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微专题23 零点问题
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 分段函数零点
例1 [2024·重庆八中联考]已知函数
，且 ，若函数有且仅有一个零点，
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时， ，又函数
有且仅有一个零点，所以 除0外
没有其他零点，即函数与的图象除了 处的交点
外，没有其他交点.
若，画出与 的图象，
如图①，因为，所以
与的图象在 内有交
点，不合题意，舍去；
若，画出与 的图象，
如图②，由得，
所以 的图象在处的切线
的斜率，
要使与 的图象在上
无交点，则，解得 ，结合图象，可知与
的图象除了 处的交点外，没有其他交点，符合题意.
综上，的取值范围为 .故选A.
自测题
1.[2024·山东泰安三模] 已知函数 若曲
线与直线恰有2个公共点，则 的取值范围是_______.
[解析] 当时， ，其在上单调递减，
在 上单调递增，且，则；
当 时，，，其在
上单调递减，且.
作出的图象，如图，易知 的取
值范围是 .
2.已知函数若存在实数 ，满足
，则 的最大值是_________.
[解析] 作出的图象，如图，
存在实数，满足
， ，
，由图象可知，， .
设，其中，则 ，显然
在上单调递增，
， 当 时，，在
上单调递增，在 上的最大值为 ，
的最大值为 .
微点2 零点个数问题
例2 [2024·湖南九校联盟二模] 已知函数
，其图象的对称中心为 .
（1）求 的值；
解：因为函数的图象关于点 中心对称，所以
为奇函数，从而有，即
.
因为 ，
，
所以 解得所以 .
（2）判断函数 的零点个数.
解：由（1）可知， ，
， .
①当时，，，所以在
上单调递增，
因为， ，
所以函数 有且仅有一个零点；
②当时，，令，得 ，
所以， ，所以有两个正根，
不妨设，则 ，所以函数在上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
因为，，所以函数 有且仅有一个零点；
③当时，，令 ，解得
或，所以 有两个零点；
④当时，，令，得 ，所以
，，所以 有一个正根和一个负
根，不妨设，所以函数在 上单调递增，在
上单调递减，在 上单调递增，
因为，，所以函数
有且仅有三个零点.
综上所述，当时，函数有三个零点；当时，函数
有两个零点；当时，函数 有一个零点.
【规律提炼】
利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间
与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图
象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、
数形结合思想和分类讨论思想的应用.
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题.
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等
价转化为直线与函数的图象的交点问题.
自测题
函数的图象在 处的切线方程为
, .
（1）求 的值；
解：因为,所以 ，所
以，所以切线斜率为，即 ，
所以切线方程为 ,
又，所以切点坐标为 ，代入切线方程得
，解得 .
（2）求在 上零点的个数.
解：由（1）得, ，
令 ，则 .
当 时，恒成立，所以在 上
单调递增，所以，
因此 在 上无零点.
当 时，恒成立，所以在
上单调递增，
又, ，
所以在上存在唯一的零点 ，
当时,, 单调递减,
当时, 单调递增，
又,，，所以 在
上有且仅有1个零点.
综上，在 上有且仅有1个零点.
微点3 与零点有关的求参或证明问题
例3 已知函数，其中 为自然对数的底数.
（1）讨论 的单调性.
解：由题意得，，则 ，
由，解得 .
显然，若，则当时，, 单调递增，
当时，, 单调递减；
若，则当时，,单调递减，当 时，
, 单调递增.
综上，当时，在区间上单调递增，在区间 上
单调递减；
当时，在区间上单调递减，在区间 上单调递增.
（2）若方程有两个不同的根, .
（ⅰ）求 的取值范围；
解：由，得 ，设，
由（1）得在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又,，当时，，且当 时，
，所以当时，方程 有两个不同的根，
即方程有两个不同的根，故的取值范围是 .
（ⅱ）证明： .
证明：不妨设，则，且 .
方法一：当时，，即 ；
当时， .
