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微专题16 圆锥曲线的定义与性质
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 圆锥曲线的定义及应用
例1（1）设是椭圆的一个焦点，过椭圆 中心的直线
交椭圆于，两点，则 的周长的最小值为( )
A.12 B.14 C.16 D.18
[解析] 由椭圆的对称性可知， 两点关于原点对称，
设椭圆的另一个焦点为，则四边形 为平行四边形，
由椭圆定义可知，
又 ，，所以，
又 过原点，所以，
所以的周长的最小值为 .故选C.
√
（2）已知圆，直线，圆与圆 外
切，且圆与直线相切，则点 的轨迹方程为__________.
[解析] 由题意得，圆，设圆的半径为 ，
则点到直线与点到点的距离相等，都是，
故点 的轨迹是以为焦点，以直线 为准线的抛物线，
故可得点的轨迹方程为 .
（3）[2024·辽宁实验中学模拟] 设为坐标原点，, 为双曲线
的两个焦点，点在上，，则
_____.
[解析] 因为①， ，
所以在 中，由余弦定理得
，
即 ，
联立①②，解得,.
因为 ，所以
.
自测题
1.[2024·山西太原三模]已知点,分别是椭圆 的左、右焦点，
是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标
准方程是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意，设椭圆C的方程为，
由 在C上，得，
显然的内切圆与直线 相切，则该圆半径为1，
而 ，又，
于是，则 ，因此，
解得, ，所以椭圆C的标准方程是 .故选B.
2.[2024·河南郑州三模] 已知双曲线 的离
心率为,,分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点 重
合），点在双曲线上且， 的面积为6，则
该双曲线的实轴长为_____．
[解析] 由,可得 ,故双曲线
的渐近线方程为,不妨设, ,
因为,所以点为的中点,则 ,
将其代入中,整理得,
又 , ,且,
所以 的面积为,即,
解得 ,故双曲线的实轴长为 .
3.[2024·晋城三模] 已知为抛物线 的焦点，点
在抛物线上，直线与抛物线的另一个交点为，则
___.
2
[解析] 由题意可得，解得，则 ，
所以直线与轴垂直，可得，故 .
微点2 离心率及其范围
例2（1）[2024·深圳二模]是椭圆 上一
点，，是的两个焦点，，点在 的平分线
上，为原点，，且，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，延长交 于点A，
由题意知，为的中点，故A为的中点，
又 ，所以，则，
又，所以 是等腰直角三角形，
故有即即
代入得，即 ，
又，所以，所以，所以 .
（2）[2024·浙江五校联考]已知双曲线 上存
在关于原点中心对称的两点，，以及双曲线上的另一点 ，使得
为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知双曲线的渐近线方程为，
设点 ，则可取，则
整理得 ，解得，即，
可得，则 ，
所以该双曲线离心率的取值范围是 .故选A.
【规律提炼】
圆锥曲线的离心率主要包括求离心率的值或范围，是高考常考的内
容，主要方法是根据题意和图形的几何特征找到,,的齐次恒等式
或不等式.
自测题
1.[2024· 新课标Ⅰ卷] 设双曲线 的左、右
焦点分别为,,过作平行于轴的直线交于， 两点，若
,,则 的离心率为__.
[解析] 方法一：,,又 ,
, , ,
,, .
方法二：由题可知,,三点的横坐标相等，
设 在第一象限，将代入得，
即, ，故，，
又 ，得，
解得，代入 得，故,
即，所以离心率 .
2.在椭圆 的4个顶点和2个焦点中，若存在不共线的三点恰为某个正
方形的两个顶点和中心，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，只需要这三个点构成等腰直角三角形，所以这三个
点只可能是短轴的两个端点和一个焦点或两个焦点和短轴的一个端点，
可设椭圆C的长半轴长为,短半轴长为 ,半焦距为 ,
因为短轴的两个端点和一个焦点或两个焦点和短轴的
一个端点构成等腰直角三角形均可得 ，
所以，
即椭圆C的离心率为 ，故选C.
3.已知双曲线，点的坐标为，若
上存在点使得成立，则 的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，则由，可得 ，
即，由双曲线方程可得 ，
则，
则关于 的一元二次不等式有解，
所以，即 ，所以，
即，解得 （舍去）或 .
微点3 直线与圆锥曲线的位置关系
例3（1）[2023· 新课标Ⅱ卷]已知椭圆 的左、右焦点
分别为，，直线与交于，两点，若 的面积
是面积的2倍，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由题可知,，
的面积是面积的2倍，
则点到直线的距离是点 到直线距离的2倍，
故 ，化简可得，
即 ，解得或，
又直线 与C不相交，所以 .故选C.
方法二：不妨设直线与轴的交点为 ，
因为的面积是面积的2倍，所以点到直线
的距离是点到直线距离的2倍，则.
若 在线段上，则，所以，即；
若 在线段的延长线上，则，所以，
即 ，此时直线 与椭圆相离.故选C.
