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微专题13 概率及性质、条件概率
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 古典概型
例1 [2024·全国甲卷] 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，
6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设 为前两次取出的球上
数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与 之差的
绝对值不大于 的概率为___.
[解析] 从6个号码不同的球中不放回地抽取3次,
每次取1个球,共有（种）抽取结果,
设前两个球的号码为, ，第三个球的号码为,
则,故 ,
即,故.
若 ,则,则为,，故有2种结果；
若 ,则,则为,,,,
,, , ,,,故有10种结果；
若,则 ,则为,,,,,,
,,, , ,,,,,,故有16种结果；
若 ,则,同理有16种结果；
若,则 ,同理有10种结果；
若,则,同理有2种结果.
所以 与之差的绝对值不大于 时,不同的抽取结果共有
（种）,故所求概率为 .
自测题
1.[2024·全国甲卷]甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，
且甲或乙在排尾的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，
其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，
故所求概率 .故选B.
方法二：当甲排在排尾，乙排在排头时，
丙有2种排法，丁有1种排法，此时有2种排法；
当甲排在排尾，乙排在第二位或第三位时，
丙有1种排法，丁有1种排法，此时有2种排法.
故甲排在排尾共有 （种）排法.
同理，乙排在排尾共有4种排法.
故丙不在排头，且甲或乙在排尾共有 （种）排法.
根据古典概型的概率计算公式，丙不在排头，
且甲或乙在排尾的概率是 .故选B.
方法三：当甲在排尾时，丙有2种排法，乙、丁有 （种）排法，
此时共有 （种）排法；
当乙在排尾时，丙有2种排法，甲、丁有（种）排法，
此时共有 （种）排法.
故丙不在排头，且甲或乙在排尾共有 （种）排法.
根据古典概型的概率计算公式，丙不在排头，
且甲或乙在排尾的概率是 .故选B.
2.如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中
一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）
的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各
按1次，则和 的最终状态都未改变的概率为____.
[解析] 要使得的状态发生改变，
则需要按，， ，，这五个开关中的一个，
要使得 的状态发生改变，
则需要按，，这三个开关中的一个，
所以要使得 和 的最终状态都未发生改变，
则需按其他八个开关中的两个或按，，，，
这五个开关中的两个或按 ，，这三个开关中的两个，
故所求概率为 .
微点2 概率基本性质
例2 （多选题）[2024·河北沧州模拟] 袋子中有6个相同的球，分别
标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件 “取
出的球的数字之积为奇数”，事件 “取出的球的数字之积为偶数”，
事件 “取出的球的数字之和为偶数”，则( )
A.事件与是互斥事件 B.事件与 是对立事件
C.事件与是互斥事件 D.事件与 相互独立
√
√
[解析] 对于A，B，取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之
积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件A与B是互斥事
件，也是对立事件，故A，B正确；
对于C，若取出的球的数字为2,4，则事件B与事件C均发生，
故事件B与C不互斥，故C错误；
对于D，,, ，
则，即事件B与C不相互独立，故D错误.故选 .
自测题
1.（多选题）[2024·昆明三模] 在一个有限样本空间中，事件,, 发
生的概率满足，，与 互斥，
则下列说法正确的是( )
A. B.与 相互独立
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A,A与C互斥,故 ,,
则 包含事件A,故 ,故A正确；
对于B,,即 ,
故,故 ,则A与B相互独立,故B正确；
对于C,A与C互斥,故与C互斥,故 ,故C错误；
对于D, ,
因为,所以 ,故D正确.故选 .
2.（多选题）某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、
乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且
不重复.记“第站参观甲地的景点”为事件，，2， ，7，则
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由题意可得,故A正确；
,,
所以 ，故B正确；
，故C错误；
,故D错误.故选 .
微点3 条件概率与全概率公式
例3 [2024·衡阳二模] 已知有,两个盒子，其中 盒装有3个黑球和3
个白球， 盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲
从盒、乙从 盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将
取出的2个球全部放入 盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2
个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后， 盒中恰有7个球
的概率是____.
[解析] 若操作两次后, 盒中恰有7个球,则两次均为乙获胜.
