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微专题17 圆锥曲线热点问题（一）
求值计算类
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 求值问题
例1 [2024· 新课标Ⅰ卷] 已知点和点 分别为椭圆
上的两点.
（1）求 的离心率；
解：由题意得 解得
.
（2）若过点的直线交于另一点，且的面积为9，求直线
的方程.
解：方法一：易知直线的斜率，
则直线 的方程为，即 ，
，
由（1）知椭圆 的方程为，设点到直线的距离为，
则 ,解得 .
设过点且与直线平行的直线为,又与间的距离为，
点 在椭圆上，的方程为，
由 解得或 即或 .
当的坐标为时,,直线的方程为 ,即 ；
当的坐标为时,,直线的方程为 ,即 .
综上，直线的方程为或 .
方法二：易知直线的斜率，
则直线 的方程为，即 ，
,
由(1)知椭圆 的方程为,设点到直线的距离为,
则 ,解得 .
设,其中 ,
则有 ，又，
或即 或 .
当的坐标为时,,直线的方程为 ,即 ；
当的坐标为时,,直线的方程为 ,, 即 .
综上，直线的方程为或 .
方法三：易知直线的斜率，
则直线 的方程为，即 ，
，
由（1）知椭圆 的方程为，设点到直线的距离为，
则 ,解得 .
当直线的斜率不存在时，此时，
，符合题意，
此时，直线的方程为 ，即 ；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
由得，其中，即 ，
解得或，， ，
令，则 ，则 ，
则，解得，此时 ，
则得到此时，直线的方程为，即 .
综上直线的方程为或 .
方法四：当的斜率不存在时，,,,
到 的距离，此时不满足条件.
当 的斜率存在时，设，
令, ，由
消 可得 ，
，
且 ，即 ，
，
到直线的距离 ,，
或，直线 的方程为或 ,
即或 .
方法五：当的斜率不存在时，,,,
到 的距离，此时不满足条件.
当直线 斜率存在时，设，设与轴的交点为，
令 ，则 ，由
得 ，
其中 ，
且，则, ，
则，
解得 或，则直线的方程为或，
即 或 .
【规律提炼】
求线段的长度、图形的面积、点到直线的距离等问题是圆锥曲线的
常见问题，其解决问题的主要策略是通过设点或设线，将几何问题
代数化，从而解决问题.
自测题
[2024·南昌二模] 已知椭圆经过点,
为椭圆的右顶点，为坐标原点，的面积为 .
（1）求椭圆 的标准方程;
解：因为的面积为 ，所以，解得 ，
又因为在椭圆 上，则，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）过点作直线与椭圆交于，，关于原点 的对称
点为，若，求直线 的斜率.
解：连接，因为,为的中点，所以 ，
设,，易知直线的斜率不为0,
设直线 的方程为，由
消去，得 ，
则有, ，
因为，则有，则 ，
即 ，
即，
即，解得 ，所以直线的斜率为 .
微点2 定点、定值问题
例2-1 [2024·江西九江三模] 在平面直角坐标系 中，已知抛物线
的焦点为,是上第一象限内的动点.当直线
的倾斜角为时， .
（1）求 的方程；
解：由题意可知，抛物线的焦点为，准线为，
过点 作轴的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为 ，
由抛物线定义可得，
因为直线的倾斜角为，所以 ，
可得，解得，所以的方程为 .
（2）已知点,,是上不同两点，若四边形 是平行四边
形，证明：直线 过定点.
证明：设直线的方程为,,, ，
则消去整理得,
则 ,, .
因为四边形 是平行四边形,
所以 即 ，
代入中得，
整理得 ，
则直线 ，
所以直线过定点 .
例2-2 已知椭圆的右焦点为，在点
处的切线分别交直线和直线于, 两点.
（1）求证：直线与 相切.
证明：由
整理得 ，又因为，
即，所以 ，即，
此方程有唯一解，即直线 与椭圆 相切.
（2）探究： 是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.
解：由（1）知，直线的方程为，即 ，
将和分别与上式联立，由题意可得, ，
因为，所以 ，
，所以，即为定值 .
【规律提炼】
圆锥曲线的定点、定值问题是常考题型，考查知识间的联系与综合.
