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微专题19 函数图象与性质的应用
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 函数图象与函数解析式
例1（1）[2024·全国甲卷]函数 在区间
的图象大致为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 显然的定义域为 ，因为 ，所以 为偶函数，排除A,C.
因为 ,易知,
,所以 ，排除D.
故选B.
（2）已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式
可能为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由图可知，图象对应的函数为偶函数，
函数的定义域不是实数集，故排除B，C；
D选项中，当 时， ，不符合
图象，故排除D.
故选A.
【规律提炼】
函数图象与函数解析式都是函数的表达方式，做这种类型的问题要
从定义域、值域、单调性、奇偶性等性质突破，同时也考虑从是否
过定点或判断特殊函数值的正负突破.
自测题
1.函数 的大致图象是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，故排
除C，D；
当时， ，排除A.故选B.
√
2.[2021·浙江卷]已知函数, ,则图象为如图的
函数可能是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由题知，图象所对应的函数为奇函数.
因为为偶函数， 为
奇函数，所以 ,
都是非奇非偶函数，排除A，B；
设,则 ,
所以 ,与图象所对应的函数的单调性
不符，排除C.故选D.
微点2 函数性质的应用
角度1 函数的奇偶性与单调性
例2（1）[2020 ·全国卷Ⅱ]若 ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 方法一：设,则在 上单调递增.由题知
,即,得,则 ,所以
.
方法二：取， ，可排除选项B,C,D.故选A.
√
（2）[2024 · 新课标Ⅱ卷]设函数 ,
（为常数）,当时，曲线 与
恰有一个交点，则 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 方法一：令 ，则
为偶函数，
因为当时，曲线与 恰有一个交点，
所以,得 .
√
方法二：令 ，得 ，即
设 , ,
易知,都为偶函数.
当 时，,,故曲线
与无交点；
当 时，作出与的大致图象，如图
所示，因为曲线 与恰有一个
交点，且,所以,则 .
自测题
1.[2024 · 新课标Ⅰ卷]已知函数在 上
单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在上单调递增，所以,且 ,
解得 ,故选B.
√
2.[2023 · 新课标Ⅱ卷]若为偶函数，则 ( )
A. B.0 C. D.1
[解析] 方法一：由题可知函数的定义域为 .
令，则，所以 为奇函数.
令，由为偶函数， 为奇函数，可得为奇函数，
所以 ，故选B.
方法二：由题知函数为偶函数，则 ，故
，解得 ，故选B.
√
3.已知定义在上的函数满足 ，且对任意
，都有 成立，则不等式
的解集为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，则 .
由，得 ，
所以为偶函数.
因为对任意 ，都有成立，
所以在 上单调递增，
又为偶函数，所以在 上单调递减.
由得 ，
又 ，所以原不等式等价于
，所以，解得 ，故原不等式的
解集为 .故选D.
角度2 函数的奇偶性、对称性与周期性
例3（1）已知定义在上的函数是奇函数，对任意 ，都有
，当时， 等于( )
A.2 B. C.0 D.
[解析] 对任意，都有， 函数 的图
象关于直线对称，，
又 是奇函数，，
， 是周期为4的周期函数，则
.
√
（2）[2024·江苏南通三模]已知函数的定义域为，且
为偶函数，为奇函数.若，则 ( )
A.23 B.24 C.25 D.26
√
[解析] 由为偶函数，得，则 的图
象关于直线对称.
由 为奇函数，得，
即 ，则的图象关于点对称.
由的图象关于直线 对称得，
则 ，则，
两式作差得，所以 为周期函数，且周期为4.
因为， ，所以，
因为， ，所以，
，则 ，所以
.
【规律提炼】
1.奇偶性的本质是函数图象具有相应的对称性，奇函数的图象关于原
点对称，对称点两边单调性不变；偶函数的图象关于轴对称，对称
轴两边单调性相反.
2.记住常见的二级结论（由对称性得到周期）对提高解题速度很有帮
助，可类比三角函数的对称性和周期的关系记忆.
自测题
1.[2024·绍兴柯桥区三模]已知函数 为偶函数，若函数
的零点个数为奇数，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
√
[解析] 因为函数为偶函数，所以 ，
所以的图象关于直线对称.
令 ，则，
所以函数 的图象关于直线对称，
所以函数 的图象关于直线对称.
又 的零点个数为奇数，所以，
所以 .故选C.
2.[2024·合肥三模]已知定义在上的偶函数满足 且
，则 ( )
A.4049 B.2025 C.4048 D.2024
√
[解析] 由，令，得，令 ，得
，令，得，
又 ，所以 .
因为，
，所以 ，
则是周期函数且周期为4，则，
所以 .