（2）（多选题）[2024·河北沧州二模] 已知 为抛物线
的焦点，直线过且与交于,两点， 为坐标
原点，为上一点，且 ，则( )
A.过点且与抛物线 仅有一个公共点的直线有3条
B.当的面积为时，
C. 为钝角三角形
D.的最小值为
√
√
√
[解析] 因为,所以,解得 ,
所以抛物线C的标准方程为.
对于A,因为,当 时,,
故点 在抛物线的外部,
所以与C仅有一个公共点的直线有3条,故A正确；
对于B,由抛物线C的方程可知,焦点,设的方程为,, ,由消去,整理得 ,
所以,,,
又 ,所以,解得 ,
则, ,
则 ,故B错误；
对于C,由选项B可知, ,
所以,所以 ,
故为钝角,所以 为钝角三角形,故C正确；
对于D,由选项B可知 ,所以 ,当且仅当,
即, 时等号成立,故D正确.故选 .
【规律提炼】
1.直线与圆锥曲线的位置关系的小题常考利用定义求弦长、中点弦、
离心率等问题；
2.直线和双曲线的位置关系要借助于和渐近线的斜率进行比较，数形
结合；
3.记住一些常见的二级结论（如焦点三角形面积、中点弦、抛物线的
焦点弦等）.
自测题
1.[2024·永州二模]已知抛物线的焦点为，过点
且斜率为的直线交于,两点，点在的准线上， .若
的面积为32，则 ( )
A. B.2 C. D.4
√
[解析] 由题意,抛物线的焦点为,准线方程为 ,
因为直线的斜率为,故直线的方程为 ,
由得 ,,
设, ,则, ,
由抛物线定义可知,.
由点在C的准线上,可设点 ,由,
可得,所以 ,所以 ,
所以,解得 .故选B.
2.[2022·新高考全国Ⅱ卷] 已知直线与椭圆 在第一象限交
于，两点，与轴、轴分别相交于， 两点，且
，，则直线 的方程为__________________.
[解析] 方法一：设的中点为,因为,
所以点 也是的中点.
设为坐标原点,连接,所以 .
设,,则, ，
两式作差,整理得,即.
设直线 的方程为,
则,,所以 ,所以,
所以,即,所以 .
又,所以,所以,
所以直线 的方程为,即 .
方法二：设线段的中点为,则直线的斜率 .
因为的中点为,,所以为 的中点,
所以,,所以直线的斜率为,
所以 ,可得,又,
得 ,所以,,可得,,
所以直线 的方程为 .
微点4 圆与圆锥曲线的综合问题
例4 （多选题）[2024· 新课标Ⅱ卷] 抛物线的准线为，
为上动点，过作的一条切线， 为切点，
过作的垂线，垂足为 ，则( )
A.与 相切
B.当，，三点共线时，
C.当时，
D.满足的点 有且仅有2个
√
√
√
[解析] 对于A,点到准线 的距离为1,
圆A的半径为1,故与相切,选项A正确.
对于B,当 ,A,B三点共线时,,,,
则 ,选项B正确.
对于C,当时,,得,当点的坐标为时,
,,不满足；
当点 的坐标为时,,,
不满足 ,选项C不正确.
对于D,方法一：设抛物线的焦点为,则,连接 ,,
由抛物线的定义可得,
则满足 的点在线段的垂直平分线上,
易知线段 的垂直平分线的方程为,
由得 ,
因为,
所以满足的点 有且仅有2个,选项D正确.
方法二：设,由,可得 ,
又,又 ,根据两点间的距离公式,
可得,整理得 ,
,则关于 的方程有两个解,
即存在两个满足条件的点,选项D正确.故选 .
自测题
1.已知椭圆的左、右焦点分别为, ，过
向圆引切线交椭圆于点, 为坐标原点，若
，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设切点为，连接，由已知得 ，
，，，
又是 的中点，圆的半径为，
，，
，即 ，得，
.故选 C.
2.已知双曲线的左、右焦点分别为, ，
以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，圆与
轴负半轴的交点为，若直线与轴的交点平分线段 ，则双
曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知，点的坐标为，点的坐标为 ，
所以直线的方程为.由得.
又 在双曲线上，所以 ，
所以，
又，所以 ，可得 .故选B.
3.[2024·浙江金丽衢十二校二联]已知抛物线的焦点为 ，
以为圆心的圆交于，两点，交的准线于， 两点，若四
边形是矩形，则圆 的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题可得，抛物线的焦点为，
所以圆 的圆心坐标为，
因为四边形是矩形，所以为直径， 为直径，
又为圆的圆心,所以点 为该矩形对角线的交点，
所以点到直线的距离与点到直线的距离相等，
易知点 到直线的距离，所以直线的方程为，
将 代入，可得，不妨令，
则圆 的半径，
所以圆 的方程为 .故选D.
1.[2024·全国甲卷]已知双曲线的两个焦点分别为, ,点
在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A.4 B.3 C.2 D.
[解析] 记双曲线的上、下焦点分别为， ，
点，因为,所以 .
又
,所以,则离心率 ,故选C.
√
2.（多选题）[2024· 新课标Ⅰ卷] 造型 可以看作图中的
曲线的一部分.已知过坐标原点，且 上的点满足横坐
标大于，到点的距离与到定直线 的
距离之积为4，则( )
A.