若第一次取球甲取到黑球,乙取到白球,则其概率为 ,
第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球, 盒中有4个黑球和2个白球，
第二次取到异色球为取到1个白球和1个黑球,其概率为 ,
此时盒中恰有7个球的概率为 ；
若第一次取球甲取到白球,乙取到黑球,则其概率为,
第一次取球后 盒中有3个黑球和2个白球, 盒中有3个黑球和3个白球,
第二次取到异色球为取到1个白球和1个黑球,
其概率为,此时 盒中恰有7个球的概率为.
所以 盒中恰有7个球的概率为 .
【规律提炼】
1.计算概率是概率小题解题技巧的重要环节.在计算概率时,通常用两
种方法:频率法和古典概型法,在解决古典概型相关问题时,可以用枚
举法或者排列组合法计算概率.
2.在概率计算中,常常会遇到利用概率的基本性质来解决与互斥事件、
对立事件有关的概率的判断或计算问题.
3.当事件不是互斥事件、对立事件时,一般利用条件概率和全概率公
式来解决复杂事件.
自测题
1.一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪.当他发现飞碟
后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，
且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没命中，则该次练习就失败
了.已知在某次练习中，飞碟被击中，则飞碟是运动员开第二枪命中
的概率为___.
[解析] 记事件“运动员开第一枪命中飞碟”，
“运动员开第二枪命中飞碟”， “飞碟被击中”，
则 ，
，
所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为
.
2.[2023·天津卷] 甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，
其总数之比为，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 ，
， .现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概
率为____；将三个盒子中的球混合后任取一个球是白球的概率为___.
[解析] 方法一：设 “取到的三个球都是黑球”，
根据相互独立事件的概率公式得
.
设 “将三个盒子中的球混合后任取一个球是白球”，
则 .
方法二:设“从甲盒子中取到一个黑球”,
“从乙盒子中取到一个黑球”,“从丙盒子中取到一个黑球”,
“取到的三个球都是黑球”,根据相互独立事件的概率公式，
得.
设 “将三个盒子中的球混合后任取一个球是白球”，
“取到的球是甲盒子中的”,“取到的球是乙盒子中的”,
“取到的球是丙盒子中的”,则,且,, 两两互斥.
根据题意得 .
1.[2022·新高考全国Ⅰ卷]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则
这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有 (种)情况,
其中不互质的包括从2,4,6,8中取2个不同的数,或取3和6,共有
(种)情况,所以互质的共有 (种)情况,所以所求概率 .
√
2.[2021·新高考全国Ⅰ卷]有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，
从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的
球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事
件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数
字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
√
[解析] 记甲、乙、丙、丁四个事件分别为A,B,C,D.
事件A发生的概率；
事件B发生的概率；
，， ，，，
则事件C发生的概率；
，，，，， ，
则事件D发生的概率.
事件 为“第一次取出的球的数字是1且两次取出的球的数字之和是8”，
为不可能事件， ,故甲与丙不相互独立；
事件 为“第一次取出的球的数字是1且两次取出的球的数字之和是7”，
，故甲与丁相互独立；
事件 为“第二次取出的球的数字是2且两次取出的球的数字之和是8”，
，故事件乙与丙不相互独立；
事件为不可能事件， ，
故事件丙与丁不相互独立.故选B.
3.（多选题）[2023· 新课标Ⅱ卷] 在信道内传输0，1信号，信号的传
输相互独立.发送0时，收到1的概率为 ，收到0的概率为
；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为
.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个
信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需
要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次
传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，
0，1，则译码为1）.则( )
A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的
概率为
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D.当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率
大于采用单次传输方案译码为0的概率
√
√
√
[解析] 对于A，发送1，0，1，收到1，0，1的概率分别为 ，
， ，因为信号传输是相互独立的，所以由相互独立事
件的概率公式得，所求概率为 ，故A正确.
对于B，采用三次传输方案，发送1，1，1，
收到1，0，1的概率分别为 ，， ，
由相互独立事件的概率公式得，所求概率为 ，故B正确.
对于C，采用三次传输方案，发送1，1，1，收到的译码为1，
则收到的信号可能为，， ，，
故所求概率为 ，故C错误.
对于D，若采用三次传输方案，发送0，收到的译码为0，
则收到的信号可能为，，， ，
故所对应的概率 ，
若采用单次传输方案，发送0，则收到信号0即为译码，
所对应的概率 ，因为 ，
所以，
所以,故D正确.故选 .
