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普通高中数学 人教版(2019)必修第二册
第八章立体几何初步
8.6.3平面与平面垂直
情景引入
回顾：平面几何中，我们是通过什么概念来刻画两条相交
直线的位置关系
平面内两条直线相交形成4个角， 其中不大于90°的角称为
这两条直线所成的角(或夹角).当两条直线的夹角为时90°,
我们称两直线垂直.
情景引入
如何去刻画两个相交平面的位置关系
探究新知——二面角
类比直线间的夹角，引入二面角的概念：
如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
半平面 半平面
直线将平面分成两
部分，每一部分叫
半平面 .
平面角由射线--点--射线构成 二面角由半平面--棱--半平面构成。
记作：
记作：∠AOB AB-
P Q
-
P
-A
0
-
二面角的记法：
. Q B
l .P 印
C
A
探究新知
角的记法：
o<
二面角
A
B
探究新知——二面角
你能举出生活中常见的二面角吗
O
如何去度量二面角大小
O
观察探究
我们常说：“把门开大一些”,是指哪个角大一些
B
探究新知——二面角的平面角
二面角的平面角的定义
在二面角α-l-β 的棱上任取一
点O,以点O 为垂足，在半平面α和β内
分别作垂直于棱l 的射线OA和OB, 则
射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面
角的平面角. 0 ∈l 空间角平面化
OA⊥1
OB⊥1=∠AOB 为二面角α-I- 的平面角
OBcp
符号语言
在棱上选多个点，画出多个所折二面角
的一个平面角，这些角相等吗
你能用某个定理解释为什么
这些角都是相等的吗
A
课后实验：同学们可以自己动手画 出若干个折纸所形成二面角的平面 角，比较它们的大小.
探究新知——二面角的平面角
B C
D
Q
P
二面角的大小可以用其平面角来度量，
二面角的平面角是多少度，
就说这个二面角是多少度.
探究新知——二面角的平面角
想一想：二面角平面角的取值范围是
[0,π]
10
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
探究新知——直二面角
探究新知——面面垂直定义
两平面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这
如下图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行
两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
四边形的一组边画成垂直.
探究新知——面面垂直判定定理
实例1 发现：线面垂直，则面面垂直
建筑工人砌墙时，如何
使所砌的墙和水平面垂
直
探索定理
实例2
一扇门在打开的过程中，门所在平 面和水平地面是否始终垂直
你能根据这些实例归纳总结出判定
面面垂直所需的条件吗
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号表示： aLβ,aca=aLβ
探究新知——面面垂直判定定理
简记：线面垂直，则面面垂直
探究新知—— 面面垂直判定定理
A
想一想 ：
怎么证明面面垂直 的判定定理
C
β
α
B
文字语言 图形语言
符号语言
一个平面过 另一个平面的 垂线，则这两 个平面垂直.
c=aL
探究新知—— 面面垂直判定定理
平面与平面垂直的判定定理
例题讲解——新知应用
例7 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D 中，求证平面A'BD⊥ 平面ACC'A'.
例题讲解——新知应用
例7 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D 中，求证平面A'BD⊥ 平 面ACC'A'.
证明：∵ABCD-A'B'C'D '是正方体，
∴AA'⊥ 平面ABCD
∴AA'⊥BD,
又BDIAC, 且AA'∩AC=A,
∴BD⊥ 平 面ACC'A',
又BDc 平面A'BD,
∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.
C
例题讲解——新知应用
例8 如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，
B
A ∈ 0
本质：线⊥面 面⊥面
关键：在一个平面内找另一个平面的垂线
图中还有哪些平
面是互相垂直的
呢
o 面PAC⊥ 面ABC 面PAB⊥ 面ABC
C是圆周上不同于A,B 的任意一点，
求证：平面PAC⊥平 面PBC. P
BC⊥ 面PAC
业
平面PAC⊥平面PBC
业
BC⊥AC BCLPA
PA⊥面ABC
BCc 面ABC
AB 是 圆O 直径
该题中还有哪些面互相垂直
拓展1: 本题中的模型称为鳖膈 (bie nao) 模型，即四个面都是直角三角形的
四面体
C
拓展2: 长方体中的组合体
分析题意，根据题目条件选择 证明哪个面的垂线
恰当的选择方法证明线面垂直 常用方法是线线垂直，则线面 垂直
根据面面垂直的判定定理证明
深化领悟——总结解题步骤
应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤
定思路
证线面
证面面
转化的思想方法
线线垂直
线面垂直
面面垂直
类比
二面角
特 殊
直二面角
二面角的 平面角
定义面面垂直
归纳小结 — — 构建知识结构
面面垂直的判定定理
数学思想：
符号 语言
图形 语言
文字 语言
平面角
— →
度量
作业1:教科书第159 页练习第4题；
第163页习题8.6第6、7、8题.
作业2:选做1.结合学习过的空间平行关系的判定定理、
性质定理，空间垂直的判定定理，尝试发现其它判定面 面垂直的命题，给出你的结论和证明.
作业布置
作业布置
选做2.“平行关系图谱”已经完成，任意二者间都可以转化，你能 尝试完成“垂直关系图谱”剩余的部分吗
线线平行 线线垂直
面面平行 线面垂直
一个平面经过另一个平

平面内两相交直线分
别平行于另 一个平面
面面垂直
线面平行

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