设, ,
则 ,
所以在区间 上单调递增，
则，即 ，
所以 ,
又,所以,又,在区间 上单调递减，
所以，即 ，
又，所以 ，
故，所以 ，
得证.
方法二：设 ， ，则
，所以在区间 上单调递增，
又 ，所以 ，即 .
因为，所以 ，
又,,在区间上单调递减，所以 ，即
，又，所以 ，得证.
【规律提炼】
1.函数零点的个数问题,要能转化为函数图象与轴的交点个数或者两
个函数图象的交点个数问题,数形结合解决问题.
2.对于零点存在问题,可利用放缩法或者分类讨论恰当地找到一正一
负两个函数值.
3.对于与零点有关的不等式证明问题,一般解法是构造函数,借助于函
数的单调性解决问题.
自测题
1.[2024·临汾二模] 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
②若，令，得，
当 时，, 单调递减，
当时，, 单调递增.
综上所述，当时，在 上单调递增；
当时，在上单调递减，在 上单调递增.
解：由题知的定义域为 ，
.
①若，则，在 上单调递增；
（2）若有两个零点，求 的取值范围.
解：当时，在 上单调递增，不可能有两个零点，不符合
题意.
当时，在上单调递减，在 上单调递增，
因为有两个零点，所以 ，
又，所以 .
令, ， 则，所以在 上单调递减，
又 ，所以当时，，即 .
因为 ，
所以在 上有1个零点.
令，则，
由得，由 得 ，
所以函数在上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即.
当时，,故 ，
所以 ，
取 ，有 ，
所以在 上有1个零点.
综上所述，当有两个零点时，，即的取值范围为 .
2.[2022·天津卷] 已知，，函数 ，
.
（1）求曲线在 处的切线方程；
解：由已知得,, ，故所求切
线方程为 .
（2）若曲线和 有公共点，
（ⅰ）当时，求 的取值范围；
解：由已知得曲线和有公共点，即 有解.
当时，，，当时， 无解，
所以设，，则 有解，
易知 ，,，设 ,
则 ，故在 上单调递增，
当时， ，当 时， ，
故存在，使得 ，即，可得 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则问题转化为 即可.
由 ，解得
，
又，所以当时， ，所
以，故实数的取值范围是 .
（ⅱ）求证： .
证明：方法一：令曲线和 交点的横坐标为
，则 ，
由柯西不等式（,,, ,当且仅
当 时,等号成立），
得 ，
即证 .
设，下证 ，
因为，所以在上单调递减，在 上单
调递增，故，即 .
再设,下证 ，
因为，所以在 上单调递增，
故，得 .
所以 ，得证.
方法二：令曲线和交点的横坐标为 ，则
，则由基本不等式得
，因此 ，
构造函数，，则 ，
当时，，单调递减，当 时，
， 单调递增，所以 ，
所以，即 ，得证.
1.[2023·天津卷] 若函数 有且仅有两
个零点，则 的取值范围为________________________.
[解析] 方法一：①当时， ,
则只有一个零点 ，不符合题意.
②当时，关于的不等式 恒成立，
此时 ,
当时，只有一个零点，不符合题意；
当 时，令,得,
故 有且仅有两个零点，符合题意.
③当时，关于 的方程有两个不等实根,,不妨设,
此时
即
令,得,,,,
其中 , ,,,
当 时， ,
,舍去,,故 有且
仅有两个零点，1，符合题意；
当 时，,,舍
去, ,故有且仅有两个零点,，符合题意.
综上， 的取值范围为 .
方法二：当 时，
,
令 ,得，.
又，所以对应 ， 对应.
当时，，令,得， .
又，所以对应，对应 .
特别地，当时，函数只有一个零点，为 ,不符合题意；
当时，函数只有一个零点，为,不符合题意；
当 时，函数有两个零点，分别为和,符合题意.
综上， 的取值范围为 .
2.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知函数和
有相同的最小值.