3.（多选题）[2023· 新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为 ,
，则( )
A. B.
C.是偶函数 D.为 的极小值点
√
√
√
[解析] 方法一：对于A，令，得 ，
故A正确.
对于B，令，得，则 ，故B正确.
对于C，令 ，得，
则，令 ,则，
又函数的定义域为 ，所以为偶函数，故C正确.
对于D，不妨令，显然 符合题设条件，
此时无极值，故D错误.故选 .
方法二：对于A，令 ，得 ，故A正确.
对于B，令，得，则 ，故B正确.
，
则，令 ,则，
又函数的定义域为 ，所以为偶函数，故C正确.
对于D，当 时，两边同时除以 ，
得到，
设 ， 则
当 时， ，则 ，
令，得，令 ，得，
故在 上单调递减，在上单调递增，
因为 为偶函数，所以在
上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时不是 的极小值点，
故D错误.故选 .
1.[2021·全国乙卷]设函数 ，则下列函数中为奇函数的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：,所以函数 的图象关于点
对称.
因为奇函数的图象关于原点 对称，所以需要将函数 的图象
向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，故选B.
√
方法二：对于A， ,故
不是奇函数，故A不正确；
对于B, 是奇函数，故B正确；
同理，，显然 ,
的图象均不关于原点对称，因此都不是奇函数，
故C，D不正确.故选B.
2.[2018· 全国卷Ⅲ]函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
[解析] ，当 时，函
数在上单调递增，在 上单调递减.
又函数 为偶函数，故选D.
√
3.[2017· 全国卷Ⅲ]已知函数 有唯
一零点，则 ( )
A. B. C. D.1
[解析] ，
,，则直线为 图象的对称轴.
有唯一零点，的零点只能为 ，即
，解得 .
√
4.[2022·新高考全国Ⅱ卷]若函数的定义域为 ，且
,，则 ( )
A. B. C.0 D.1
√
[解析] 方法一：赋值加性质.
令,，可得，所以，
令 ，可得，即，
所以函数 为偶函数.
令，得 ，
则，则 ，
，故，即 ，
所以函数 是周期函数，其周期为6.
因为 ，
， ，
， ，
所以 ，
所以
故选A.
方法二：构造特殊函数.
令,，可得，所以 ，
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，设 .
由,知,，得，取 ，
所以 ，则 ，
所以满足题意，因此 的最小正周期 ，
又,，,,, ,
，所以 ，所以
.故选A.
5.（多选题）[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知函数及其导函数
的定义域均为，记.若, 均为偶函数，
则( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 方法一：对称性和周期性的关系.
对于，因为为偶函数，所以 ，即
，所以的图象关于直线 对称，则
，故C正确.
对于，因为 为偶函数，所以，所
以的图象关于直线 对称.
由①求导，得，即 ，
又，所以 ，所以，
所以的图象关于点对称，令 ，得,所以，
又的图象关于直线 对称，所以的周期，
所以 ，，故B正确，D错误.
若函数 满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设
条件，所以无法确定 的函数值，故A错误.故选 .
方法二：特殊值，构造函数法.
由方法一知的周期为2，且图象关于直线 对称，可设
，则 （C为常数），显然A，D错误，
故选 .
方法三：因为， 均为偶函数，所以
，即 ，，
所以， ，则，故C正确；
函数， 的图象分别关于直线,对称，
又，且函数可导，所以 , ，
所以 ，
所以，所以 ，
，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足
题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选 .
［备选理由］例1是函数单调性和奇偶性的综合应用，在判断单调性
时，需要适当构造；例2涉及抽象函数及其导数的综合.
例1 ［配例2使用］ [2024·广西柳州三模] 设函数是定义在 上
的奇函数，且对于任意的，，都有 .若
函数，则不等式 的解集是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ，
是定义在 上的奇函数，即 ，
，为奇函数.
对于任意的，，都有， 对于任意的 , ，
都有，当 时，有
，即， ，单调递增.
，，
，整理可得，，解得或 ，故选D.
例2 ［配例3使用］ （多选题）[2024·湖南邵阳二模] 已知函数
在上可导，且的导函数为.若 ,
为奇函数，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于D，因为 ，所以
，即，所以 是周期为4的周期函数，
又 ，
所以，故D正确；
对于A，由 为奇函数知的图象关于点对称，所以
，由得 ，即
，所以，可得 ，故A 正确；
对于B，C，由得 是周期为4的周期函数,
又的图象关于点对称，所以的图象关于点 对
称，则有，即 ，所以
，
令，得，故 ，
所以的图象关于直线对称，
又 ，,所以 ，
故B错误，C正确.故选 .

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