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微专题22 利用导数研究函数性质
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 切线问题
例1（1）[2024·河北沧州模拟] 已知直线是函数
和的图象的公切线，则实数 ___.
3
[解析] 设直线与函数的图象相切于点，由 ，
得，因为点是与函数 图象的
公共点，所以 消去，得，解得.
设与函数 的图象相切于点，由，得，
即 ，因为点是与函数 图象的公共点，
所以消去，得，即 ，
解得 .
（2）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 曲线 经过坐标原点的两条切线
方程分别为______，________.
[解析] 当时， .
设过坐标原点的直线与曲线相切于点,
由,得,所以 ，解得,所以,
则该切线的方程为,即 ，
由曲线的对称性，知另一条切线的方程为 .
【规律提炼】
1.曲线的切线问题，一定要注意区分“在某点的切线”还是“过某点的
切线”.
2.两条曲线的公切线问题，一般的处理方法是设出两个切点，分别写
出切线方程，利用切线重合（方程是一样的），列方程组求解，对
运算要求较高.
自测题
1.已知，设函数的图象在点 处的切线
为，则在 轴上的截距为___.
1
[解析] ，，
又， 函数的图象在点处的切线
的方程为，整理得，
切线在 轴上的截距为1.
2.[2024·福建泉州模拟]若曲线与 恰有两条公切
线，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由得，由得.
设曲线 上的切点为，曲线上的切点为，
则曲线 在点处的切线方程为 ，
即，
同理，曲线在点 处的切线方程为.
根据曲线与 有两条公切线，得
所以 ，化简可得 ，
由题意有两个解.构造函数 ，则 ，
当时，，单调递增，
当 时，，单调递减，
故在 处取得极大值，也为最大值，故，
当 时， ，当 时，，
故的取值范围为 ，故选A.
微点2 单调性问题
例2（1）[2024·江苏泰州模拟]若函数 在
上单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为函数在 上单调递增，所以
在 上恒成立，即
在上恒成立.
令, ，则，所以在上恒成立.
又因为在 上单调递增，所以当时，，
故 .故选D.
（2）（多选题）已知函数的导函数为 ，
则( )
A. 无最小值
B. 无最小值
C.
D.
√
√
[解析] 由函数, ，可得
，则，所以
在定义域上为增函数，所以函数
无最小值，所以A正确；
当时，, ,，所以 ，又因为
，故一定存在 ，使得
，所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以在 处取得最小值，所以B错误；
由在定义域 上为增函数，可得
在 上为凹函数，可得
，即 ，
所以C正确，D错误.故选 .
【规律提炼】
1.若函数在区间上单调递增，则对任意，都有
成立；若函数在区间上单调递减，则对任意，都有
成立.
2.若函数在区间上存在单调递增区间，则存在，使得
成立；若函数在区间上存在单调递减区间，则存在
，使得成立.
自测题
1.已知函数在上不单调，则 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知，，若函数在 上单调，
则或在上恒成立.
当时， 恒成立，所以当时，可得 恒成立，
设，则对 恒成立，即
,.
因为当 时，，
所以 ，所以若在上不单调，则 .
2.[2024·江西宜春三模]已知，， ，其中
为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得， ，.
设，则，当 时，，所以
单调递增，又 ，所以，
即，所以 .故选A.
√
微点3 极值与最值
例3（1）若函数 既有极大值也有极小值，
则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数的定义域为 ，，
因为函数 既有极大值也有极小值，
所以函数在上有两个零点，
又 ，所以方程有两个不同的正实数根, ，
所以即,, .故选B.
（2）[2021·新高考全国Ⅰ卷] 函数 的最小值为___.
1
[解析] 当时，，该函数在 上单
调递减，所以在上的最小值为 ；
当时，， ，当
时，，当时，，故 是函数在
上唯一的极小值点，所以在 上的最小值为.
因为，所以 .
例4 [2024·新课标Ⅱ卷] 已知函数 .
（1）当时，求曲线在点 处的切线方程；
解：当时，， ，
可得， ，
即切点坐标为，切线斜率 ，
所以切线方程为，即 .
（2）若有极小值，且极小值小于0，求 的取值范围.
解：方法一：由题知，的定义域为，且 .
若，则对任意 恒成立，
可知在 上单调递增，无极小值，不合题意.
若，令，解得 ，
令，解得 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
则有极小值 ，无极大值，
由题意可得，即 .
构造函数,，则 ，所以
在上单调递增，且 ，
所以不等式等价于，则 ，
所以的取值范围为 .
方法二：由题知，的定义域为，且 .
若有极小值，则 有零点，令，
可得 ，可知曲线与直线有交点，则.
当 时，令，解得，令，解得 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
则有极小值 ，无极大值，符合题意.
