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2024－2025学年广东省广州市天河区汇景实验学校九年级（上）
月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.－3的绝对值是（ ）
A.3 B.－ C. D.－3
2.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.据统计，2024年国庆假日期间，广州市接待游客1441万人次，同比增长3.7%；接待出入境游客25万人次，同比增长50%．将数据1441万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根为0 D.没有实数根
5.等腰三角形的两边长分别是3和6，则这个三角形的周长为（ ）
A.12或15 B.15或17 C.12 D.15
6.元旦期间，某微信群每两个成员之间都单独互发一条祝福短信，共发出30条短信，设这个群的人数为x人则下列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是菱形的是（ ）
A.AD//BC，AB//DC，AD＝BC B.AB＝DC，∠ABD＝∠BDC，AD＝CD
C.AB＝DC＝AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
8.若方程的两个根分别为，则的值为（ ）
A.－ B.2 C. D.－2
9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）
A.7 B.8 C.10 D.12
10.如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ－DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11.在代数式中，x的取值范围是 ．
12.请写出一个一元二次方程，使它的两个根是2和1，则这个方程为 ．
13.点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的坐标是 ．
14.写出满足不等式组的一个整数解 ．
15.如图，二次函数的图象，则不等式的解集是 ．
16如图，二次函数的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论①；②；③；④若，则．其中正确的是： ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17、（4分）解方程：．
18、（4分）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAC＝∠EAD，AC＝AD．求证：△ABC≌△AED．
19、（6分）某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务“活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务””文明宜传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；
（2）请补全条形统计图；
（3在扇形统计图中，“敬老服务“所对应的圆心角为 度．
20、（6分）已知A＝
（1）化简A；
（2）若a，b满足，求A的值．
21、（8分）按照要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）尺规作图：连结CD，请作出CD的垂直平分线；
（2）在直线AB上作一点P，使得PC＋PD的值最小．
22、（10分）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝DC，E， F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点．
（1）连结EG， GF，FH， HE，请证明四边形EGFH是平行四边形．
（2）猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．
23.（10分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程，如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．
（1）求出a，b的值；
（2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
图1 图2
24.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（a，b为常数，），
（1）若抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当时，过点分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN；
（3）当，时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．
25.（12分）（1）【问题呈现】如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接GP并延长交DC于点H，连接PC．探究PG与PC的位置关系及的值（只写出结论，不需要证明）．
（2）【问题拓展】如图2，将问题（1）中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60°，其他条件不变，探究 PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明．
（3）【拓展延伸】如图3，将图2中的菱形 BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG在直线AB的下方，且边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否仍然成立？写出你的猜想并加以证明．

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