（1）求 ;
解：方法一：由题知， .
①当时，恒成立，所以在 上单调递增，
则 没有最小值，不符合题意.
②当时，令，得 ，令，得 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以在处取得最小值 ；
令，得 ，令，得 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以在处取得最小值 .
因为和 有相同的最小值，
所以，即 .
令 ，则 ，
所以在 上单调递增，易知，所以 .
方法二：的定义域为 ，, .
若，则恒成立，则在上单调递增， 无最小
值，不符合题意，故 .
令，得 ,
当时，，函数在 上单调递减，
当时，，函数在 上单调递增，
故 .
的定义域为 ，, ，
令，得 .
当时，，函数在 上单调递减，
当时，，函数在 上单调递增，
故 .
函数和 有相同的最小值，
,
，可化为 .
令， ，
则 ，
， 恒成立，在 上单调递增，
又，， ．
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和 共有
三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
证明：方法一：由（1）知，， ，
在上单调递减，在 上单调递增，
在上单调递减，在 上单调递增，且
.
①当时，因为，所以直线 与两
条曲线和 没有交点，不符合题意.
②当时，因为，所以直线 与两
条曲线和 共有两个交点，不符合题意.
③当时，首先证明直线与曲线 有两个交点，
即证明 有两个零点.
因为 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
又因为，， ，
所以在上有且只有一个零点，设为,在 上有且
只有一个零点，设为 .
然后证明直线与曲线 有两个交点，
即证明 有两个零点.
因为 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
又因为， ， ，
所以在上有且只有一个零点，设为，在 上有且只
有一个零点，设为 .
接下来证明存在使得 ，
因为，所以 ，
若，则，即 ，
所以只需证明在 上有解,
即在 上有零点.
因为， ，
所以在上有零点，设为 ，令
，则，则存在直线 与两条曲线
和 共有三个不同的交点.
最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为 ，
所以 ，
又因为在上单调递减，， ，即
，所以 .同理 .
因为 ，所以 .
综上，存在直线，其与两条曲线和 共有三个
不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
方法二：由（1）知，函数在 上单
调递减，在 上单调递增，
函数在上单调递减，在 上单调递增.
设 ，则
，当时， ，
函数在 上单调递增，
， 当时， 恒成立，即
在 上恒成立，
当时， .
，函数在上单调递增，，函数
在 上单调递减， 函数的图象与函数的图象在 上
存在唯一的交点，设该交点为 ，
此时可作出函数和 的
大致图象，如图所示.
由图可知，当直线与两条曲线
和共有三个不同的交
点时，直线必经过点 ，
即
， ,即 .
令，得,解得 或
, 由，得 .
令 ，得,解得 或
，
由，得 ，
当直线与两条曲线
和 共有三个不同的
交点时，从左到右的三个交点的
横坐标依次为,, .
，即 ,,, 成等差数列，
存在直线,其与两条曲线 和 共有三个不同的
交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
3.[2021·新高考全国Ⅱ卷] 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性;
解： .
当时，令，得 ，
且当时，，单调递减，当时， ,
单调递增.
当时，令得， ,
且当时,,单调递增，
当 时, , 单调递减，
当时，, 单调递增.
当时，,在 上单调递增.
当时，令得， ，
且当时，， 单调递增，
当时，, 单调递减，
当时,, 单调递增.
（2）从下面两个条件中选一个，证明: 有一个零点.
①, ;
②, .
证明：若选①,则由（1）知在上单调递增,在
上单调递减,在 上单调递增.
, ,
在 上有一个零点,
即在 上有一个零点.
， .
， , ,
, 当时，, 无零点.
综上,在 上有一个零点.
若选②,则由（1）知在上单调递增，在
上单调递减,在 上单调递增.
， ,
, ,，
， 当 时，， 无零点.
当时，单调递增, ,
当 时， ，在 上有一个零点.
综上,在 上有一个零点.
