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(共29张PPT)
微专题20 基本初等函数与函数模型
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 基本初等函数的图象与性质
例1（1）[2024·江西南昌三模]若，， ，
则正数,, 的大小关系是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得为 与
的图象的交点的横坐标.
由，得为 与的
图象的交点的横坐标.
由 ，即，得为与 的图象的交点的
横坐标.
作出，，， 的图象如图所示，
由图可知， .
（2）已知函数，则满足 的
的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，则 ，
所以 为奇函数.
又，
所以 的图象是由的图象向右平移2个单位长度得到的，
所以 图象的对称中心为，所以.
因为在 上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，则在 上单调递增.
因为 ，
所以，所以，解得 ，
故满足的的取值范围为 .故选B.
【规律提升】
比较大小的方法：（1）直接利用函数的单调性比较大小（或转化到
同一单调区间比较大小）；
（2）数形结合，利用图象来比较大小，如例；
（3）构造函数，利用单调性比较大小（多结合导数）.
自测题
1.[2024·武汉四月调研]记,, ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，幂函数在 上单调
递增，，所以，所以 .
因为对数函数在 上单调递减，所以
，故 .故选D.
√
2.已知实数,满足 ，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为，所以，又 为
增函数，故.
对于A，因为 为减函数，所以，故A错误；
对于B，当, 时，，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，当,时，与 均为增函数，所以
, ，此时
，故D错误.故选C.
微点2 函数模型
例2（1）[2024·广东梅州模拟] 某科创公司新开发了一种溶液产品，
但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过 ，现
要对溶液进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 ，要使产品达到
市场要求，对该溶液过滤的最少次数为___.
（参考数据：， ）
8
[解析] 设至少需要过滤次，可得，即 ，
两边取常用对数，可得，所以 ，
又因为*，所以 ，所以要使产品达到市场要求，对该溶液
过滤的最少次数为8.
（2）[2024·北京朝阳区二模]假设某飞行器在空中高速飞行时所受的
阻力满足公式，其中 是空气密度， 是该飞行器的迎
风面积，是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数
（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢
程度的物理量为功率.当 ,不变，比原来提高 时，下
列说法正确的是( )
A.若不变，则比原来提高不超过
B.若不变，则比原来提高超过
C.为使不变，则比原来降低不超过
D.为使不变，则比原来降低超过
√
[解析] 由题意，,，所以， .
对于A，B,当 ,，C不变，比原来提高 时，提高后的功率
，所以
比原来提高，故A错误，B错误；
对于C，D,当 ,， 不变，比原来提高 时，提高后的空气阻力
系数,因为 ,所以C比原来降低不超过
，故C正确，D错误.故选C.
【规律提炼】
解决有关实际应用的问题，常构造函数模型,通过解方程或者利用导数
研究函数的单调性来解决问题,关键是通过题目构造合适的函数模型.
自测题
2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球
探测两大任务.目前，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划
稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，
则当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是
（参考数据：， ）( )
A.1.587 B.1.442 C.0.587 D.0.442
√
[解析] 设空间站运行周期为，其圆轨道半径为 ，由空间站运行周
期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，得 .
当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为，则 ，
两式相除得，即,
则 ，故 ，
故圆轨道半径增加的倍数大约是 .
1.[2023· 新课标Ⅰ卷]设函数在区间单调递减，则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在 上是增函数，所以根据复合函数的单调性可
得在上单调递减，故 ，解得
，故选D.
√
2.[2021· 新高考全国Ⅱ卷]已知,, ,则下列判断
正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] , ,
，故选C.
√
3.[2020·全国新高考Ⅰ卷]基本再生数与世代间隔 是新冠肺炎的流
行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间
隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可
以用指数模型：描述累计感染病例数随时间
（单位：天）的变化规律，指数增长率与， 近似满足
.有学者基于已有数据估计出， .据此，在
新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
√
[解析] ,,, ，代入指数模型得
.
设初始时间为，到 时累计感染病例数增加1倍，则
，等号两边同时取自然对数得
，则 .
4.[2024·北京卷]生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，
其中, 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度
指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 没有变
化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到 ，
则( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得,，则 ，即
，所以 .故选D.
√
5.[2021·全国甲卷]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可
借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五
分记录法的数据和小数记录法的数据满足 .已知某同学
视力的五分记录法的数据为 ，则其视力的小数记录法的数据约为
( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
[解析] 依题意得，，则 ，所以
，故选C.
√
［备选理由］例1考查利用指数型函数与二次函数的性质解决不等式；
例2考查利用函数模型解决实际问题.
例1 ［配例1使用］ 已知函数 ，且
.若当时， 恒成立，则 的取值范围为
__________.
[解析] 因为 ，所以，又因为，所以 ，得，所以.
当时， 恒成立，
等价于当时， 恒成立，
令,，则 ，原不等式等价于对 恒成立，则解得,
故的取值范围为 .
例2 ［配例2使用］ （多选题）[2024·重庆模拟] 放射性物质在衰变
中产生的辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随
时间的衰变公式，表示物质的初始数量， 是一个
具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期 指的是
放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，下表给出了
铀的三种同位素 的取值.若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为
，， ，则( )
物质 的量纲单位 的值
铀234 万年 35.58
铀235 亿年 10.2
铀238 亿年 64.75
A. B.与 成正比例关系
C. D.
√
√
[解析] 对于A，由题意得，故 ，两边同时取对数
得，，则，故A错误；
对于B，由A可知，与 成正比例关系，故B正确；
对于C，由B可知，与 成正比例关系，
由于铀234的 值小于铀235的 值，故 ，故C错误；
对于D，， ，
故，故D正确.故选 .

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