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(共72张PPT)
微专题12 统计与成对数据的统计分析
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 众数、中位数、平均数、百分位数
例1（1）（多选题）[2024·长沙一中模拟] 为分析甲班学生某次数学
测试的情况，采用男生、女生比例分配的分层随机抽样的方法抽取
样本，该样本中男生的成绩为，，，， ，女生的成绩为
，，，， ，下列说法正确的是( )
A.若样本中男、女生两组成绩的平均数都为，则样本的平均数等于
B.若样本中男、女生两组成绩的中位数都为，则样本的中位数等于
C.若样本中男、女生两组成绩的第40百分位数都为 ，则样本的第40
百分位数可能大于
D.若样本中男、女生两组成绩的方差都为 ，则样本的方差一定不小
于
√
√
√
[解析] 设， ，
所有样本数据按照从小到大排列为，， ， .
对于A，因为 ，
所以A正确.
对于B，因为，所以，
所以样本的中位数为 ，所以B正确.
对于C，，若，则 ，所以，分别为和；若，则，所以，分别为 和.
两种情况下，样本的第40百分位数均等于 ，所以C错误.
对于D，方法一：根据比例分配的分层随机抽样的方差公式，
设样本方差为，平均数为 ，
则 ，
所以样本的方差一定不小于 ，所以D正确.
方法二：因为，所以 ，
，，
所以样本的方差为 ，
因为 ，
所以样本的方差一定不小于，所以D正确.故选 .
（2）[2024· 新课标Ⅱ卷]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上
种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位： ）都在
内，并整理得到下表：
亩产量
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论正确的是( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于
B.100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过
C.100块稻田亩产量的极差介于到 之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于到 之间
√
[解析] 对于A，根据频数分布表可知， ，
所以亩产量的中位数不小于 ，故A错误；
对于B，亩产量低于的稻田所占比例为 ，故B错误；
对于C，设稻田亩产量的极差为，则由题意知 ，且，即 ，故C正确；
对于D，100块稻田亩产量的平均值为 ，
故D错误.故选C.
自测题
1.（多选题）[2024·武汉调研] 如图所示，下列频率分布直方图显示
了三种不同的分布形态.图①形成对称形态，图②形成“右拖尾”形态，
图③形成“左拖尾”形态，下列判断正确的是( )
A.图①的平均数中位数 众数 B.图②的平均数 众数 中位数
C.图②的众数 中位数 平均数 D.图③的平均数 中位数 众数
√
√
√
[解析] 图①的频率分布直方图是对称的，
所以平均数中位数 众数，故A正确；
图②的众数最小，且“右拖尾”时平均数
大于中位数，故B错误，C正确；
图③的众数最大，且“左拖尾”时平均数
小于中位数，故D正确.故选 .
2.（多选题）[2024·辽宁抚顺六校联考]
2023年7月31日国家统计局发布了制造
业采购经理指数 ,如图所示:
下列说法正确的是( )
A.从2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业
采购经理指数 的第75百分位数为
B.从2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业
采购经理指数 的极差为
C.从2022年7月到2023年7月，制造业采购经理指数 呈下降趋势
D.若大于 表示经济处于扩张活跃的状态，小于 表示
经济处于低迷萎缩的状态,则2023年1月到2023年3月,经济处于扩张活
跃的状态
√
√
√
[解析] 由图知,从2023年1月到2023年7月,
这7个月的制造业采购经理指数 从小到大
的顺序为,, , ,,
, ,因为 ,
所以第75百分位数为第 6个数,即为 ,故A正确;
从2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业采购经理指数的最大
值为,最小值为 ,所以极差为 ,故B正确;
由图易知，从2022年7月到2023年7月，制造业采购经理指数 有升
有降,故C错误;
由图知2023年1月到2023年3月的均大于 ,所以经济处于扩张活跃
的状态, 故D正确.故选 .
微点2 回归模型
例2 [2024·泉州模拟] 某公司为了解年研发资金 （单位：亿元）对
年产值（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金 和年
产值 的数据进行分析，选用了两个回归模型，并
利用最小二乘法求得相应的关于 的经验回归方程：
； .
参考数据：，， ，
.