［备选理由］例1考查了讨论参数的情况求零点，比较综合，难度较
大；例2综合考查了微点2和微点3，难度较大；例3考查将新定义转
化为与切线、零点相关的问题.
（1）求 的最小值；
解：由题知，的定义域为, ，
则当时，,当时， ，
所以在区间上单调递减，在区间 上单调递增，
因此的最小值为 .
例1 ［配例2使用］ [2024·湖南长沙一中模拟] 已知函数
,, .
（2）设函数，讨论 零点的个数.
解：，且，令 ，得
，令，则与 有相同
的零点，且 .
令，则，因为 ，所以
，所以在区间 上单调递增，又
,，所以存在 ，使 ，
且当时，，即，
当 时，，即 ，
所以在区间上单调递减，在区间 上单调递增，
因此的最小值为 .
由，得，即 ，
令，则在区间 上单调递增，
因为，所以，则 ，
所以，从而，即 ,
所以的最小值 .
所以当时， 没有零点；当时， 有一个零点；
当时，因为 ，
当趋近于0时，趋近于 ，当趋近于 时， 趋近于
，所以 有两个零点.
综上，当时， 的零点个数为0；
当时， 的零点个数为1；
当时， 的零点个数为2.
例2 ［配例2、例3使用］ [2024·广州二模] 已知函数
.
（1）讨论 的零点个数；
解：因为 ，
当时，，此时 有一个零点；
当时，，所以不是函数 的零点.
令,得 ，
故只需讨论的图象与直线 的交点个数即可.
，
因为 ，所以在和上单调
递减，在 上单调递增，
当 时, ，当且时， ，
当且时， ，
所以 的大致图象如图所示，
故当时,的图象与
直线 有1个交点，
当时，的图象与
直线 有2个交点.
综上，当时，函数有1个零点；
当时，函数 有2个零点.
（2）若存在两个极值点，记为的极大值点，为 的
零点，证明： .
证明：函数,则 ，
当时，，所以函数 只有一个极值点，不满足条件；
当时，，所以函数 无极值点；
当时，，令得，或，令 ，
得 ，
所以函数在上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，此时 ，
因为 ,
,，当 时， ，
所以函数在上无零点，在上有一个零点 ，
所以 ；
当时，，令，得或 ，
令，得 ，所以函数在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增，此时 ，
因为,,当 时， ，
，
令，则 ，所以，即 ，
所以函数在上有一个零点，且 ，
所以.
综上， .
例3 ［补充使用］ [2024·丹东二模] 设函数的定义域为 ，
若，曲线在处的切线与曲线有 个公共
点，则称为函数的“度点”，切线为一条“ 度切线”.
（1）判断点是否为函数 的“2度点”，说
明理由.
解：因为，所以， ，
，则曲线在点处的切线的方程为 ，
将切线的方程与联立得 ，
记 ，
则 ，
所以当时，，当或时， ，
则在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增，
所以在处取得极大值 ，
在处取得极小值，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以在
上存在唯一零点，则点为函数 的“2度点”.
（2）设函数 .
①若直线是函数的一条“1度切线”，求 的值；
解：设直线与曲线相切于点 ，
因为，所以 ，
则 整理得 .
对于给定函数，我们定义它的导数为，定义它的导数
的导数为 .
设，
则 ， ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以在上单调递增，
又，所以，所以 ，经检验符合题意.
②若，求函数 的“1度点”.
解：设点，曲线在点 处的切线方程为
，令 ，
因为曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，所以 有唯
一零点，，且 ，
所以，令，则 ，
所以当时，， 单调递减；
当时，， 单调递增.
若，当时，，
当 时， ，所以在上单调递增，
所以只有唯一零点 .
若，当时，单调递增，且 ，
则当时，， .
当 时，
，
其中， ，
必存在，使得 ，
所以，故在内存在零点，即在 上至少
有两个零点.
若，同理利用，可得在 上至少有两个零点.
综上所述，函数的“1度点”为 .

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