资源简介

(共47张PPT)
7.4.2 超几何分布
学习目标
1. 理解超几何分布的概念及特征，能够判断随机变量是否服从超几 何分布. (数学抽象)
2. 会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率和均值. (数学运 算)
3. 能用超几何分布的概率模型解决实际问题. (数据分析、数学运算)
复习回顾
二项分布：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p
(0P(X=k)=Ch×pk×(1-p)"-k,(k=0,1,2,….,n).
如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，
记作X~B(n,p).
二项分布的均值与方差： 二点分布是特殊的二项分布
若X~B(n,p), 则有
E(X)= np ,D(X)= np(1-p).
新知探究
问 题 1 在含有5名男生的100名学生中，任选3人.
(1)求其中恰有1名男生的概率表达式.
(2)求其中恰有2名男生的概率表达式.
新知探究
问题2 已知100件产品中有4件次品，分别采用有放回和不放回的方式随 机抽取3件.设抽取的3件产品中次品数为X, 求随机变量X的分布列.
解：由题意可知，X可能的取值为0,1,2,3
采用有放回抽样
每次抽到次品的概率为0.04, 且各次抽样的结果相互独立，此时 X 服从二项分布，即X~B(3,0.04).
则X的分布列是：
P(X=k)=Cs·0.04k·0.923-k
(k=0,1,2,3) (k=0,1,2,3)
X 0 1 2
3
P
C4C6
C00
采用不放回抽样
各次抽取的结果不独立，故X
不服从二项分布.则X的分布列是：
概念生成
超几何分布：
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽 取n件(不放回),用X 表示抽取的n件产品中的次品数，则X 的分布列为：
N—总体中的个体总数
n— 样本容量
M— 总体中的特殊个体总数(如次品总数)
k— 样本中的特殊个体数(如次品数)
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m= max {0,n-(N-M},r= min {n,M}. 如果
随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
提醒： 正确理 解其条件以及 参数N,M,n,k 的意义
k=m,m+1,m+2,……,r. 记为X~H(N,n,M).
其 中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-(N-M)},r=min{n,M}.
追 问 1 怎么去理解m=max{0,n-(N-M} 的取值
当N=10,M=4 时，N-M=6,n=3.
k的第一个值是m=max{0,3-6}=0,r=3;
当N=10,M=4 时，N-M=6,n=8.
k的第一个值是m=max{0,8-6}=2,r=4.
k=m,m+1,m+2, ….. …,r.
概念理解
超几何分布：
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m= max{0,n-(N-M},r= min{n,M}.
追问2怎样判断一个变量是否服从超几何分布
①总体中含有两类不同的个体；
② 不 放 回地抽取；
③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.
概念理解
超几何分布：
k=m,m+1,m+2,…..…,r.
【微提醒】
(1)在超几何分布的模型中，“任取n 件”应理解为“不放回地一次 取一件，连续取n件” .
(2)超几何分布的特点：
①不放回抽样；
②考察对象分两类；
③实质是古典概型.
[典例讲评]1. 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X, 求X 的分布列；X
(2)有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种 子的个数记为X, 求X的分布列； × 样本没有分类，,是重复试验问题.
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数
样本都分为两类，随机变量X 表示抽取n件样本某类样
记为X, 求X的分布列；√
本被抽取的件数，是超几何分布.
(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必 须参加，其中女生人数记为X, 求X的分布列；√
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板 电脑的个数记为X, 求X 的分布列. × 没有给出不合格产品数，
无法计算X的分布列
反思领悟 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
[学以致用] 1 . (1)(多选)下列随机事件中的随机变量X 不服从超几何分
布的是( )
A . 将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B. 从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选
出女生的人数为X B是超几何分布
C . 某射手的命中率为0.8,现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D . 盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次 摸出黑球时的总次数
探究2 超几何分布的均值
探究问题3 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.
(1)如何求所选3人中恰有1名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数X的分布列和均值.
X 0 1 2
3
P
(2)X的可能取值为0,1,2,3,
所以X的分布列为
新知探究：超几何分布的均值
问题3 服从超几何分布的随机变量的均值是什么
设随机变量X 服从超几何分布，则X 可以解释为从包含M 件次品
的N 件产品中，不放回地随机抽取n 件产品中的次品数.
