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(共36张PPT)
微专题11 计数原理与排列组合、二
项式定理
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 两个计数原理
例1（1）[2024· 新课标Ⅱ卷] 在如图所示的 方格
表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选
中，则共有____种选法，在符合上述要求的选法中，
选中方格中的4个数之和的最大值是_____.
24
112
[解析] 在 方格表中选4个方格，
每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 （种）选法.
选中方格中的4个数的十位数字一定分别是1，2，3，4，
所以只需比较个位数字，故选中方格中的4个数之和的最大值
是 .
（2）[2024·宁波二模] 某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开
始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节
各有,两种运输方式，第3，4两个环节各有, 两种运输方式，第5
个环节有, 两种运输方式，则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式
的不同送达方式共有____种.
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[解析] 因为快件从甲送到乙恰用到4种运输方式，
且第5个环节从，两种运输方式中选一种，
所以第1，2，3，4个环节必须包含 ,, 三种不同的运输方式.
若第1，2个环节运输方式相同，则只能都选，
第3，4个环节一个选，一个选，此时有 （种）方式；
若第1，2个环节运输方式不相同，则已经包含, 两种运输方式，
则第3，4个环节一个选，一个选，或者都选 ，
此时有 （种）方式.
故快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式
共有 （种）.
自测题
1.[2023·全国甲卷]现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的
星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰
有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A.120种 B.60种 C.30种 D.20种
[解析] 由题可知，参加公益活动的志愿者需要3人，先从5人中选出
3人有种选法，再从3人中选出1人参加两天公益活动，有 种选法，
另外2人分别安排在星期六、星期日，有 种方法，
则共有 （种）安排方式.故选B.
√
2.[2024·湖南师大附中二模] 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉
提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正
整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数
.设，其中,,, 均为
自然数，则满足条件的有序数组 的个数是____.（用数字作
答）
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[解析] 显然,,, 均为不超过5的自然数，当最大数为5时，
，此时共有 （种）情况.
当最大数为4时，
，此时共有 （种）情况；
，此时共有 （种）情况.
当最大数为3时，
，没有满足题意的情况.
由分类加法计数原理知，
满足条件的有序数组 的个数是 .
微点2 排列组合基本问题
例2（1）甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的
座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的
就座方法共有( )
A.120种 B.240种 C.360种 D.480种
√
[解析] 先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，
再将4个人中任意2个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个.
若将这2个空位连在一起插入4个人之间和两侧空位，有5种放法；
若将这2个空位分开插入4个人之间和两侧空位，有 （种）放法.
故不同的就座方法共有 （种）.故选C.
（2）[2023· 新课标Ⅰ卷] 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术
类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至
少选修1门，则不同的选课方案共有____种（用数字作答）.
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[解析] 若选修2门课，则需要从体育类和艺术类选修课中各选1门，
有 （种）方案；
若选择3门课，则包含两种情况：选2门体育类，1门艺术类或2门
艺术类，1门体育类，有 （种）方案.
故不同的选课方案共有 （种）.
【规律提炼】
对于排列组合的问题,要熟练掌握基本原则和基本方法,例如有限制条
件的排列问题服从特殊元素或特殊位置优先原则,相邻问题用捆绑法、
不相邻问题用插空法、定序问题用倍缩法等,分类过多的问题考虑间
接法,特别注意分类要谨防重复与漏解.
自测题
1.[2024·抚顺六校联考]将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，
每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为( )
A.15 B.35 C.56 D.70
[解析] 将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，
每个班至少有1个名额，等价于用3个隔板插入8个小球中间的空隙中，
将球分成4堆，因为8个小球中间共有7个空隙，
所以共有 （种）不同的分配方案.故选B.
√
2.[2024·江西八校联考]已知四棱锥 ，现有五种颜色可供选
择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上
的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有( )
A.240种 B.420种 C.336种 D.120种
√
[解析] 四棱锥 如图所示.
当只用三种颜色时,A,C同色且B,D同色,
从5种颜色中选择3种,此时有 (种)涂色方法；
当只用四种颜色时,A,C同色或B,D同色,从5种颜色中选择4种,
再从A,C和B,D中选一组涂相同的颜色,此时有 (种)涂色方法；
当用五种颜色时,每个顶点用1种颜色,此时有 (种)涂色方法.
综上,不同的涂色方法共有 (种). 故选B.
3.[2024·济宁二模] 两位老师和四位同学站成一排，如果两位老师不
相邻且不站两端，那么共有 _____种不同的站法.（用数字作答）
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[解析] 先将四位同学全排列，有 种排法，再将两位老师插入四位
同学之间，有种排法，故共有 （种）不同的站法.
微点3 二项式定理及其应用
例3（1）的展开式中 的系数为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
[解析] 由题知展开式中含的项为 ，
所以 的系数为15，故选C.
√
（2）已知 ，则
____.
21
[解析] 对 两边求导可得
，
令 ，可得 ，
即 .
在中，令 ，
可得，所以 .
【规律提炼】
对于求解二项展开式中特定项的系数问题,可用待定系数法利用二项
展开式的通项来解决;求展开式中若干项系数的和、差等,一般用赋值
法达到解决问题的目的.
