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人教A 版高一数学必修二第二学期8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第八章 立体几何初步
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
核心素养目标
1.数学抽象：通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、 棱台的表面积和体积计算公式.
2.直观想象：借助直观图形，想象棱柱、棱锥、棱台的结构特征， 理解表面积和体积公式的推导过程，建立空间观念。
3.逻辑推理：通过学习逐步培养我们的类比、转化等数学能力。
4.数学运算：能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行 计算和解决有关实际问题.
教学目标
教学重点：通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、 圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式 .
教学难点：能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决
有关实际问题
初中我们通过 长方体和正方 体的展开图从 而得到了它们 的表面积公式。
追问：能否将立体图形平面化的思路来探究任何多面体的表面积呢
多面体的表面积就是围成多面体的各个面的面积的和.
问题1: 在初中我们已经学过了正方体和长方体的表面积，是如何得到长方
体和正方体的表面积公式的
Part Two
求棱柱、棱锥、棱台的侧面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、
梯形的面积问题，而计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面 面 积 之 和。
追问：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是 什么 如何计算它们的表面积
棱柱
棱柱的侧面图是平行四边形， 底面是全等的多边形
棱锥的侧面图是多个三角形， 底面是多边形
棱台的侧面是若干个梯形， 底面是两个相似的多边形。
Part Two
知识梳理
棱锥
求棱柱、棱锥、棱台的侧面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、
梯形的面积问题，而计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面 面 积 之 和。
追问：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是 什么 如何计算它们的表面积
棱柱
棱柱的侧面图是平行四边形， 底面是全等的多边形
棱锥的侧面图是多个三角形， 底面是多边形
棱台的侧面是若干个梯形， 底面是两个相似的多边形。
Part Two
知识梳理
棱锥
问 题 2: 我们之前已经学习长方体的体积公式V=Sh, 其中S是长方体的底
面积，h 是长方体的高.那么公式是否适用于一般的棱柱呢
活动： 取一摞书放在桌面上， 并改变它们的位置，观察改变前后的体积是
理 幂势既同，则积不容异。
高度、书中每页纸面积和顺序不变
祖 暄 原
Part Three
否发生变化
一般地，如果棱柱的底面积是S, 高是h, 那么这个棱柱的体积V棱柱 = Sh
(h是指两底面之间的距离)
由祖暄原理： 等底面积等高的两个任意柱体体积相等
可以得到棱柱的体积公式
S底
S底
S底
S底
到地面的距离)那么该棱锥的体积：
为什么圆锥是同底等高圆柱的三分之一 除度量之外还能怎么 解释
由祖暄原理： 等底面积等高的任意两个锥体体积也相等
可以得到棱锥的体积公式
一般地，如果棱锥的底面面积为S, 高 为h, (h 指棱锥顶点
由祖暄原理可得：如果一个棱柱和一个棱锥
的底面积相等，高也相等，那么,棱柱的体积
是棱锥的体积的3倍.即： V棱锥
探究：如下图可以将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这 三个三棱锥的体积有什么关系 它们与三棱柱的体积有什么关系
棱台的高是指两底面之间的距离， 即从上底面上任意一点向下底面 作垂线，这点与垂足之间的距离.
课本8.6节例6 (P154)
PO'=h,00'=h
练习：棱台上下底面面积分别是2,4,高是3,求棱台的积
我们知道棱台是由棱锥截成的，从这个角度看，我们该如何计算棱台的体积
呢
棱锥
V棱柱 = Sh
V 棱锥 =3Sh
从棱柱、棱锥、棱台的形状可以得出
棱柱 棱台
上下底面全等
观察棱柱、棱锥、棱台体积公式为什么体积公式形式类似，但又不完全 相同 是什么导致了这样的结果
当S'=S
当S'=0
上底退缩为点
时
时
V 棱台
棱柱、棱锥、棱台
棱柱、棱锥、棱台的表面积
一般棱柱的体积公式也 是V=Sh , 其 中S为底面 面积，h为高(即两底面 之间的距离，即从一底面 上任意一点向另一个底面 作垂线，这点与垂足(垂 线与底面的交点)之间的
距 离 。
正方体、长方体，以及正 棱柱的体积公式可以统一 为：
V=Sh(S 为底面面积，h 为高)
柱 体
S
(其中S为底面面积，h 为高)
它是同底同高的棱柱的体积的
棱锥的体积公式也是
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。
正棱椎的体积公式是
锥 体
S
h
B
A
根据台体的特征，如何求台体的体积 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利 用两个锥体的体积差.得到棱台的体积 公式(过程略).
棱台的高是指两底面之间的距离， 即从上底面上任意一点向下底面作垂 线，这点与垂足之间的距离。
D
S
C
A'
h
B
S Q
BY
1
]
锥 体
A
C'
P
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系 你
能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗
S、S 分别为上、下底 面面积， h 为台体高
S为底面面积， h为锥体高
S为底面面积，
h为柱体高
正四棱台的大致图形如图所示，其中A B =10 cm,AB=20 cm,
取A B 的中点E ,AB 的中点E 则E E 为侧面底边上的高.
设0 ,0分别是上、下底面的中心，则四边形EOO E 为直角梯形.
, ∴EE =13cm.
在直角梯形EOO E 中 ，
反思感悟： 注意棱锥棱台的高、斜高、侧棱长之间的转换.
例 正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm,
侧棱长为10 cm. 求 表 面 积
∴O O=√ 13 -(10-5) =12(cm).
故该正四棱台的体积为
··
回归情景：已知该埃及金子塔模型的侧棱长为4,底面ABCD 为正方形
且边长为2/2,求该模型的表面积和体积。
解 ： 由题意可得 S △PAB △PAD=S△PBC=SAPCD
D C A
2√2 B° =4S△PAB+S口ABCD=4×2 22)=87+8
+
=
锥
：
4
表
4
S
×
该模型的表面积
∵S△PAB=2×2√2
∴该模型的体积：
底
小 结
表面积
棱柱、棱锥、棱台
体 积·
各面面积之和
V=Sh
v=ssh
v=s(s'+SS+S)h
多面体 图形 表面积
体积
棱柱 底面积+侧面积
S=S×h
棱锥
棱台
课堂小结

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