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微专题10 立体几何中的截面与动态
问题
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 多面体截面
例1 （多选题）正方体的棱长为6，， 分别是
棱，的中点，过，， 作正方体的截面，则( )
A.该截面是五边形
B.三棱锥 外接球的球心在该截面上
C.该截面与底面夹角的正切值为
D.该截面将正方体分成两部分，较小部分的体积为75
√
√
√
[解析] 对于A，如图①所示，延长交的延长线于，
延长 交的延长线于，
连接交于，连接交于 ，连接，，
则五边形为平面 截正方体所得的截面，故A正确.
对于B，如图②所示，设的外心为，三棱锥
的外接球的球心为，连接，， ，
由题知,,,
在 中，,
所以，所以 外接圆的半径为,
所以在 中，三棱锥 外接球的半径
,
三棱锥 外接球的球心到,,C三点的距离都为.
在 中，,
所以，
所以 外接圆的半径,
所以四面体 外接球的球心不在该截面上，故B错误.
对于C，以A为坐标原点，,, 所在直线分
别为,,轴建立如图③所示的空间直角坐标系，
则 , ,，
所以, ，
设为平面的法向量，
则
取,得,，所以.
因为 平面 ，
所以为平面的一个法向量，
又 ,，
所以,,则 ,，
所以该截面与底面夹角的正切值为 ，故C正确.
对于D，如图④所示，取的中点，连接,
因为 ，所以，
所以，
又 ，所以，所以，
同理，由 得，
由得 ，
所以 ，
，
，
，
,
所以该截面将正方体分成两部分，
较小部分的体积为 ，故D正确.故选 .
【规律提炼】
多面体的截面方式共有三种，分别为横截、竖截和斜截，解决多面
体截面问题的关键是通过截面方式得到正确的截面图形.
自测题
在底面为等腰直角三角形的直三棱柱中， 为底面三
角形斜边上一点，且，，为线段
上一动点，则平面 截三棱柱所得截面面积的最大值为_ ___.
[解析] 分如下三种情况：
如图①，延长交于点，过点 作的垂线交于点，
连接，则四边形 为所求截面；
如图②，延长交于点，过点作的垂线交于点 ，
连接，则四边形为所求截面；
如图③，延长交 于点，连接，则三角形 为
所求截面.
显然图①②中的截面面积均大于或等于图③中的截面面积，
故只需考虑图①②中的情况，
易知图①②中的情况相同，故只需考虑图①.
在图①中，易知，，
设，则 ， ，
所以所求截面面积
，
因为,均在 上单调递增，
所以函数在 上单调递增，
故，故截面面积的最大值为 .
微点2 动点、动线、动面
例2 （多选题）[2024·江西鹰潭一模] 如图，直四棱柱
的所有棱长都为4，，点 在四边形
及其内部运动，且满足 ，则下列说法正确的是
( )
A.点的轨迹长度为
B.直线与平面 所成的角的大小为定值
C.点到平面的距离的最小值为
D.的最小值为
√
√
[解析] 直四棱柱 的所有棱长都
为4，则底面为菱形，
又 ，所以和都是等边三角
形，连接 ，设与相交于点，则.
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
过且垂直于底面的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则, ,, ,,
，
因为点 在四边形及其内部运动，
所以设，, ，
由 ，得
，
整理得 ，
所以点的轨迹为以 为圆心，2为半径的半圆弧，
所以点的轨迹长度为 ，A选项错误.
易知平面的一个法向量为 ，
，
设直线与平面 所成的角为 ，
则 ，
又，所以，
所以直线 与平面所成的角的大小为定值， 选项正确.
, ，
设平面的法向量为 ，
则
令 ，得,，则，
所以点 到平面 的距离 ，
又，所以当 时，，
所以点到平面 的距离的最小值为 ，C选项正确.
, ，
所以 ，
其几何意义为点到点 的距离的平方减12，
由，知点到点 的距离的最小值为，
所以 的最小值为，D选项错误.故选 .