其主要涉及曲线上的动点和动直线，所以常用的方法是设动点或设
动直线，即引入参数来解决问题，或考虑到定点、定值必定对符合
要求的一些特殊情况成立，也可以由特殊到一般的方法来解决.
自测题
1.已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线 经过点
，且其渐近线的斜率为 .
（1）求 的方程;
解：由题可设双曲线的方程为.
因为 经过点 ，所以 ，
解得，故的方程为 .
（2）若动直线与交于,两点，且，证明： 为定值.
证明:设，，若直线的斜率存在，设 ，
由消去得 ，
，即 ，
所以, ，
因为，所以，即 ，
所以，整理得 .
设点到直线的距离为，
则由等面积法得 ，所以，
又 ，所以 .
若直线的斜率不存在，则直线的斜率为，
不妨设直线 的斜率为1，则，
将点的坐标代入方程，得 ，
所以, ，所以 .
综上，为定值 .
2.已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在 轴上，且
椭圆过点 .
（1）求椭圆 的方程.
解：设椭圆的方程为 .
由题意得解得所以椭圆的方程为 .
（2）设为原点，不经过椭圆的顶点的直线与椭圆 交于两点
，，直线与直线交于点，点 与
点 关于原点对称.
（ⅰ）求点的坐标（用， 表示）；
解：由题可知,且.
设直线 的方程为,直线的方程为 .
由得 所以的坐标为 .
（ⅱ）若，，三点共线，求证：直线 过定点.
证明：由题可知，直线的斜率存在.设直线的方程为 ，
由得，
由于直线 与椭圆 交于不同的两点，
所以 ，
则， .由题可知 .
因为，， 三点共线，所以 ，
化简得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，
即，解得或 .
当时，直线的方程为，
直线过点 ，不符合题意.
当时，直线的方程为，
直线 过点，其中 .
综上，直线经过定点 .
微点3 最值范围问题
例3 已知椭圆的中心在原点，左焦点为 ，其四个顶点的
连线围成的四边形面积为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
解：根据题意可知椭圆的焦点在轴上，
设椭圆 的标准方程为 ，
椭圆四个顶点的连线围成的四边形是菱形，两条对角线互相垂直，
且两条对角线长分别为， ，则，即，
因为左焦点为 ，所以，可得 ，
由解得 故椭圆的标准方程为 .
（2）过椭圆的左焦点作斜率存在的两直线， 分别交椭圆于
，，，，且，线段，的中点分别为， ，求
四边形 面积的最小值.
解：因为直线，的斜率存在，且，
所以直线， 的斜率均存在且不为0，
因此设直线，的斜率分别为， ，
又，所以直线的方程为，
直线 的方程为，
设，，，的坐标分别为， ，， ，
由得 ，
，
因为， 是该方程的两根，
所以由根与系数的关系可得
由弦长公式可得 ，
则 ，
同理可得， .
因为，分别是线段，的中点，且 ，
所以，，，
则 ，所以 ，
当且仅当，即 时，等号成立.
故四边形面积的最小值为 .
【规律提炼】
求最值及范围问题常用的两种方法：
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图
形性质来解决；
（2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以
建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基
本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等.
自测题
[2024·浙江五校模拟] 已知椭圆的左焦点为 ，
椭圆上的点到点距离的最大值和最小值分别为和 .
（1）求该椭圆的方程；
解：令,设是椭圆 上的点,
则, ,
则 ,
显然当时,,当 时,,
则解得 所以椭圆的方程为 .
（2）对椭圆上不在上、下顶点的任意一点，其关于 轴的对称点记
为，求 ；
解：记椭圆的右焦点为，由椭圆对称性知， ，
所以 .
（3）过点作直线交椭圆于不同的两点，，求 面积的
最大值.
解：显然直线不垂直于轴，
设直线的方程为 ，, ，
由消去得 ，
，
则 , ，
，
因此，
令 ，所以，
当且仅当，即 时取到等号，
所以面积的最大值为 .
1.[2020·海南卷] 已知椭圆过点 ,点
为其左顶点，且的斜率为 .
（1）求 的方程；
解：由题意可知直线的方程为，即 .
