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(共38张PPT)
微专题21 不等式
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 不等式的性质及应用
例1（1）已知,,，且 ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 当,时，, ，故A，D错误；
当,时， ，故B错误；
由幂函数的性质知C正确.
√
（2）（多选题）[2024·长沙二模] 设，，， 为实数，且
，则下列不等式正确的有( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 对于A，由和不等式的性质可得 ，故A正确；
对于B，取，，，，则 ，
，所以，故B错误；
对于C，取 ，，，，则，，
所以 ，故C错误；
对于D，因为，所以，又 ，所以
，由不等式的同向皆正可乘性得， ，故
，故D正确.故选 .
自测题
已知，，，则下列选项中是“ ”的一个充分不必要条件
的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，可得，因为， 的符号不确定，所以推不出
，故A不满足题意；
由，可得，反之当 ，时推不出，
故“”是“ ”的充分不必要条件，故B满足题意；
因为“”是“”的充要条件，“ ” 是“ ”的充要条件，
所以C，D不满足题意.
微点2 基本不等式
例2（1）设,，，.若， ，
则 的最大值为( )
A.2 B. C.1 D.
[解析] ,，，， ，
， ，
，
当且仅当，即时取等号， 的最大值为1.
故选C.
√
（2）（多选题）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若实数， 满足
，则( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由得 ，解得
，当且仅当时， ，当且仅当
时，，所以A错误，B正确；
由 变形可得，设 ,
，所以 , ，
因此，所以C错误，D正确.故选 .
【规律提炼】
1.运用基本不等式求最值时，注意其是否符合结构特征和使用条件，
有时候需要进行适当的转化才能使用基本不等式，要树立整体意识，
注意“1”的代换.
2.在运用基本不等式求最值时，若需要用两次或两次以上，则要注意
等号的取得是否矛盾.
3.基本不等式经常与其他知识综合，如解析几何、数列、立体几何、
函数、向量等，主要用来求最值.
自测题
1.[2024·南通二模]设，，，则 的最小值为
( )
A. B. C. D.3
√
[解析] 因为，所以，
因为， ，所以
，当且仅当
即 时取等号.故选C.
2.（多选题）[2024·福建泉州模拟] 已知，，且 ，
则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由题意得，， .
对于A，，故A正确；
对于B，取 ，，则，故B错误；
对于C，取 ，，则 ，故C错误；
对于D，，当且仅当 时
等号成立，故D正确.故选 .
3.[2024·绍兴柯桥区三模] 若,,，且 ，
则 的最小值是___.
4
[解析] 由，得 ，即
，当且仅当，即时，等号
成立，故 的最小值为4.
微点3 不等式与其他知识的综合
例3 已知各项都为正数的数列的前项和为,, ，且
，则 的最小值为__________.
[解析] 在数列中，由 ，得
，则，即数列 是以4为周期的周期数列，
而,，则 ，因此
，当且仅当
时取等号，所以 的最小值为 .
自测题
1.若，满足，则 的最大值为___.
3
[解析] 设 , ， ，因此
，其中 ，
则，所以当 ,时，
取得最大值3.
2.[2021·浙江卷]已知 , , 是互不相同的锐角，则在 ,
, 三个值中，大于 的个数的最大值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 由题意， ， ， 都是锐角，则其三角函数值均为正数，
所以，当且仅当 时取等号，
同理得,当且仅当 时取等号，
,当且仅当 时取等号，
由得 ，故
, , 三个值不可能都大于.
当 ,,时， ,
，故大于 的个数的最大值是2，故选C.
1.[2024·全国乙卷]下列函数中最小值为4的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A， ，所以函数的最
小值为3，故选项A错误.
对于B，因为 ，所以
，当且仅当 ，
即时取等号，因为 ，所以等号取不到，所以
，故选项B错误.
对于C，因为 ，所以，当且仅当 ，即 时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C正确.
对于D，方法一：因为当时， ，所以函数的最小值不是4，故选项D错误.
方法二：当时，,所以
（当且仅当，即时取等号）；
当 时，,所以 .
所以 ,故选项D错误.故选C.
2.[2021·新高考全国Ⅰ卷]已知,是椭圆 的两个焦点，
点在上，则 的最大值为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
√
[解析] 方法一：根据椭圆的定义可知， ，所以
，当且仅当 时等
号成立，故 的最大值为9.
方法二：不妨设,分别为椭圆 的左、右焦点，则
,，设，则
.
因为，所以 ，所以，
又 ，所以 ，则
， ，所以
当时， 取得最大值9.故选C.
3.（多选题）[2020·全国新高考Ⅰ卷] 已知,，且 ，
则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] ,,且， ，
又，当且仅当时等号成立， ，
，故A选项正确；
,,且 ，， ，
故B选项正确；
等价于，即，与 矛
盾，故C选项不正确；
将 的不等号两边同时平方后整理可得，
故D选项正确.故选 .
4.[2021·天津卷] 已知,,则 的最小值为_____.
[解析]
（当且仅当 时取等号）.
［备选理由］例1考查不等式的应用问题；例2考查基本不等式的运
用；例3是不等式在立体几何中求最值的问题，考查不等式与其他知
识的综合运用.
例1 ［配例1使用］ 若克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分
数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克
糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
，数学中常称其为糖水不等式.依据糖水
不等式可得出___（用“ ”或“ ”填空）；并写出上述
结论所对应的一个糖水不等式_____________.
[解析] 因为，所以 ，得
，即.
由 ，得，即 .
例2 ［配例2使用］ （多选题）[2024·山西晋中模拟] 在 中，
为边上一点且满足，若为边 上一点，且满足
， ， 为正实数，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为1 B. 的最大值为
C.的最大值为12 D. 的最小值为4
√
√
[解析] 因为，所以 ，则
，因为 ，B，D三点共线，所以，
又 ， 为正实数，所以，当且仅当
，即 ， 时取等号，故A错误，B正确；
，当且仅
当，即，时取等号，故C错误，D正确.故选 .
例3 ［配例3使用］ [2024·福建泉州模拟] 在圆台中，圆 的
半径是2，母线，圆是的外接圆， ，
，则三棱锥- 体积的最大值为__.
[解析] 设圆，的半径分别为， ，则,
由正弦定理得， ，解得.
连接 ,如图，设圆台的高为 ，
则.
在中，令, ，由余弦定理得，
即 ，则，当且仅当时取等号.
因为三棱锥- 的体积 ，
所以三棱锥-的体积的最大值为 .

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