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(共14张PPT)
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第4课时 探索三角形全等的条件（4）
第4课时 探索三角形全等
的条件（4）
如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，添加 可以判定这两个三角形全等．与同伴进行交流．
问题：如果增加条件BC=EF，能判定△ABC≌△DEF吗？
AC＝DF或∠B=∠E或∠C=∠F
C
A
B
D
E
F
第4课时 探索三角形全等
的条件（4）
例4 如图，已知△ABC≌△A1B1C1 ，D与D1分别是BC、B1C1上的一点，且BD=B1D1.那么AD=A1D1吗？为什么？
A
B
D
C
A
1
B
1
D
1
C
1
解：AD=A1D1。
理由： 因为△ABC≌△A1B1C1
所以∠B=∠B1，AB=A1B1
在△ABD和△A1B1D1中
AB=A1B1
∠B=∠B1
BD=B1D1
所以△ABD≌△A1B1D1 (SAS)
所以 AD=A1D1
证明角相等、线段相等的基本方法：证明这两个角或两条线段所在的两个三角形全等。
创条件
证全等
得边角
自学检测：
全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线是否分别相等呢？
要求：先独立完成，然后小组内交流讨论，最后小组展示、点评.
1.已知：如图， △ABC≌△A'B'C' ，AD、 A'D' 分别是△ABC和△A'B'C' 的高． 那么AD = A'D'吗？请说明理由.
2．已知：如图，△ABC≌△A'B'C' ，AD、A'D' 分别是△ABC和△A'B'C' 的中线．那么AD = A'D'吗？请说明理由.
3．已知：如图，△ABC≌△A'B'C' ，AD、A'D' 分别是△ABC和△A'B'C' 的角平分线．那么AD = A'D'吗？请说明理由.
A
B
C
D
A'
B'
D'
C'
A
B
C
D
A'
B'
D'
C'
A
B
C
D
A'
B'
D'
C'
A
B
C
D
A'
B'
D'
C'
解： AD=A'D'.
理由： 因为△ABC≌△A'B'C'，
所以 ∠B=∠B' ，AB=A'B'.
因为 AD , A'D'分别是
△ABC和 △A'B'C'的高,
所以∠ADB=∠A'D'B'=90°
在△ABD和△A'B'D'中,
∠B=∠B',
∠ADB=∠A'D'B',
AB=A'B' ,
所以△ABD≌△A'B'D' (AAS),
所以 AD=A'D'
( 全等三角形的对应边相等).
解： AD=A'D'.
理由 ：因为△ABC≌△A'B'C'，
所以AB=A'B'，BC=B'C',∠B=∠B'.
因为AD，A'D'分别是△ABC和 △A'B'C'的中线，
所以BD= BC ， B'D'= B'C'，
所以 BD = B'D'.
在△ABD和△A'B'D'中，
AB=A'B'，
∠B=∠B'，
BD=B'D' ，
所以△ABD≌△A'B'D' (SAS)，
所以 AD=A'D'
( 全等三角形的对应边相等).
解： AD＝A'D'.
理由：因为△ABC≌△A'B'C'
所以AB=A'B'，∠B=∠B' ，
∠BAC=∠B'A'C' .
因为AD, A'D'分别△ABC和△A'B'C'的角平分线,
所以 ∠BAD= ∠BAC ,
∠B'A'D'= ∠B'A'C',
所以∠BAD =∠B'A'D'.
在△ABD和△A'B'D'中,
∠BAD =∠B'A'D' ,
AB=A'B' ,
∠B=∠B',
所以△ABD≌△A'B'D' (ASA),
所以AD＝A'D'
( 全等三角形的对应边相等).
全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线分别相等。
1.如图，① ∠1= ∠2;② ∠3= ∠4; ③AC=AD;④BC=BD;⑤ ∠C= ∠D,下面选项中能使△ABC≌ △ABD的有
（A） ① ②
（B） ① ③
（C） ① ④
（D） ① ⑤
（E） ② ⑤
（F） ③ ④
ASA
SAS
AAS
×
AAS
SSS
D
A
C
B
1
2
3
4
巩固训练
2．已知：如图，AB=AD，AF=AG，BF=DG,那么
吗？为什么？
一变：图变题不变，结论还成立吗？说明理由.
A
B
F
D
G
A
B
F
D
G
再变：题变图不变，你还会证明吗？请说明理由.
已知：如图，AB=AD，AF=AG，∠BAG=∠DAF
那么BF=DG 吗？为什么？
A
B
F
D
G
A
B
F
D
G
解：∠BAG=∠DAF.
理由：
在△ABF和△ADG中,
AB=AD,
AF=AG,
BF=DG,
所以△ABF≌△ADG（SSS),
所以∠BAF=∠DAG,
所以∠BAF+ ∠FAG =
∠DAG+ ∠FAG，
即∠BAG=∠DAF.
A
B
F
D
G
解：∠BAG=∠DAF.