【规律提炼】
1.在立体几何中，某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各
样的轨迹.
2.探求空间轨迹与探求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨
迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的
动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．
自测题
在正三棱柱中，，，为棱 的中
点，为棱上的动点，为线段上的动点，且 ，则
线段 长度的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，连接，因为正三棱柱
中，为棱的中点，所以.
取 的中点，连接，则 平面.
以为原点， ，，所在直线分别为,, 轴
建立空间直角坐标系，
则，， ，，
因为是棱上的动点，所以设， 其中.
因为 ，所以 ，
令 ， ，
则， .
因为函数在上单调递增，
所以当 时，，
即线段 长度的最小值为，
当时， ，
即线段长度的最大值为，
所以线段 长度的取值范围为 .故选B.
微点3 折叠与展开之夹角、距离问题
例3 （多选题）如图，在矩形中，,，， 分别
为，的中点，将沿直线翻折成,与， 不
重合，连接,，为的中点，连接， ，则在翻折过
程中，下列说法正确的是( )
A. 的长是定值
B.三棱锥外接球的表面积为
C.当 时，三棱锥的体积为
D.点到平面的最大距离为
√
√
√
[解析] 对于A,如图，取的中点 ，连接
，，则，且 ，
又，且， ，且，
四边形是平行四边形， ，
而，故A正确.
对于B，如图，取的中点 ，连接, ，
则，即点为三棱锥 的外接球的球心，
三棱锥 的外接球的表面积为 ，故B错误.
对于C，如图，连接, ,设，连接 ，
在中，由正弦定理得 ，
即， ，即,
,分别为,的中点，
,，，
又为的中点， , ，
,
,，
又,， 平面，
平面, ，
又,，
又, 平面，
，故C正确.
对于D，设点D到平面 的距离为，
为的中点， 点到平面 的距离为
，是定值，
当平面 平面时，三棱锥 的体积最大，
由 ，
即，解得，
点 到平面的最大距离为，故D正确.故选 .
【规律提炼】
在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大（小）、角的范围等
问题，常用的解题思路是：
（1）直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的
量有相应最大、最小值.
（2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标
函数，从而利用代数方法求目标函数的最值.
自测题
如图，在中，,, ，过
的中点的动直线与线段交于点
（与不重合），将沿直线 向上翻折至
的位置，使得点在平面内的射影落在线段 上
（不在平面内），则直线与平面 所成角的正弦值
的最大值为______.
[解析] 在中，根据余弦定理得
，
根据正弦定理得 ，所以，
由知 ，则.
如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，则, ，
所以，设点，
因为点在平面内的射影 在轴上，所以,
由 ，可得
，
整理得 .
在翻折过程中有，过作于点 ，
连接,，则 ，
又,, 平面 ，所以 平面,
又 平面 ，所以，即 ，其中
.
因为动点在线段 上， 所以设 ，
则，且 .
由 ，得 ,
可得 ，
又因为，所以的取值范围为 ，即 .
连接，则直线 与平面所成的角是 ，
又，
所以直线 与平面所成角的正弦值的最大值为 .
1.（多选题）[2021·新高考全国Ⅰ卷] 在正三棱柱 中，
，点满足，其中 ，
，则( )
A.当时， 的周长为定值
B.当时，三棱锥 的体积为定值
C.当时，有且仅有一个点，使得
D.当时，有且仅有一个点，使得 平面
√
√
[解析] 当时，，
如图①，点在棱 上，且 ，
的周长为 ，
该式含有变量 ，不是定值，选项A不正确.
当时， ，
如图②，点在棱上，
因为， 平面 ，
平面，所以平面，
故点到平面 的距离为定值，
所以三棱锥的高为定值，
又 的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，
选项B正确.
当 时，，
如图③，设，的中点分别为D， ，连
接，，，则点在线段 上.
当点与点D重合时， 平面，
此时；
当点 与点重合时， 平面，此时.
故满足 的点不唯一，选项C不正确.
当时， ，
如图④，设,的中点分别为,，连接，
则点在线段 上.
