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(共19张PPT)
2 简单的轴对称图形
第1课时 简单的轴对称图形（1）
第五章 图形的轴对称
说一说下列图形哪些是轴对称图形？
第1课时 简单的轴对称图形（1）
线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？
A
B
探索1
第1课时 简单的轴对称图形（1）
按照下面的步骤做一做：
（1）在纸片上画一条线段AB，
A
B
对折AB使点A，B重合，
折痕与AB的交点为O；
O
（2）在折痕上任取一点C，沿CA将纸折叠；
C
（3）把纸展开，得到折痕CA和CB。
A
O
B
C
做一做
C
A
O
B
C
（1）CO与AB有怎样的位置关系？
（2）AO与BO相等吗？CA与CB呢？能说明你的理由吗？
垂直
AO=BO
CA=CB
想一想
（3）在折痕上另取一点，再试一试。
小 结
1、线段是轴对称图形
A
B
A
B
它的一条对称轴就是
对折后能使之完全重合的那条折痕 。
2、线段的对称轴过线段AB的 点。
中
O
3、线段的对称轴与线段AB 。（位置关系）
垂直
4、线段的对称轴上的任意一点C到线段AB的两端点A,B的距离______。
C
相等
A
B
A
B
O
线段的对称轴经过线段的
中点且垂直于这条线段。
C
线段的对称轴上任意一点到这条线段的两端点的距离相等。
A
B
1 线段的对称轴是这条线段的垂直平分线。
O
2 垂直平分线是垂直且平分线段的一条直线。
线段的垂直平分线
3 垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
探索2
如图，已知线段AB，画出它的垂直平分线.
做一做
如图，已知线段AB，画出它的垂直平分线.
作法：(1)以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧；
(2)以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点记为C，D；
(3)经过点C，D作直线CD．
直线CD即为所求．
拓展
1 如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线．
能否利用画线段垂直平分线的方法解决呢？试试看，完成整个作图．
试一试
以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A，B两点，则C是线段AB的中点．因此，过C画直线l的垂线转化为画线段AB的垂直平分线．
2.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？
试一试
(3)以点B为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点D．
作法：(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l于点A,B.
(2)以点A为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧．
(4)经过点C,D作直线CD．
则直线CD即为所求．
练习
1.在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE=6，求△BCE的周长．
解：因为DE是线段BC的垂直平分线,
所以EC=EB=6,
所以△BCE的周长为EB+EC+BC=6+6+10=22.
大胆尝试，练一练！
2. 如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=_______cm, DA=____cm.
4
6
大胆尝试，练一练！
3. 如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于点D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.
A
B
C
D
E
26
大胆尝试，练一练！
4. 如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果
AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是（ ）
∟
A
D
E
B
C
M
N
A. 6 cm
B. 7 cm
C. 8 cm
D. 9 cm
D
大胆尝试，练一练！
小结
1. 垂直于一条线段并且平分它的直线叫这条线段的垂直平分线。
2. 线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的一条对称轴 .
3. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 .
第1课时 简单的轴对称图形（1）(共20张PPT)
2 简单的轴对称图形
第2课时 简单的轴对称图形（2）
第五章 图形的轴对称
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
第2课时 简单的轴对称图形（2）
C
结论：
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
A
B
O
有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将点A放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？
第2课时 简单的轴对称图形（2）
证明：在△ACD和△ACB中，
AD=AB（已知），
DC=BC（已知），
CA=CA（公共边），
所以 △ACD≌ △ACB（SSS），
所以∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等），
所以AC平分∠DAB（角平分线的定义）.
A
D
B
C
E
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
A
B
C
E
N
O
M
C
E
N
M
用尺规作角的平分线的方法
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．
３．作射线OC．
则射线OC即为所求．
　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心，大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于点Ｃ．
探究：
将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
猜想:
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE。
证明：因为 PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
所以∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）.
在△PDO和△PEO中,
所以 PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
∠ PDO= ∠ PEO, ∠ AOC= ∠ BOC, OP=OP,
所以△ PDO≌ △ PEO（AAS）,
D
P
E
A
O
B
C
验证猜想
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线上的点到角两边的距离相等。
由此得到角平分线的性质：
利用此性质怎样书写推理过程
定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
因为 ∠1= ∠2,
PD ⊥OA ，PE ⊥OB,
所以PD=PE
(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
角平分线的性质
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
O
A
B
C
E
D
P
辨一辨
如图，OC平分∠AOB，PD与PE相等吗？
（1）如图，因为AD平分∠BAC（已知），
所以 = ，( ) 。
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
（×）
判断：
（2） 如图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB （已知），
所以 = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
（3）因为 AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
所以 = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（√）
不必再证全等
如图， 因为 OC是∠AOB的平分线，
又 ________________
所以PD=PE ( 角的平分线上的点到角的两边的距离相等).