（1）求 的值；
解：根据题意，令，则 ，
， ，
将点的坐标代入方程 ，
得，解得 ，所以的值为 .
（2）已知①中的残差平方和 ，②中的残差平方和
，请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程，并
利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值.
参考公式：刻画回归模型拟合效果的决定系数 .
解：设经验回归方程①的决定系数为，
由 ，得 .
设经验回归方程②的决定系数为 ，
由，得 .
因为 ，所以经验回归方程②的拟合效果更好.
当时， ，
所以预测年研发资金为20亿元时的年产值为295.02亿元.
【规律提炼】
1.（1）正确理解计算,的公式和准确地计算是求经验回归方程的关键;
（2）经验回归直线必过点.
2.（1）在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来
判断两个变量之间是否具有线性相关关系,若具有线性相关关系,则可
通过经验回归方程来估计和预测;
（2）对于非线性回归分析问题,应先进行变量代换,求出代换后的经
验回归方程,再求非线性经验回归方程.
自测题
[2024·郑州三模] 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年
生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环
境状况公报》，并向社会公开发布.下表是 年五年《中
国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比 ：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5
6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
（1）求与的样本相关系数（精确到 ）；
附：, ，样本相关系数
, .
解：由题意可得，， ，
由题可列下表：
0 1 2
1.3 0.4
可得, ,
，故样本相关系数
.
（2）请用样本相关系数说明该组数据中与 之间的关系可用一元线
性回归模型进行拟合，并求出关于 的经验回归方程；
经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
, .
附：, ，样本相关系数
, .
解：由（1）知，与的样本相关系数,接近1，
所以 与 之间具有较强的线性相关关系，
可用一元线性回归模型进行拟合.
由（1）知， ,
，
所以关于 的经验回归方程为 .
（3）预测2025年的酸雨区面积占国土面积的百分比.
解：当时, ，
故预测2025年的酸雨区面积占国土面积的百分比为 .
微点3 独立性检验
例3 [2024·齐鲁名校联盟联考] 某汽车文化自媒体公司主打对越野车
越野能力的测评，为调查车友们对越野车的了解程度，随机抽取了
200名车友进行调查，得到如下表的数据：
单位：人
对越野车的了解程度 性别 合计
女 男 比较了解 78
不太了解 38
合计 140 200
（1）完成上面的列联表，根据小概率值 的独立性检验，
能否认为车友对越野车的了解程度与性别有关联？
附： .
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
解：补充完整的 列联表如下：
单位：人
对越野车的了解程度 性别 合计
女 男 比较了解 22 78 100
不太了解 38 62 100
合计 60 140 200
零假设为 车友对越野车的了解程度与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得
，所以根据小概率值的独立性检验，
推断 不成立，即认为车友对越野车的了解程度与性别有关联.
（2）该公司组织5名驾驶水平相当的员工在户外场地进行汽车越野
活动，他们需要合作闯关，一共有两关，每次由一名员工上场，闯
过第一关才能继续闯第二关，若闯某一关失败，则换下一名员工从
失败的这一关开始闯，同一员工不重复上场，当有人闯过第二关时
或者5名员工都闯关失败时活动结束.若无论前面的闯关结果如何，每
名员工闯过第一关的概率都为，闯过第二关的概率都为 ，求第三
名员工闯关后活动恰好结束的概率.
解：第三名员工闯关后活动恰好结束分以下几种情况：
①前两名员工未过第一关，第三名员工闯过第一、二关，
其概率 ；
②第一名员工未过第一关，第二名员工过第一关未过第二关，
第三名员工过第二关，其概率 ；
③第一名员工过第一关未过第二关，第二名员工未过第二关，
第三名员工过第二关，其概率 .
所以第三名员工闯关后活动恰好结束的概率
.
自测题
（多选题）某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和
600名男生中采用比例分配的分层随机抽样的方式抽取100名学生进
行问卷调查，根据调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，
则( )
单位：人
性别 是否对数学感兴趣 合计
感兴趣 不感兴趣 女
男
合计 100
附：， .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.表中,
B.可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多
C.根据小概率值 的独立性检验，可以认为是否对数学
感兴趣与性别有关联
D.根据小概率值 的独立性检验，可以认为是否对数学
感兴趣与性别没有关联
√
√
√
[解析] 由题可知，
抽取男生的人数为 ，抽取女生的人数为 ，
由等高堆积条形图知，
抽取的男生中对数学感兴趣的人数为 ，
抽取的男生中对数学不感兴趣的人数为 ，
抽取的女生中对数学感兴趣的人数为 ，
抽取的女生中对数学不感兴趣的人数为，
列联表如下.
