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D. 在上的投影向量为
10.已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A. 圆和圆有两条公切线
B. 直线的方程为
C. 圆上存在两点和使得
D. 圆上的点到直线的最大距离为
11.已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 点到右焦点的距离的最大值为9
B. 焦距为10
C. 若，则的面积为9
D. 的周长为20
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为__________.
13.经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________.
14.过点的直线为，为圆与轴正半轴的交点．若直线与圆交于两点，则直线的斜率之和为______．
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，O，D分别是AB，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，且，求平面与平面所成角的余弦值．
16.已知的三个顶点，，．
（1）求边上中线所在直线的方程；
（2）已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标．
17.已知直线和以点为圆心的圆．
（1）求证：直线恒过定点；
（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长；
（3）设恒过定点，点满足，记以点、（坐标原点）、、为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点的坐标．
18.已知椭圆过点，焦距为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆交于异于的两点，直线分别与直线交于点两点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
19.已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为．
（1）求曲线、的方程；
（2）经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程．
一、单选题
1.【答案】C
【解析】由题意，得.
故选:C.
2.【答案】A
【解析】由题意可作出平行六面体，如图，
则，
即，故A正确.
故选：A.
3.【答案】B
【解析】，，则，
所以，
故选：B.
4.【答案】A
【解析】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为，
故选：A.
5.【答案】B
【解析】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线，
所以，整理得的方程为，
又点在直线上，且点满足方程，
综上所述，的方程为.
故选：B.
6.【答案】D
【解析】由题知直线斜率为，若直线的倾斜角为，则，
∵，∴，
故选：D．
7.【答案】C
【解析】由于直线过点，且倾斜角是，则直线的方程为，即.
故选：C.
8.【答案】B
【解析】，
两平行线间的距离为，
故选：B.
二、多选题
9.【答案】BCD
【解析】对于A，，，故A错误；
对于B，因为，，所以，，
，设与的夹角为，则，故B正确；
对于C，因为，所以，则，解得，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选:BCD．
10.【答案】ABD
【解析】对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；
对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.
故选：ABD.
11.【答案】AC
【解析】由椭圆的方程得：
.
对A当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确；
对B.焦距为B错误；
对C.由题意得：，①由椭圆定义得：，
即，②
②-①得：，的面积为，故C正确；
对D，的周长为，故D错误；
故选：AC.
三、填空题
12.【答案】
【解析】由题意设为三角形的边上的高，
而，
因为三点共线，
设，
因为，所以，
解得，
所以，
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
13.【答案】
【解析】双曲线为等轴双曲线，则可设方程为，
将代入可得，即，
故方程为，化为标准方程为.
故答案为：.
14.【答案】
【解析】由题意得：，
当直线斜率为时，与圆相切于点，不合题意；
设直线，，
由得：，
则，解得：，
，，
，
直线的斜率之和为.
故答案为：.
四、解答题
15.【答案】（1）证明　连接交于点E，连接OE，，
∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，∴．
∵平面，平面，∴平面．
（2）解　连接OC，
∵，∴为正三角形，∴，
∵，且，∴平面ABC，
∵△ABC是正三角形，∴CO⊥AB．
以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
由，可得．
则，，，
设平面的法向量为，
∴，即，
令，
∴，
设平面的法向量为，
∴，即，
令，∴，
设平面与平面所成的角为，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为．
16.【答案】解　（1）由题意中点，
所以所在直线的斜率，
所以所在直线的方程为，
即边中线所在直线的方程；
（2）因为，，所以，
，所以直线的方程为，即，
设点到直线的距离，则由题意，
所以点到直线的距离，
则点所在直线方程为或，
因为，，
所以，线段中点坐标为，
所以线段的中垂线为，即，
所以联立或，
所以点的坐标为：或.
17.【答案】（1）证明　将直线的方程化为，
由可得，故直线恒过定点.
（2）解　当时，圆心到直线的距离达到最大值，此时，直线被圆C截得的弦长最短，
此时，，所以，直线的斜率为，解得，
且，
此时，直线被圆截得的弦长最小，且其最小值为.
（3）解　由（1）可知，点，设点，
则，整理可得，
由可得，解得，
又因为点，由下图可知，当点的坐标为时，
点到轴的距离最大，此时，的面积最大，此时，四边形的面积取最大值，
即四边形的面积.
故当点的坐标为时，四边形的面积取最大值，且最大值为.
18.【答案】解　（1）由椭圆过点，焦距为，得，解得，
则椭圆的方程为.
（2）则消去并整理得，
此时，即，设，
则，
直线的方程为，令，得点的纵坐标，
即点，同理得点，
由，得，即，
于是，
整理得，
则，化简得，
解得或，
当时，直线的方程为，即，直线过定点，不符合题意；
当时，直线方程为，即，直线过定点，
所以直线经过定点.
19.【答案】解　（1）由题意知，点到直线的距离等于，
所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故曲线的方程为.
因为椭圆的长轴长，为椭圆的一个焦点，则，，
所以，，所以，曲线方程为.
（2）若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线的斜率必存在，则直线的方程为
由，整理得，则，
设、，则，，
所以，，则，
由，整理得，
则，
设、，则，，
所以，
，
因为，即，可得，解得，
所以，直线的方程为.

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