令 则 p 是 N 件产品的次品率，而 是抽取的n 件产 品的次品率.
我们猜想 ,即E(X)onp
新知探究：二项分布的均值
下面对均值进行证明. 我们猜想 ,E(X)■np 证明：令m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.
求与超几何分布有关的 均值问题，可利用均值
公式，也可以直接利用
求 解 。
当m>0 时 ，
若随机变量X服从超几何分布，则有E(X)■np
当m=0时，类似可以证明结论依然成立.
由随机变量的定义：
[典例讲评] 2 . (1)某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名
代表，至少有1名女生当选的概率为( )
A . B.
C. D.
由题意可得所求概率为
(2)一个盒子装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中
任取2个，其中白球的个数记为X, 下列概率等 的是( )
A.P(OC.P(X=1) D.P(X=2)
表示选1个白球或者一个白球都没有取得的情形，即PX≤1)
反思领悟
(1)解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.
(2)注意公式中M,N,n 的含义.
[典例讲评]3.在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机
抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题. 甲能正确完成其中的4道题，且每 道题完成与否互不影响.规定至少正确完成其中2道题便可过关.记所抽取 的3道题中，甲答对的题数为X, 求X 的分布列.
由题意得，X的可能取值为1,2,3,
X 1 2
3
P 一 5 以 一 5
一 5
故X 的分布列为
1
1
第一步
验证随机变量服从超几何分布，并确
定参数 N,M,n 的 值
第二步
根据超几何分布的概率计算公式计
算随机变量取每 一 个值时的概率
第三步
用表格的形式列出分布列
反思领悟求超几何分布的分布列的步骤
随机变量X 为取出的3个球的得分之和.
① 9 求m 的值；
②当m=3 时，求X 的分布列.
①当3个球都是白球时，X=6, 所以
所以m=1.
[学以致用] 1(2)箱中装有4个白球和m 个黑球.规定取出一个白球得2分，取出
一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记
X 3 4 5
6
P 12 18
4
② X 的 可 能 取 值 为 3 , 4 , 5 , 6.
35 35 35
所以X 的分布列为
[典例讲评] 4 .某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这
10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学 等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学， 到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,
所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为
(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列及均值
(2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N =10,M=4,n=3, 且随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
X 0 1 2
3
P 1 2 3 10
1
30
所以X的分布列为
6
1
反思领悟 求超几何分布均值的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N,M,n 的值 .
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的 概率 .
(3)利用均值公式求解.
[学以致用] 2 . (1)袋中有3个白球、1个红球，从中任取2个球，取
得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X 的均值为( ) A.0 X的可能取值为0,2,
B. 1
C.2
D.4
故X的均值为
(2)某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4
道进行作答，至少答对3道才能通过初试.在这8道试题中甲能答对6 道，记甲答对试题的个数为X, 则甲通过自主招生初试的概率为
11
14 ,E(X)= 3 ___
甲能通过自主招生初试的概率为P(X=3)+P(X=4)
由于X 的可能取值为2,3,4,
故
超几何分布
二项分布
试验类型 不放回抽样
放回抽样
试验种数 有两种物品
有两种结果
总体容量 有 限个
无限个
随机变量取值的概率 利 用 古典概型 计算
利用独立重复试验计算
联系 (1)对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的 方差较小，随机变量的取值更集中于均值附近 ( 2)对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次 抽样结果彼此影响很小，此时超几何分布近似二项分布； 从方差角度看，由 ,两个分布的方差也近似相等。
问题4: 二项分布、超几何分布有什么区别和联系
所以随机变量X 的分布列为
法二：
由题意知，
故E(X)=0×3+1×7+2×5=3 所 以
PX=2)=CC=
X 0 1
2
P
(1)不放回抽样时，抽取次品数X 的均值；
(1)法一：X 的可能取值为0,1,2 . |
所以随机变量X 服从超几何分布，
n=3,M=2,N=10,
[典例讲评] 5.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件.求：
反思领悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，
求均值时都可利用公式代入计算.
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差.
(2)由题意知，抽取1次取到次品的概率为
随机变量Y服从二项分布
所以
[学以致用] 3 .已知一个袋子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球.
(1)若从袋中一次任取3个球，若取到的3个球中有X 个黑球，求X的分布列及均值；
(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直 至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求P(Y=5).