PD⊥OA，PE⊥OB，
B
O
A
C
D
P
E
练一练
已知在△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠ CAB,且
BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
A
B
C
D
E
你会吗？
思考：
◆这节课我们学习了哪些知识？
1.“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2.角的平分线的性质; 3.角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
因为OC是∠AOB的平分线,
又 PD⊥OA,PE⊥OB，
所以 PD=PE (角的平分线上的点
到角的两边距离相等).
E
D
O
A
B
P
C
几何语言:
第2课时 简单的轴对称图形（2）(共21张PPT)
2 简单的轴对称图形
第3课时 简单的轴对称图形（3）
第五章 图形的轴对称
观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,能找出对称轴吗？
第3课时 简单的轴对称图形（3）
认识等腰三角形
有两条边相等的三角形叫等腰三角形
(
（
顶角
底角
底角
腰
腰
底边
)
生活中的等腰三角形
1.等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。
2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在直线呢？
4.沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由。
思考
第3课时 简单的轴对称图形（3）
拿出你的等腰三角形纸片，折折看，你能发现什么现象？
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？
看看你本组其他同学的情况,共同交流, 能得出什么结论
小组合作交流
(1)等腰三角形是轴对称图形;
(2)∠B =∠C ;
(3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线;
(4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高;
(5 )BD=CD，AD为底边上的中线。
A
B
C
D
归纳现象：
A
B
C
D
现象(3)、(4)、(5)能用一句话归纳出来吗？
现象(2)能用一句话归纳出来吗？
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）
A
B
C
D
三线合一
在ΔABC中,因为 AD是角平分线,
所以∠BAD=∠CAD。
在ΔABD和ΔACD中,
AB=AC,
∠BAD=∠CAD,
AD=AD，
所以ΔABD≌ΔACD，
所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90 ，
所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。
1.等腰三角形是轴对称图形
3.等腰三角形的两个底角相等。
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
三边都相等的三角形是等边三角形也叫正三角形.
（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴.
（2）你能发现它的哪些特征？
折叠一下试试！
想一想
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°。
议一议
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流。
如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴。
随堂练习1
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，顶角∠A=100°那么底角∠B=_______∠C =_______ .
40°
40°
2. 在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么
∠A=______
3. 在等腰三角形ABC中，有一个角为50°，那么另外两个角分别是多少？
B
C
A
36°.
随堂练习2
4.如图，在△ABC中，AB=AC时，
(1)因为AD⊥BC,
所以∠ ____= ∠_____;____=____.
(2) 因为AD是中线,
所以____⊥____; ∠_____=∠_____.
(3) 因为 AD是角平分线,
所以____ ⊥____; _____=____.
BAD
CAD
CD
BD
AD
BC
BAD
CAD
AD
BC
BD
CD
A
B
C
D
5. 若 ΔABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）
A. 某一条边上的高
B. 某一条边上的中线
C. 平分一角和这个角的对边的直线
D. 某一个角的平分线
C
6.已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并且它的周长为16cm,求这个等腰三角形的各边长。
解：设三角形的底边长为xcm,则其腰长为 (x+2)cm，根据题意，得
2(x+2)+x=16，
解得 x=4.
所以等腰三角形三边长为4cm，6cm，6cm.
如图，P，Q是△ABC边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。
A
P
B
C
Q
开动脑筋
1. 等腰三角形的性质。
2. 等边三角形的性质。
3. 相关计算。
第3课时 简单的轴对称图形（3）(共13张PPT)
第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形
第4课时 简单的轴对称图形（4）
第4课时 简单的轴对称图形（4）
上节课我们学习了等腰三角形和等边三角形的哪些性质？
等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形。
3.等腰三角形的两个底角相等。
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°
等腰三角形还有哪些性质，大家知道吗？
1、议一议
如果一个三角形有两边相等，那么这两边所对的角也相等。反过来怎么说？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
这句话对吗？
第4课时 简单的轴对称图形（4）
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，AD是BC边上的高，那么△ABD和△ACD全等吗？边AB和AC相等吗？
证明：因为AD⊥BC，
所以∠ADB=∠ADC=90 °.
又∠B=∠C ，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD（AAS），
所以AB=AC，
即△ABD和△ACD全等，AB=AC.
结论：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.
2、想一想
（1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是什么三角形？
（2）如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么这个三角形是什么三角形？
等边三角形
等边三角形
3、
如图，将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起，所拼成的△ABD是什么三角形？
你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
等边三角形
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（1）如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，那么△ABD是等腰三角形吗？为什么？
做一做
是
解：因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠ABD= ∠CBD.
又因为AD∥BC，
所以∠ADB= ∠CBD，
所以∠ADB= ∠ABD，
所以 △ABD是等腰三角形.
（2）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC延长线上的一点，并且CD=CA，∠ADC=15°，试说明AB与CD的大小关系。
1、如果三角形的两个内角都是60°，那么这个三角形是
三角形。
2、如图，已知∠A=∠B，DE∥CB，△ADE是等腰三角形吗？说明你的理由。
3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，DB=10，则AC是多少？
本节课的知识点是什么？
这节课学到了哪些知识？
最大的收获是什么？
第4课时 简单的轴对称图形（4）

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