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微专题26 切线放缩与构造
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 指数、对数切线不等式的直接应用
例1 若,, ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由得 ，所以
，所以，
由 得，所以.
综上， .
√
【规律提炼】
切线放缩证明不等式的原理：或.
回归本源，还是得从指数函数和对数函数互为反函数入手，借助公
切线进行辅助，数形结合建立函数更直观.
自测题
已知，， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,
，
所以,
又，所以 .
√
微点2 指数切线不等式同构变形的应用
例2 已知函数，若 恒成立，则实
数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 等价于，
令 ，则，所以 是增函数，
所以等价于 ，所以
，所以，所以实数的取值范围为 .
√
【规律提炼】
对于指、对、幂函数同时出现的复杂不等式问题，一般借助指数恒
等式或对数恒等式进行指对互化，然后再考虑用同构思想方法将不
等式两边转化成形式一样的式子，再构造函数利用函数单调性来研究.
说明：过原点与函数的图象相切的直线的斜率为.
自测题
1.已知函数，当时，，则实数
的取值范围为________.
[解析] 由可得，两边同时取以 为底的对数
可得，即在 上恒成立，
令，则只需 即可.
又 ，
因为，当且仅当 时等号成立，所以
，当且仅当 时等号成立，所以
，当 有解时等号成立，
令，则 ，即在上
单调递增，由, ，可得存在，
使得，所以，即 ，所以实数的取值范围
为 .
2.[2024·烟台二模] 已知函数, .
（1）讨论 的单调性；
解：由题可知，，且在 上单调
递增.
当时，恒成立，此时在 上单调
递减；
当时，令，得 ，
所以当时，，此时 单调递减 ，
当时，，此时 单调递增；
当时，在上恒成立，此时 单调递增.
综上，当时，在 上单调递减；
当时，在上单调递减，在 上单调递增；
当时，在 上单调递增.
（2）若恒成立，求实数 的取值范围.
解：因为，所以 ，
又，所以，即 ，
故当时， 恒成立.
令， ，则 ，
当时，， 单调递增，
当时，， 单调递减，
所以，从而 .
将两边同时取以 为底的对数可得
，
整理可得 .
令，则，且在 上
单调递增，
因为且 ，
所以在 上恒成立，
所以 恒成立，
令， ，则 ，
当时，, 单调递增，
当时，， 单调递减，
所以 ，所以 ，
又因为，所以 .
微点3 指数、对数切线不等式变式的应用
例3 已知函数，若不等式 在
上恒成立，则实数 的取值范围是________.
[解析] 即 ，即
，设 ，则
，故函数 在定义域上单调递增，
又，故当时，， ，
即，
而， ，即 .
【规律提炼】
常见的不等式放缩有，，，
等，在求参数取值范围或证明不等式时，常常使用以上
不等式进行适当变形进行求解.
自测题
1.关于的不等式在 上有解，则实
数 的取值范围是________.
[解析] 由题设知.又由题设可得在 上
有解，故在上有解,
又 ，，当且仅当 时等号成立，所以
，当且仅当 时等号成立，
所以函数的最小值为0，故，解得 .
综上可知,实数的取值范围是 .
2.设函数 .
（1）若是的极值点，求的值，并讨论 的单调性；
解：由题意得，由是 的极值点，得
，所以，于是 ，定义域为
, .
易知函数在 上单调递增，
又，因此当时，，当 时，
，所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以是的极小值点，符合题意，故，在
上单调递减，在 上单调递增.
（2）当时，求证： .
证明：当，时， ，
则 .
方法一：只需证明当时， .
当时，函数在 上单调递增.
又, ，
故在上有唯一实根，且 .
当时，，当时， ，从而
当时， 取得极小值，即最小值.
由得，则 ，故
.
方法二： ，
得证.
1.[2023·新课标Ⅰ卷] 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
解：由题知的定义域为 ，且 .
当时，恒成立，故在 上是减函数；
当时，令，得 ，令，得 ，
故在上单调递减，在 上单调递增.
综上，当时，在 上是减函数；
当时，在上单调递减，在 上单调
递增.
（2）证明：当时， .
证明：方法一：因为，当且仅当 时，等号成立，
又因为 ,
当且仅当，即 时，等号成立，
所以要证 ，即证 ，即证 .
令,则 ,
令,得 ,令，得 ,
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以,
则 恒成立，所以当时， .
方法二：当时，由（1）得 ,
要证 ,只需证 ,
即证，易证 ,
所以只需证明，即证 .
因为恒成立，所以 成立，
故得证.
2.[2021·全国乙卷] 设函数，已知 是函数
的极值点．
（1）求 ；
解：令，则 ，
由题知，所以 .
当时，，则在 上单调递减.
可知当时，，当时， ，
则在上单调递增，在 上单调递减.
所以是函数的极值点，则 符合题意.
（2）设函数，证明： ．
证明：方法一：由（1）知， ，定义域
为 .
令,，因为,所以
在区间上单调递增，在区间 上单调递减，
所以,即（当且仅当 时取等号）.
故当且时，且， ,
即 ，所以 .
当时，,所以 ,
即，所以 .
当时，，同理可证得 .
综合得，当且时， .
方法二：由，得 ，由，得 .
当时，， ；
当时，， .
故要证，只需证 ，即证
.
令且，则 ，即证
.
设， ，则
，
所以在上单调递减，在 上单调递增，故
.
因为且，所以 .原命题得证.
［备选理由］例1考查切线放缩与基本不等式，考查角度较为新颖；
例2是导数与数列相结合的题目，并且用到了放缩，综合性比较强，
难度较大.
例1 ［配例2使用］证明：当时, .
证明：要证，只需证 .
由切线不等式 ，可知
，当且仅当
,即时等号成立，所以 .
例2 ［配例3使用］ [2023·天津卷] 已知函数 .
（1）求曲线在 处切线的斜率；
解：，则 ，所以
曲线在处切线的斜率是 .
（2）当时，证明： ;
证明：当时，,
所以不等式 等价于 .
令 ，
则 ，
所以在上单调递增，从而 ,即 .
综上所述，当时， .
（3）证明：， .
证明：方法一：设 ,
则 .
①由（2）知， .
所以,所以是递减数列，故 ,
即不等式的右边成立.
②下面证明不等式的左边.
我们先来证明当时，有 ，只需
证时， .
令， .则
.
所以当时，,即在 上单调递减，
所以当时，，则 ,故
得证.
所以当 时， .
由于,因此当时， .
又，所以 .
综合,, 成立.
方法二：设,注意到,要证 ,
只需证 为递减数列.
,
由于,所以 ,即
,则为递减数列.
要证,只需证与 的差小于 ，下面先证，.
设， ，
则 ，所以
在上单调递减，
所以 ，故， .
所以由, ，得
.
又,所以当 时， ，
故，又，所以 .
综上,, .

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