4.[2024·天津卷] 现有,,,, 五个活动，甲、乙都要选择三个活动
参加.甲选到活动的概率为___；已知乙选了活动，则他选到 活动
的概率为___.
[解析] 方法一：甲从五个活动中选三个的可能情况有, ,
,,,,,,,,共10种，
其中甲选到 活动的可能情况有,,,,,，
共6种，故甲选到 活动的概率.
乙选了活动有,,,,, 共6种可能情况，
其中选到活动有,, 共3种可能情况，
故已知乙选了活动，他选到活动的概率为 .
方法二：甲选到活动的概率为.
设“乙选到活动”， “乙选到活动”，则已知乙选了活动，
他选到 活动的概率为 .
5.[2024· 新课标Ⅰ卷] 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一
个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标
有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从
自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小.数字
大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片
（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得
分不小于2的概率为___．
[解析] 方法一：设甲的数字为1，3，5，7时乙对应的数字
分别为 , ,,,样本点记为 ,则该试验的样本空间
包含的样本点个数为.
甲的总得分不小于2包含的样本点有, ,
,,,,,, ,
,,,共12个.故所求概率为 .
方法二：设甲在四轮比赛中的得分分别为，，， ，
甲四轮比赛的总得分为 .
对于任意一轮比赛，甲、乙两人在该轮出示每张牌的概率均相等，
其中使甲得1分的出牌组合有6种，
所以， ，
所以 .
记 ,如果甲的总得分为0,则组合方式是
唯一的，必定是甲出1,3,5,7,分别对应乙出2,4,6,8,所以 ；
如果甲的总得分为3,则组合方式也是唯一的,必定是甲出1,3,5,7,
分别对应乙出8,2,4,6,所以 .
因为, ,
所以,,两式相减得 ,
所以,所以甲的总得分不小于2的概率为 .
［备选理由］例1考查古典概型；例2考查概率的基本性质、条件概
率公式；例3考查概率的基本性质、条件概率；例4考查条件概率与
全概率公式，考查二项分布及其分布列与数学期望.
例1 ［配例1使用］ [2024·山西晋城三模] 有4个外包装相同的盒子，
其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球.现准
备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪
个盒子中的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 将4个盒子按顺序拆开,样本空间中共包含 (个)样本点.
若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中,则前2个盒子里
都是白球或都是黑球,共包含 (个)样本点，则恰好拆
开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率 . 故选B.
例2 ［配例2、例3使用］ 设， 是一个随机试验中的两个事件，
且,,，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,
所以,解得 ,
又因为,所以,解得 .
由,可得,所以 .
故选B.
√
例3 ［配例2、例3使用］ [2024·山东滨州二模] 已知随机事件，
发生的概率分别为， ，则下列说法正确的是
( )
A.若，则， 相互独立
B.若，相互独立，则
C.若，则
D.若，则
√
[解析] 对于A，因为 ，
所以A与B不相互独立，故A错误；
对于B，若A，B相互独立，
则 ，故B错误；
对于C，因为，
所以 ，故C错误；
对于D，若，则 ，
所以 ，故D正确.故选D.
例4 ［配例3使用］ [2024·广东深圳二模] 某大型企业准备把某一
型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员
抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 ，乙工厂试
生产的另一批零件的合格品率为 ，若将这两批零件混合放在一
起，则合格品率为 .
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记
这3个零件中来自甲工厂的个数为，求 的分布列和数学期望.
解：设甲工厂试生产的这批零件有 个，
乙工厂试生产的这批零件有 个，
事件“混合放在一起的零件来自甲工厂”，
事件 “混合放在一起的零件来自乙工厂”，
事件 “混合放在一起的某一零件是合格品”，
则， ，，
解得 ，所以 .
的可能取值为0，1，2，3，且 .
， ，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3
.
（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂计划提高生产该零件
的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下该大型企业把零件
交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大
型企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件 “甲工厂提高了生产
该零件的质量指标”，事件 “该大型企业把零件交给甲工厂生产”.
已知，，证明： .
证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给
甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企
业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以，即 .
因为，，所以 .
因为， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 .
又因为， ，
所以 .
因为，，所以 ，
即 .

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