B.点在 上
C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在上时，
√
√
√
[解析] 对于A,依题知曲线C的轨迹方程为
点 在曲线C上,,又, ,故A正确.
对于B,曲线C的方程为,
令,得 , 或 ,故B正确.
对于C,由,得 ,
,当时，,
在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.
对于D,,即 ,故D正确.故选 .
3.[2021·新高考全国Ⅰ卷] 已知 为坐标原点，抛物线
的焦点为，为上一点，与轴垂直，为
轴上一点，且.若，则 的准线方程为________.
[解析] 不妨设在第一象限，则，，
故 ，因此直线的方程为，
令，得 ，因此，解得，
所以 的准线方程为 .
4.[2022·新课标Ⅰ卷] 已知双曲线 的左、
右焦点分别为，.点在上，点在轴上， ，
，则 的离心率为_ ___.
[解析] 方法一（坐标法）依题可设,, ，
由，可得，所以 ,
又，所以由可得，即 .
因为点在上，所以，即 ，
即，解得或（舍去），所以 .
方法二（几何法）由可得，设 ,
，由对称性可得，易知点 在双曲线的右支上，
根据双曲线的定义可得.
又， ,所以，
所以 ，即，
可得，所以, .
在中，由余弦定理可得 ，
即，得 .
5.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知椭圆, 的上
顶点为，两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与
交于，两点，，则 的周长是____.
13
[解析] 不妨设,分别为椭圆的左、右焦点，
在第一象限，如图，连接,, .
因为椭圆的离心率,所以,则 ,
所以,可知 为等边三角形,
所以直线为的中垂线,则的周长等于 的周长，
由椭圆的定义知 的周长为.
易知直线的方程为 ,由
消去 ,整理得 ,
设,,则 , ,
由,可得 ,
所以 .
［备选理由］例1考查求双曲线的离心率和渐近线；例2考查直线与
圆锥曲线的综合，涉及角平分线的性质；例3考查椭圆的离心率；例
4根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解；例5、例6考
查圆锥曲线与三角形性质或者三角恒等变换或基本不等式等其他知
识相结合，作为补充使用.
例1 ［配例1、例2使用］ 已知双曲线 的
左、右焦点分别为，，的三个顶点都在上，且直线
过原点，直线，斜率的乘积为3，则双曲线 的离心率为___，
双曲线 的渐近线方程为__________.
2
[解析] 根据题意可设，，
因为 的三个顶点都在上，且直线过原点，
所以 ，所以， ，
则.
因为的三个顶点都在 上，所以，，
由可得 ，所以，所以 ，
故双曲线的离心率为 ，
双曲线的渐近线方程为 .
例2 ［配例3使用］ [2024·安徽三模] 已知抛物线 与直线
交于，两点，点在线段上，且 ，
若点在直线上，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 已知直线,设直线, 的方程分别为
,,记点到直线的距离为 ,
因为，所以点到直线的距离也为 ,
则由点到直线的距离公式可得, ,
整理得, ,
故,是关于的方程 的两个根,
故.
设，，则，故 .
由 消去整理得 ，
所以，即 ，
由根与系数的关系可得，，则，
故，解得 ，满足题意，故选A.
例3 ［配例2使用］ [2024·江西鹰潭一模] 已知椭圆
的左焦点为，过点作倾斜角为 的
直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若
（为坐标原点），则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意,椭圆的左焦点为, ,
过作轴,垂足为,由 ,
得,,则 .
设,,则有, ,,
由, ,两式相减得 ,
则有 ,
所以 .故选B.
例4 ［配例2使用］ [2024·浙江温州三模] 已知, 分别是椭圆
的左、右焦点，上两点, 满足
，，则椭圆 的离心率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由可知，设 ，
则，,,.
在 中，由余弦定理可得
，化简可得，
即，故 或（舍去），
又 ,
所以 ，
化简可得，即，
故 ，所以 .故选D.
例5 ［补充使用］ [2024·温州三模] 过抛物线
的焦点的直线交抛物线于,两点，点，沿 轴将坐标系翻
折成直二面角，当三棱锥的体积最大时， __.
[解析] 因为直线过焦点 ，且与抛物线交于两个不同的点，
所以设其方程为，由
消去 得，所以，
所以 ，当且仅当，即时，三棱锥 的体积最大.
例6 ［补充使用］ [2024·深圳二模] 已知中， ，
双曲线以，为焦点，且经过点，则 的两条渐近线的夹角为__；
的取值范围为_ ________.
[解析] 设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为.
设 的内心为，过点向,,作垂线，垂足分别为,, ,
则，设 .
根据三角形内心的性质可知，,,，
又因为双曲线以， 为焦点，且经过点，所以 ，
即 .
因为，所以，所以，
所以点 在双曲线的左支上，所以,
又 ，所以，，
所以 ,，所以，即，
所以 ，所以一条渐近线的倾斜角为，故两条渐近线的夹角为 .
因为 ，
所以，
而 ，所以 .

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