因为，，
所以只要 ，就有 平面，
反之，若 平面 ，则一定有，
因此只需找出满足 的点
，
，
，
其中 ，
，，所以 ，
令，得，此时，即，
此时点 与点重合，
故有且只有一个点，使得 平面 ，选项D正确.故选 .
2.[2020·全国新高考Ⅰ卷] 已知直四棱柱 的棱长均为
2, .以为球心，为半径的球面与侧面 的交线
长为_ ____.
[解析] 如图，取的中点，连接
四棱柱 是各棱长均为2的直四棱
柱，且 ， 平面 ，且
.
由球的截面圆的性质可得截面圆的半径为.
在平面上作以为圆心， 为半径的圆弧，与棱，的
交点分别为，，易得， 均为所在棱的中点.
连接,, ,, ，
球面与侧面的交线长为 .
［备选理由］例1利用平面的性质考查球与柱体的交线，来确定截面
的位置与形状；例2利用空间向量坐标来探究动点的轨迹问题；例3
以二面角为变量考查折叠过程中的位置关系、距离、空间角等.
例1 ［配例1使用］ [2024·江西宜春二模] 在正六棱柱
中，，为棱 的中点，
则以 为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为球的半径为2，所以球 不与侧面
及侧面相交，连接,, , ，如图.
由题得， ，
所以，所以球与侧面 交
于点，C，与侧面交于点， .
在正六边形中，易得 ，
因为 平面， 平面 ，所以，
又, 平面， 平面，
所以 平面，
取的中点，的中点 ，连接,，
则 平面 ，且，.
所以球与侧面 的交线为以为直径的半圆，
同理可得球 与侧面的交线为以 为直径的半圆.
由题易得，则球与上底面 及
下底面的交线均为个半径为 的圆.
所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为
.故选D.
例2 ［配例2使用］ （多选题）[2024·江苏苏州八校三模] 如图，在
空间直角坐标系中，正方体的棱长为2， 为
的中点，若正方体内的动点 满足
则( )
A.点的轨迹长为
B.的最小值为
C.
D.三棱锥体积的最小值为
√
√
[解析] 对于A，连接， ，如图①，
由可知，
点在以 为球心，1为半径的球上，
又由可知，点在平面上，
所以点 的轨迹为球面与平面的交线，
即为以 为圆心，1为半径的半圆，
如图②，所以点的轨迹长为 ，故A错误.
对于B，当在 上的投影向量的模最小时，
的值最小，
由图②知当点为弧 的中点时，
的值最小，为 ，
故B正确.
对于C，因为，，
,所以 平面，
又 平面，所以 ，故C正确.
对于D，因为 平面，所以点到平
面 的距离为，
则，
由图②可知当点为弧 的中点时，
的面积最小，为 ，
所以，故D错误.
故选 .
例3 ［配例3使用］ （多选题）如图，在矩形中， ，
，是的中点，将沿着直线翻折得到 .
记二面角的平面角为 ，当 的值在区间 范围内
变化时，下列说法正确的有( )
A.存在 ，使得
B.存在 ，使得
C.当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为
D.若直线与所成的角为 ，则
√
√
√
[解析] 对于A，在矩形中， ，，
是的中点，所以, ，
故, 为等腰直角三角形，
故 ，所以 .
如图，取的中点，的中点，连接,,，
则 ,，
故即为二面角 的平面角，即 ，
当时， 平面，
因为 平面 ，所以，
因为， 平面, 平
面，所以 平面，
因为 平面 ，所以，
故存在 ，使得 ，故A正确.
对于B，以为坐标原点，,所在直线分别为, 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，则,, ，
当时， ，
此时 ，
，
故
，故不存在 ，使得
，故B错误.
对于C，当时， 平面 ，此时四棱锥的体积最大，此时，
设平面 的法向量为，
则
令 ，则，，故，
故点B到平面 的距离
，故C正确.
对于D，， ，
故, ，故D正确.故选 .

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