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（浙教版）七年级
下
单元复习
因式分解
第4章
“四”
知识框架
知识点1 因式分解
1.因式分解：
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
知识梳理
知识点1 因式分解
2.因式分解与整式乘法的关系：
知识梳理
因式分解 整式乘法
（1）由和差形式（多项式） 转化成整式的积的形式 （和差化积）。 （2）一种恒等变形。 （1）由整式的积的形式转化成和
差形式（多项式）（积化和差）。
（2）一种乘法运算。
典例精练
2.把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是(　　)
A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
B
1. 下列各等式中,从左到右是因式分解的为(　　)
A. -= B. 72=2×2×2×3×3
C. xy+x2=xy D. m3-=
D
知识点2 提取公因式法
1.公因式：
一般地,一个多项式中每一项都含有的相同
的因式,叫作这个多项式各项的公因式。
正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
知识梳理
知识点2 提取公因式法
2.提取公因式法：
如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法,叫做提取公因式法.
知识梳理
注意：提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
提取公因式法的一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.
知识点2 提取公因式法
3.添括号法则：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.
知识梳理
典例精练
1.下列代数式中，没有公因式的是(　　)
A．ab与b B．a＋b与a2＋b2
C．a＋b与a2－b2 D．x与6x2
2.多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是(　　)
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
B
C
3.将多项式－6a3b2－3a2b2因式分解时，应提取的公因式是(　　)
A．－3a2b2 B．－3ab C．－3a2b D．－3a3b3
A
知识点3 用乘法公式分解因式
1.用平方差公式分解因式：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
注意：公式中的字母 , 可以表示数、单项式或多项式.
知识梳理
能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
（1）只有两项（或两个整体）；
（2）两项都能用完全平方表示，即字母的指数是偶数，系数是完全平方数；
（3）两项符号相反（一项为正，一项为负）。
知识点3 用乘法公式分解因式
2.用完全平方公式分解因式：
； 。
两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方.
知识梳理
能用完全平方公式分解因式的多项式的特征：
符合完全平方式，即（1）多项式是三项；
（2）要有两个符号相同的平方项和一个交叉项；
（3）交叉项要等于两个平方项底数的积的2倍。
知识点3 用乘法公式分解因式
3.公式法：
一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法.
注意：公式中的a，b可以是数，也可以是整式.
知识梳理
典例精练
1.把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(　　)
A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2
C
2.分解因式：
(1)m2＋4m＋4＝________；
(2)x2＋2x＋1＝________．
(3)ax2－ay2＝___________________．
(m＋2)2
(x＋1)2
a(x＋y)(x－y)
提升训练
1. 有以下从左到右的变形:① x-3xy=x(1-3y);② (x+3)(x-1)=x2+2x-3.下列说法正确的是(　　)
A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解,②是乘法运算 D. ①是乘法运算,②是因式分解
2. 有下列多项式:① 2x2-x;② (2x+5)2-9;③ (x+1)2-4x(x+1)+4;
④ -4x2-1+4x.其中,分解因式的结果中含有相同因式的为(　　)
A. ①④ B. ①② C. ③④ D. ②③
C
A
3.若多项式x3＋x＋m含有因式x2－x＋2，则m的值是________．
4. 计算:6212-1482-769×373=　　　　.
5. 若x+y+z=2,x2-(y+z)2=8,则x-y-z=　　　　.
2
提升训练
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4
6.因式分解：
(1)x2－y2－2x－4y－3；
解：原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4)＝(x－1)2－(y＋2)2＝[(x－1)＋(y＋2)][(x－1)－(y＋2)]＝(x＋y＋1)(x－y－3)．
提升训练
(2)x4＋64.
解：原式＝x4＋16x2－16x2＋64＝(x4＋16x2＋64)－16x2
＝(x2＋8)2－(4x)2＝(x2＋4x＋8)(x2－4x＋8)．
7.已知4m＋n＝40，2m－3n＝5，求(m＋2n)2－(3m－n)2的值．
解：(m＋2n)2－(3m－n)2
＝(m＋2n＋3m－n)(m＋2n－3m＋n)
＝(4m＋n)(3n－2m)＝－(4m＋n)(2m－3n)，
当4m＋n＝40，2m－3n＝5时，
原式＝－40×5＝－200.
提升训练
8.如图，相邻两边长分别为a，b的长方形的周长为10，面积为6，求a3b2＋a2b3的值．
解：根据题意，
可得a＋b＝5，ab＝6，
∴a3b2＋a2b3＝a2b2(a＋b)＝(ab)2(a＋b)
＝36×5＝180.
提升训练
提升训练
9. 下面是小宇同学的学习笔记,请仔细阅读并完成相应的任务.
“拆项法”因式分解
在多项式乘法运算中,经过整理、化简,将几个同类项合并为一项.反过来,同样可以把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项),我们称此方法为“拆项法”.利用这种方法可以对多项式进行因式分解.
【例题分析】 因式分解:x2+4x+3.
解:原式=x2+x+3x+3……第一步
=(x2+x)+(3x+3)……第二步
=x(x+1)+3(x+1)……第三步
=(x+1)(x+3)……第四步
提升训练
任务:
(1) 上述材料中,多项式的变形过程中第三步到第四步运用的因式分解的方法是　　　　　　　;
(2) 将多项式 x2-6x+5分解因式.
提取公因式法
(2) x2-6x+5=x2-x-5x+5=(x2-x)-(5x-5)=x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5)
Thanks!
2
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