性别 是否对数学感兴趣 合计
感兴趣 不感兴趣 女 12 28 40
男 30 30 60
合计 42 58 100
由此表可知，, ，故A正确；
估计该校高一新生中女生对数学不感兴趣的人数为 ，
男生对数学不感兴趣的人数为 ，所以估计该校高一
新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生少，故B错误；
单位：人
零假设为 是否对数学感兴趣 与性别无关联，根据列联表中的数据，
经计算得到 ,
根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断 不成立，
即认为是否对数学感兴趣与性别有关联，故C正确；
,
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此可以认为 成立，即认为是否对数学感兴趣与性别没有关联，
故D正确.故选 .
1.[2020·全国卷Ⅰ]某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率
和温度（单位： ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发
芽实验，由实验数据 得到如图所示的散点图：
A. B.
C. D.
[解析] 由散点图可知回归方程的类型为对数型，故选D.
√
由此散点图，在至 之间，下面四个回归方程类型中最适宜
作为发芽率和温度 的回归方程类型的是( )
2.[2022·天津卷]为研究某药品的疗效，选取若
干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张
压数据（单位： ）的分组区间为
，， ，
A.8 B.12 C.16 D.18
将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、第三组、第四
组、第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第
一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有
疗效的人数为( )
√
[解析] 志愿者的总人数为， 第三组的人数为
，故第三组中有疗效的人数为 .故选B.
3.（多选题）[2023· 新课标Ⅰ卷] 有一组样本数据，， ， ，
其中是最小值， 是最大值，则( )
A.，，，的平均数等于，， ， 的平均数
B.，，，的中位数等于，， ， 的中位数
C.，，，的标准差不小于，， ， 的标准差
D.，，，的极差不大于，， ， 的极差
√
√
[解析] 对于A，这一组样本数据可取1，2，2，2，2，4，
则2，2，2，2的平均数不等于1，2，2，2，2，4的平均数，故A错误；
对于B，不妨设，则，，，的中位数为 ，
而,,,,,的中位数也为 ，故B正确；
对于C，根据题意可知，,,,,,的数据波动性
大于,,, 的数据波动性，故,,,的标准差
小于,,,,, 的标准差，故C错误；
对于D，不妨设，则 ，
故，故D正确.故选 .
4.[2020·全国新高考Ⅰ卷] 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测
部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 和
浓度（单位： ），得下表：
32 18 4
6 8 12
3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且 浓度不
超过150”的概率；
解：根据抽查数据，该市100天的空气中浓度不超过75,
且 浓度不超过150的天数为 ,
因此，该市一天空气中浓度不超过75，
且 浓度不超过150的概率的估计值为 .
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
根据抽查数据，可得列联表：
64 16
10 10
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天
空气中浓度与 浓度有关？
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
解：根据（2）的列联表得 .
由于,故有的把握认为该市一天空气中 浓度
与 浓度有关.
［备选理由］例1考查平均数、方差的计算；例2考查最小二乘估计
和回归分析；例3考查模型拟合与正态分布等知识的应用；例4考查
独立性检验与二项分布知识的应用.
例1 ［配例1使用］ [2024·广东江门一模] 已知9名女生的身高平均
值为162（单位：），方差为26，若增加一名身高172（单位： ）
的女生，则这10名女生身高的方差为( )
A.32.4 B.32.8 C.31.4 D.31.8
√
[解析] 设9名女生的身高为 ，依题意得
， ，因此增加一名女生后身高的平均值为 ，
所以这10名女生身高的方差为 .故选A.
例2 ［配例2使用］[2024·华师大一附中模拟]
（1）假设变量与变量的对观测数据为，， ，
，两个变量满足一元线性回归模型
请写出参数 的最小二乘估计.
解： ，
要使取得最小值，当且仅当的取值为，
所以参数 的最小二乘估计为 .