自测题
1.若的展开式的二项式系数之和为128，则展开式中 的系
数为_____.
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[解析] 由的展开式的二项式系数之和为 ,解得.
的展开式的通项为
，令 ,解得,
所以展开式中 的系数为 .
2.[2024·湖南雅礼中学一模] 的展开式中 的系数
为_____.（用数字作答）
[解析] 的展开式的通项为
，令 ，得，
此时.
令 ，得，
此时 .
故的展开式中的系数为 .
3.已知 .
若，则 ____.
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[解析] 令，则 ，
故，即，
则 .
1.[2023· 新课标Ⅱ卷]某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比
例分配的分层随机抽样方法做抽样调查，拟从初中部和高中部两层
共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学
生，则不同的抽样结果共有( )
A.种 B.种 C.种 D. 种
[解析] 依据比例分配的分层随机抽样可知，从该校初中部和高中部
抽取的学生人数的比为 ，故应从初中部抽取40人，从高中部
抽取20人，所以不同的抽样结果共有 种.故选D.
√
2.[2022·新高考全国Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加
文艺汇演，则甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
[解析] 方法一：先利用捆绑法将丙和丁看作一个整体，排乙、丙、
丁、戊四人，有种情况，再利用插空法选甲的位置有 种情况，
故共有 （种）满足题意的不同排列方式，故选B.
方法二:若甲没有限制条件，则利用捆绑法将丙和丁看作一个整体，
排五人有种情况，其中甲站在两端的情况有 种,所以共有
（种）满足题意的不同排列方式，故选B.
√
3.[2023·全国乙卷]甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，
则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
[解析] 方法一：先从6种课外读物中选出1种，
这种课外读物是甲、乙同时选读的，有 种情况，
然后甲从剩余5种课外读物中选读1种，有种选法，
乙再从剩余的4种课外读物中选读1种，有 种选法，
根据分步乘法计数原理可知，
符合题意的选法共有 （种），故选C.
√
方法二：首先确定甲、乙同时选读的课外读物，有 种情况，
然后两人各自选读另外1种课外读物相当于从剩余的5种课外读物里，
选出2种进行排列，有 种情况，
根据分步乘法计数原理可知，
符合题意的选法共有 （种），故选C.
4.[2024·全国甲卷] 的展开式中，各项系数中的最大值为___．
5
[解析] 展开式的通项为，，
且 ，设展开式中系数最大的项为第 项，
则需要满足解得,
又,所以 ,即展开式中，各项系数中的最大值为 .
5.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 的展开式中 的系数为
_____（用数字作答）.
[解析] 的展开式的通项为.
令 ,得；令,得 .
所以的展开式中的系数为 .
［备选理由］例1考查分类加法计数原理的应用；例2考查分配问题，
考查排列组合知识的应用；例3考查二项式定理.
例1 ［配例1使用］ [2024·山东聊城三模] 将两本相同的图画书和
两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图
画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有____种.
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[解析] 不妨记两本相同的图画书为元素1,1，
两本不同的音乐书为元素3,4，根据题意，分类讨论：
若分组情况为13,1,4，则分配给三个小朋友的分法有 （种）；
若分组情况为14,1,3，分配给三个小朋友的分法有 （种）；
若分组情况为34,1,1，则分配给三个小朋友的分法有（种）.
综上，不同的分法共有 （种）.
例2 ［配例2使用］ 皖南八校4月三联］ 2024年3月22日，
国家文物局在北京公布2023年度全国十大考古新发现，安徽省皖南
地区郎溪县磨盘山遗址成功入选，经初步确认，该遗址现存马家浜
文化区、崧泽文化区、良渚文化区、钱山漾文化区等，总面积约6万
平方米.该遗址延续时间长、谱系完整，是长江下游地区少有的连续
时间近4000年的中心性聚落，对认识多元化一体中华文明在皖南地
区的演进方式具有重要的价值.某教授团队现在对该遗址进行考古发
掘，现安排包含甲、乙在内的6名研究生同学到4个区域做考古志愿
者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲、乙两人安排
在相同区域的方法种数为( )
A.96 B.144 C.240 D.360
√
[解析] 先将6名同学分成4组，则4个组的人数为1,1,2,2或1,1,1,3.
当甲、乙在2人组时，从另外4人中任选2人组成一组，
其余的2人一人一组，有 种分组方法；
当甲、乙在3人组时，甲、乙与另外4人中的1人组成一组，
其余的3人一人一组，有 种分组方法.
再把4组人分到4个区域，所以甲、乙安排在相同区域的方法种数
为 .故选C.
例3 ［配例3使用］（1）[2024·广东江门一模]已知
，则 的值是( )
A.680 B. C.1360 D.
√
[解析] 令，则 ，
即.
令 ，则
，
即 .
两式相加可得 ，故选B.
（2）[2024·天津南开区质检] 若的展开式中 的系数为160，
则实数 的值为___.
2
[解析] 方法一： 的展开式的通项为
，
令 ，解得，则，
，解得 .
方法二：即6个相乘，展开式中，要想得到 ，
必须3个中取，3个中取 ，
所以，解得 .

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