由题意可得，即 ，构造
函数, ，
因为,在上均单调递增，所以 在
上单调递增，且，
所以不等式 等价于 ，
则，所以的取值范围为 .
【规律提炼】
1.是为极值点的必要不充分条件.如，令
，得，但0不是极值点.
2.函数在一个连续的开区间内有最值时，此开区间内一定有极值点.
自测题
1.若函数有大于零的极值点，则实数 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由函数，可得，若 ,则
，此时单调递增，无极值点，不合题意，故 .
令，解得，当 时，
，当时，，故 是
的极值点.
因为函数 有大于零的极值点，所以，
则，即 ，解得 .故选C.
2.（多选题）[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知函数 ,则
( )
A. 有两个极值点
B. 有三个零点
C.点是曲线 的对称中心
D.直线是曲线 的切线
√
√
[解析] 令,得或 .当
时，;当 时，.
所以为的极大值点,为 的极小值点，故A正确.
因为， ，所以只有一个
零点，故B错误.
因为 ,所以曲线关于点 中心对称，故C
正确.
记斜率为2的切线与曲线的切点为,则
，解得 ,当时，切点为，切线方程为
,即,当时，切点为，切线方程
为 , 即,故D错误.故选 .
3.[2024·深圳二模]设函数， ，若存在
，，使得，则 的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.
√
[解析] 由题意可得，即 ，所以
，又，所以在 上单调递增，
则由，可得 ，所以.
令， ，则，
令，则，当 时，，单调递增，
当时，， 单调递减，
所以当时， 有极大值，也是最大值，所以，
即 ，所以 .故选B.
1.[2024·全国甲卷]设函数,则曲线在点 处
的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] ,则切线的斜率
,则曲线在点处的切线方程为 ，
从而可知切线与轴、轴的交点分别为, ，所以切线与
两坐标轴所围成的三角形的面积 .
√
2.[2023· 新课标Ⅱ卷]已知函数在区间 单调递增，
则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知在区间 上恒成立，即
对任意恒成立.
令 ，可得，
所以在区间 上单调递增，所以，
故，所以，所以 的最小值为 .故选C.
√
3.（多选题）[2024· 新课标Ⅱ卷] 设函数 ，则
( )
A.当时， 有三个零点
B.当时，是 的极大值点
C.存在，，使得为曲线 的对称轴
D.存在，使得点为曲线 的对称中心
√
√
[解析] .
对于A，当时，在 , 上单调递增，在上单调递减，故 的极大值为,极小值为,又当 时， ,当 时， ,所以 有三个零点,A正确.
对于B，当时，在,上单调递增，在
上单调递减，故是 的极小值点，B错误.
对于C，函数 的图象为中心对称图形，不是轴对称图形，C错误.
对于D，方法一：令 ,则,
令,得,则曲线 的对称中心为
,
当时，点 为曲线 的对称中心，D正确.
方法二：，假设存在，使得点 为曲线
的对称中心，则，
事实上， ，
于是 ，
由解得，即存在，使得点 为
曲线的对称中心，D正确.故选 .
4.（多选题）[2024· 新课标Ⅰ卷] 设函数 ,则
( )
A.是 的极小值点
B.当时，
C.当时，
D.当时，
√
√
√
[解析] 对于A，因为 ,所
以，所以在 ,
上单调递增，在上单调递减，所以是 的极小
值点，故A正确；
对于B，当时，函数 单调递增,且,所
，故B错误；
对于C，当 时，，因为,,且在 上单调递减，所以,故C正确；
对于D，当 时，,所以，故D正确.故选 .
5.[2024· 新课标Ⅰ卷] 若曲线在点 处的切线也是曲线
的切线，则 _____．
[解析] ,, 切线的斜率,
切线方程为，即.
设直线 与曲线相切于点 ,
,, ,解得
,,解得 .
［备选理由］例1考查函数图象的切线问题；例2通过导数研究函数
的单调性问题；例3考查函数的最值问题.
例1 ［配例1使用］ [2024·合肥模拟] 设是定义在 上的
函数，为其导函数，且满足 ,
，则函数的图象在 处的切线方程为________
____________.
[解析] 由 可得
，即 ，
设，则，
由 ，可得，得，
则 ，，，
则函数 的图象在处的切线方程为 ，
化简可得 .
例2 ［配例2使用］ 已知,,，， ，
，则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设， .
因为，，，
所以， ， ，
即，， ，
由，可得
在上单调递减，所以，
所以 在上单调递减，
所以 ，即.
又，当时， ，
所以在上单调递增，所以 ,故选B.
例3 ［配例3使用］ 已知 对任意
恒成立，则实数 的取值范围是_________.
[解析] 因为，，所以 ，即.
设，则，
令 ，得，即在上单调递增，
令，得 ，即在上单调递减，
则 ，所以，则 .

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