理由：
在△ABF和△ADG中,
AB=AD,
AF=AG,
BF=DG,
所以△ABF≌△ADG（SSS),
所以∠BAF=∠DAG,
所以∠BAF－∠FAG =
∠DAG－ ∠FAG,
即∠BAG=∠DAF.
A
B
F
D
G
解：BF=DG.
理由：
因为∠BAG=∠DAF，
所以∠BAG+ ∠FAG =
∠DAF+ ∠FAG，
即∠BAF=∠DAG，
在△ABF和△ADG中，
AB=AD，
∠BAF=∠DAG，
AF=AG，
所以△ABF≌△ADG（SAS),
所以BF=DG.
拓展延伸
1．已知：如图，AB=AD ， BC=DC那么∠B=∠D 吗？为什么？
解：∠B=∠D.
理由：连接AC,
在△ABC和△ADC中,
AB=AD,
BC=DC,
AC=AC,
所以 △ABC≌△ADC（SSS),
所以∠B=∠D.
A
B
C
D
2．如图，已知AB=DC ， AC=DB ， 那么∠BAC=∠CDB吗？为什么？
思考：在上面的证明过程中，需要作怎样的辅助线，它的作用是什么？
解：∠BAC=∠CDB.
理由：连接BC,
在△ABC和△DCB中,
AB=DC,
BC=CB,
AC=DB,
所以 △ABC≌△DCB（SSS),
所以∠BAC=∠CDB.
A
B
C
D
第4课时 探索三角形全等
的条件（4）
今天这节课，我们有哪些收获？
1.全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线分别相等；
2.灵活应用4种判定方法来解决简单几何问题；
3.对数学转化思想的的理解与认识。(共11张PPT)
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第2课时 探索三角形全等的条件（2）
第2课时 探索三角形全等
的条件（2）
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗 如果可以,带哪块去合适
你能说明其中的理由吗
两角夹一边
两角及其中一角的
对边
三边（SSS）
两角及一边
两边及一角
三个角
四种可能
如果给出三个条件画三角形,有
（分类思想）
第2课时 探索三角形全等
的条件（2）
探索两角及夹边
（1）已知三角形的两个内角分别是 和 ,它们所夹的边为2cm,
你能画出这个三角形吗
你画的三角形与同桌画的一定全等吗
2cm
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”.
探索两角和其中一角的对边
已知三角形的两个内角分别为 和 ,一条边长为3cm,
(1)如果 角所对的边为3cm,你能画出这个三角形吗
(2)如果 角所对的边为3cm,你能画出这个三角形吗
3cm
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
（这里的条件与1中的条件有什么相同点和不同点？能转化成1条件吗）
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以
只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的
三角形模具吗 如果可以,带哪块去合适
你能说明其中的理由吗
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
例: 如图,O是AB的中点， = ， 与 全等吗
为什么？
小明
两角及其夹边对应相等
(已知)，
(中点的定义)，
(对顶角相等)，
在 中，
1.图中的两个三角形全等吗 请说明理由.
因为两角和其中一角的对边对应相等
的两个三角形全等.
A
B
C
D
(已知)，
(已知)，
(公共边)，
在△ABC和△DBC中，
所以△ABC≌△DBC（AAS）.
2. 已知在 和 中, ∠B = ∠C，AB=AC.
求证: (1) ;
(3) AB=AC;
(4) BD=CE.
证明:
(2) AE=AD ;
所以AE=AD(全等三角形对应边相等),
(已知)，
(已知)，
(公共角)，
所以AB=AC(全等三角形对应边相等),
所以AB-AD=AC-AE(等式的性质),
所以BD=CE.
所以△ABE≌△ACD（ASA），
在△ABE和△ACD中，
3.在△ABC中，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，BE=CF，求证：BD=CD.
证明：因为BE⊥AD，CF⊥AD，
所以∠BED=∠CFD=90°.
所以△BDE≌△CDF（AAS）.
所以BD=CD（全等三角形对应边相等）.
第2课时 探索三角形全等
的条件（2）
(1) 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”.
(2) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
知识要点：
（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），
角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
数学思想：
要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。(共11张PPT)
3 探索三角形全等的条件
第3课时 探索三角形全等的条件（3）
第四章 三角形
因铺设电线的需要，要在池塘两侧A，B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A，B两点的距离，现有一足够长的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A，B两杆之间的距离。。
小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连接AC并延长至点D，使AC=DC，连接BC并延长至点E，使BC=EC，连接DE，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。
第3课时 探索三角形全等
的条件（3）
到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？
答：边边边（SSS）角边角（ASA）角角边（AAS）
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？
答：两边一角相等
那么有几种可能的情况呢？
答：两边及夹角或两边及其一边的对角
第3课时 探索三角形全等
的条件（3）
做一做
（1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40° ，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
3.5cm
2.5cm
40°
A
B
C
3.5cm
2.5cm
40°
D
E
F
(2)若两边的夹角为20 °，画一个三角形。
再换一个30 °试一试，情况会怎样呢？
3.5cm
2.5cm
20°
E
F
D
A
B
C
结论：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”
例3、 如图，已知AB与CD相交于点O，OA=OB，OD=OC。△AOD和△BOC全等吗？说明理由。
解：△AOD≌△BOC.理由如下：
在△AOD和△BOC，
因为∠AOD和∠BOC是对顶角，
所以∠AOD=∠BOC.