当时，解得，所以 ，
由椭圆过点，可得 ，
解得，所以的方程为 .
（2）点为椭圆上任意一点，求 的面积的最大值.
解：设与直线平行的直线方程为 ，
由直线方程与椭圆方程，
可得 ，
化简可得 ，
当直线与椭圆 相切时，
，解得 ，
与距离比较远的直线方程为，
当为直线 与椭圆的切点时，的面积最大，
点到直线的距离 等于直线与直线之间的距离，
所以 ，易知,
所以 的面积的最大值为 .
2.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知点 在双曲线
上，直线交于，两点，直线， 的
斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
解：将点的坐标代入双曲线的方程得，
可得 ，故双曲线的方程为 .
由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为 ，
，，联立直线与双曲线 的方程，
可得 ，
则，， .
由题知 ，
化简得 ，
则 ，
可得 ，
因为直线不过点，所以，
所以，即直线 的斜率为 .
（2）若,求 的面积.
解：设直线的倾斜角为，
由 ，可得 ，由，
可得 ，即 ，
又，所以，，
代入直线 的方程，可得，则， .
因为， ，
由，可得 ，
所以
.
3.[2023· 新课标Ⅰ卷] 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点
到点的距离，记动点的轨迹为 .
（1）求 的方程；
解：设,则 ，
两边同平方并化简得，故的方程为 .
（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形 的周长大
于 .
证明：方法一：设矩形的三个顶点为, ,
在上,且 ，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则, ,
令，同理令 ，
且由，得，则 .
设矩形周长为,由对称性不妨设 ，
，
则，易知 ，
则令,,则 ,
令，解得，
当时，，此时 单调递减，
当，，此时 单调递增，
则，故,即.
当 时,,,且，即 时等号成立，矛盾，故 ,得证.
方法二：不妨设，，三点在上，且有 ， 设，
直线,的斜率分别为， ，由对称性不妨设 .
由可得 ，
由根与系数的关系得，所以 ，
所以 .
同理可得 ，
所以 .
令，设 ，
可得 ，
所以在上单调递减，在上单调递增,
所以在 上的最小值为 .
所以，分析可知， 取不到，所以矩形的周长为 ，故得证.
［备选理由］例1以圆为载体证明直线过定点，对计算能力要求较高；
例2考查点到直线的距离的最值问题.
例1 ［配例2使用］ [2024·福建泉州模拟] 已知椭圆
的离心率为，左、右焦点分别为， ，
焦距为2，点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
解：设椭圆的半焦距为，由题意得可得
故椭圆的标准方程为 .
（2）设点，在椭圆上，直线， 均与圆
相切,证明：直线 过定点.
证明：因为点在椭圆上，所以 ，
可得，所以，易知直线和直线 的斜率均存在，
设直线的方程为，
直线 的方程为 ，
因为与圆相切，圆的圆心为,半径为,所以 ，
即 ，即 ，
同理， ，
所以,是方程 的两根，所以 .
设,，易知直线的斜率存在，
设直线 的方程为 ，将代入 ，
得 ，
所以①， ，
所以 ，
，
，
将①②③④代入⑤，化简得 ，
可得 .
若，则直线 ，
此时直线过点 ，不合题意.
若，则直线 ，
此时直线恒过点 .
综上，直线过定点 .
例2 ［配例3使用］ [2024·安徽合肥一模] 已知抛物线
的焦点为，过点的直线与交于, 两点，
过,作的切线,交于点，且,与轴分别交于点, .
（1）求证： ；
证明：因为抛物线的焦点为，所以，
即 的方程为 ，设点,，
由题意可知直线 的斜率一定存在，设，
由得 ，所以,.
由，得,所以 ，
所以直线，即，
令 ，得，即 .
同理可得，直线，且 ，
所以 .
由得即 ，
所以，故 .
（2）设点是上异于,的一点，到直线,,的距离分别为 ,
,，求 的最小值.
解：设点，由（1）知直线 ，
即，因为 ，
所以 .
同理可得 ，
所以 .
又 ，
所以 ,当且仅当时，
等号成立，故当直线的斜率为0时， 取得最小值 .

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