(1)X可能的取值为0,1,2, (2)当Y=5 时 ，
第四、五次取到的是黑球，
X 0 1
2
P 315
第三次取到的是白球，前两次不能
都取到黑球，则所求概率
其 中k=0,1,2, 则X的分布列为
X的 均
应用迁移
1. (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有( )
A . 在10件产品中有3件次品， 一件一件地不放回地任意取出4件，
记取到的次品数为X
B . 从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台，记X 表示所取的2
台电脑中甲型电脑的台数
C. 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红 灯的个数为随机变量X C 中显然不能看作一个不放回抽样问题
D. 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数 记为X
题号
1
2
3
4
2.一批产品共10件，次品率为20%,从中任取2件，则恰好取到1
件次品的概率为( )
B
D.
由题意知，10件产品中有2件次品，故所求概率为
题号
1
2
4
因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数
为X=4, 即旧球增加一个，所以取出的三个球中必有一个新球，
两个旧球，所以
3. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3
个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量， 其分布列为P(X), 则P(X=4) 的值为( )
题号
1
2
3
4
B.
4. 盒子里有5个球，其中有3个白球、2个黑球，从中任取两球，
设取出白球的个数为，则E(G=
由题意知随机变量ξ服从超几何分布，则
题号
1
2
3
4
教用 ·课堂小结
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1. 在产品抽样检验中，若抽到的次品数服从超几何分布，则抽样有 何特点
[提示] 抽样方法为不放回抽样.
教用 ·课堂小结
2. 超几何分布的均值公式： E(X)=np, 与二项分布的均值公式一
样吗
[提示] 不 一样 .在二项分布中， n 为伯努利试验重复的次数， p 为
成功概率；在超几何分布中， n 是抽取的产品件数， p 是N件产品的 次品率.
THANKS
课时分层作业(十八) 超几何分布
一、选择题
1. 在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X 表示任选10个村庄
中交通不方便的村庄的个数，则X 服从超几何分布，其参数为( )
A . N=15,M=7,n=10 B.N=15,M=10,n=7
C.N=22,M=10,n=7 D.N=22,M=7,n=10
根据超几何分布概率模型得N=15,M=7, n=10.
2. 在100张奖券中，有4张能中奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都能
中奖的概率是( )
A. B.
D.
记X为2张中的中奖数，则
3. ( 多 选)在 一 个袋中装有大小相同的4个黑球，6个白球，现从中任取3个小
球，设取出的3个小球中白球的个数为X, 则下列结论正确的是( )
A. 随机变量X 服从超几何分布
B. 随机变量X 服从二项分布
d
P
随机变量X 服从超几何分布，且N=10,M=6,n=3, 故 A 正 确 ，B 错误；
故C 正 确 ； 故D正 确 . 故 选ACD.
4.已知10名学生中有a名女生，若从这10名学生中抽取2名作为学生代表，恰好抽
取1名女生的概率之 则a的值为( )
A.2 B.6
C.8 D.2 或8
V
由题意， 解得a=2 或a=8.
5. 盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则
概率是 的事件为( )
A. 恰有1个是坏的 B.4 个全是好的
g. 恰有2个是好的 D. 至多有2个是坏的
令X=k 表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”,则
所以 故选C.
二、填空题
6. 袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无
放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得 1.5 分 .
用X 表示所得分数，则X 也是取得的红球数，X 服从超几何分布，
且N=10,M=3,n=5,
于是
7. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”,现从中任意选6人参加竞赛，
用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取_2 或 3 时，对应的概率为
由题意可知，X 服从超几何分布，
所以X=2 或3.
所 以
,
8.生产方提供一批产品，共50箱，其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品
的准则如下：从该批产品中任取5箱进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收
243
该批产品.则该批产品被接收的概率为 245 . (结果用最简分数表示)
设进行检测的5箱产品中不合格产品有X 箱，则X 服从超几何分布，
∴该批产品被接收的概率为
三、解答题
9.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表 示所选3人中女生的人数.
(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
(1)ξ可能取的值为0,1,2,服从超几何分布，
乙 Y ∠ 厶 八 大 T 、 L
ξ 0 1
2
P 115 315
(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为
所以，

展开更多......

收起↑