又OA=OB，OD=OC，
根据SAS，可得△AOD≌△BOC.
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
A
B
C
D
E
F
2.5cm
3.5cm
40°
40°
3.5cm
2.5cm
结论：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等
练一练：分别找出各题中的全等三角形
A
B
C
40°
40°
D
E
F
(1)
D
C
A
B
(2)
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
△ADC≌△CBA 根据“SAS”
小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连接AC并延长至点D，使AC=DC，连接BC并延长至点E，使BC=EC，连接DE，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。
AC=DC
BC=EC ∠ACB=∠DCE
△ACB≌△DCE
AB=DE
小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。
E
F
D
H
△EDH≌△FDH 根据“SAS”，所以EH=FH
第3课时 探索三角形全等
的条件（3）
1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？
答：边角边（SAS）
2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？
答：SSS、SAS、ASA、AAS
3、在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？
答：至少有一个条件：边相等
注意哦！
“边边角”不能判定两个三角形全等(共21张PPT)
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第1课时 探索三角形全等的条件（1）
第1课时 探索三角形全等
的条件（1）
如图，
A
B
C
E
F
G
已知：如图，ΔABC≌ΔEFG.
找出图中相等的边和角.
答：AB=EF, AC=EG, BC=FG,
∠A= ∠E, ∠C= ∠G, ∠ B=∠ F.
找一找
第1课时 探索三角形全等
的条件（1）
小颖作业本上画的三角形被墨迹污染了，她想画一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办？请你帮助小颖想一个办法，并说明你的理由？
注意：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角形全等的三角形.
问题引入
要画一个三角形与小颖画的三角形全等。需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件行吗？两个条件呢？三个条件呢？
让我们一起来探索三角形全等的条件
想一想
1.只给出一个条件（一条边或一个角）画三角形时,画出的三角形一定全等吗？
3cm
3cm
3cm
做一做
1.只给出一个条件（一条边或一个角）画三角形时，画出的三角形一定全等吗？
45
45
45
做一做
（1)三角形的一个内角、一条边分别相等;
（2)三角形的两个内角分别相等;
（3)三角形的两条边分别相等.
2.给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？
三角形的一个内角为30°,一条边为3cm
30
3cm
3cm
3cm
30
30
3.给出两个条件时, 所画的三角形一定全等吗
30
30
50
50
4.给出两个条件时, 所画的三角形一定全等吗
如果三角形的两个内角分别是30°,50°时
5.给出两个条件时, 所画的三角形一定全等吗
如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
6cm
6cm
4cm
4cm
只给出一个条件或两个条件时,
都不能保证所画出的三角形全等。
结论：
若给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能情况
都给角：给三个角
2.都给边：给三条边
3.既给角，又给边：
（1）给一条边，两个角
（2）给两条边，一个角
议一议
已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°，80°，请画出这个三角形.
结论：三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.
1.给出三个角
做一做
已知三角形的三条边分别为4cm，5cm和7cm，请画出这个三角形。
边边边公理：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
2.给出三条边
做一做
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
用法:
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△DEF中，
所以 △ABC≌△DEF（SSS).
因为AB=DE，
BC=EF，
AC=DF，
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线.
△ABD与△ACD全等吗？为什么？
A
B
C
D
证明：在△ABD和△ACD中，
因为AD是△ABC的中线，
所以BD=CD.
又因为AB=AC，AD=AD，
根据SSS，
所以△ABD≌△ACD.
例2（补充）如图，当 AB=CD，BC=DA时，图中的△ABC与△CDA是否全等？并说明理由。
解:△ABC与△CDA是全等三角形.理由：
在△ABC和△CDA中，
所以△ABC≌△CDA
（SSS）.
因为AB=CD，
AD=CB，
AC=CA，
能。AB∥CD，AD∥BC.
变式：如图，当 AB=CD，BC=DA时，你能说明AB与CD，AD与BC的位置关系吗？为什么？
1
2
3
4
举一反三
所以∠3=∠4，∠1=∠2
(全等三角形对应角相等），
∴AB∥CD，AD∥BC
（内错角相等，两直线平行）.
证明：
在△ABC与△CDA中，
所以△ABC≌△CDA
（SSS），
因为AB=CD，
AD=CB，
AC=CA，
1
2
3
4
举一反三
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗 为什么
答：不一定全等.
比如右边的两图，满足上述条件，但不全等.
练一练
第1课时 探索三角形全等
的条件（1）
只给出一个条件或两个条件时,都不能保证两个三角形全等。
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等。
边边边公理:三边分别相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”。
三角形具有稳定性。
1.通过这节课的学习活动你有哪些收获？
你还有什么想法吗？

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