（2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了一系列政策，
给新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.如表是某新能源汽车
品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万辆）与年份代码
之间的对应数据（2019年的年份代码为1,2020年的年份代码为2，以
此类推）.已知根据散点图和样本相关系数判断，与 之间具有较强
的线性相关关系，可以用线性回归模型拟合.
年份代码 1 2 3 4 5
年销量 （万） 4 9 14 18 25
令变量，，则变量与变量 满足一元线性回归模
型利用（1）中结论求关于 的经验回归方程，
并预测2025年该品牌新能源汽车的年销量.
解：由题知, ,
所以
,
,
所以,所以 ,所以,
即 ,所以 .
当时, ,故关于的经验回归方程为 ，
预测2025年该品牌新能源汽车的年销量为34.4万辆.
例3 ［配例2使用］ [2024·河北沧州模拟] 南澳牡蛎是我国国家地
理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美
誉.某南澳牡蛎养殖基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增
量（人）与年收益增量 （万元）的数据如下：
人工投入增量 （人） 2 3 4 6 8 10 13
年收益增量 （万元） 13 22 31 42 50 56 58
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了与
的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法可求得关于 的经验回归方程为
；
模型②：由散点图的样本点分布，如图
所示，可以认为样本点集中在曲线
的附近，令 ，则
，且， ，
，
.
（1）（ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中关于 的经验回归方程
（系数精确到 ）；
附： 经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别
为， .
解：由,,,
，得 ，
且 ，
所以模型②中关于的经验回归方程为 .
（ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数 ，并选择
拟合效果更好的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量.
回归模型 模型① 模型②
经验回归方程
182.4 79.2
附： 决定系数 .
解：由表格中的数据，得，故 ，
设模型①与模型②的决定系数分别为,，
则 ，说明模型②的拟合效果更好.
当 时，由模型②知年收益增量的预测值为
，
所以预测人工投入增量为16人时的年收益增量为70.8万元.
（2）根据养殖规模与以往的养殖经验，产自该养殖基地的单个
南澳牡蛎的质量（单位： ）在正常环境下服从正态分布 .
购买10只该基地的南澳牡蛎,会买到质量小于 的牡蛎的可能性有多大
附：若随机变量 ，则 ，
.
解：由题意知，单个南澳牡蛎的质量，则, ，
由正态分布的对称性可知， .
设购买10只该基地的南澳牡蛎，其中质量小于的牡蛎有 只，
故 ，所以 ，所以购买10只该基地的南澳牡蛎，会买到质量小于 的牡蛎的可能性约为 .
例4 ［配例3使用］ [2024·山东德州一中三模] 向“新”而行，向“新”
而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为
例，人工智能中的文生视频模型（以下简称 ），能够根据
用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查 的应用是否会
对视频从业人员产生影响，某学校研究小组随机抽取了120名视频从
业人员进行调查，结果如表所示.
的应用情况 视频从业人员 合计
影响 没有影响 应用 70 75
没有应用 15
合计 100 120
单位：人
（1）根据所给数据完成上表，依据小概率值 的独立性检
验，能否认为 的应用对视频从业人员有影响？
附：，其中 .
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
解：依题意， 列联表如下：
单位：人
的应用情况 视频从业人员 合计
影响 没有影响 应用 70 5 75
没有应用 30 15 45
合计 100 20 120
零假设为 的应用对视频从业人员没有影响，
由列联表中的数据得，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为 的应用对视频从业人员有影响，
此推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展 培训，分三轮
进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为,, ，
每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用 .
（ⅰ）求一名员工经过培训能应用 的概率.
解：设“员工第轮获得‘优秀’”,则,, 相互独立.
设“一名员工经过培训能应用 ”,
则
,
故一名员工经过培训能应用的概率是 .
（ⅱ）已知开展 培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万
元；开展培训后，能应用 的员工每人每年平均为公司创造
利润10万元. 培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，
计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开
展 培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年
利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
解：设视频部调人至其他部门，,，
为培训后视频部能应用 的人数，
则 ，所以 .
调整后视频部的年利润为
（万元），
令，解得，
又 ，所以 ，
所以视频部最多可以调14人到其他部门.

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