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微专题25 不等式的证明
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 单变量问题
例1 已知函数， .
（1）若的极大值为1，求实数 的值；
解：的定义域为， .
当时，，在上单调递增，所以函数
无极值；
当时，令，得，令，得 ，
所以在 上单调递增，在 上单调递减，
故当时，取得极大值，极大值为 ，
解得.经验证符合题意，故实数的值为 .
（2）若，求证： .
证明：当时，，故要证 ，
即证 .
令， ，
则， .
令，，则，所以 在
上单调递增，
又因为，，所以存在 ，
使得，即 ，
可得当时，，当时， ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以.
又因为 ，即 ，所以 ，
所以，即 ，故 得证.
自测题
已知函数，， 的图象的一条切线
的方程为 .
（1）求 的值；
解：由 ，得 ，
由切线方程为知，斜率 ，
令，即，可得 ,
令,,,
则在 上单调递增，
又，故的解为 ，则，即切点为 ，
所以切线方程为，即 ，
所以 .
（2）当，时，证明： .
证明：由（1）知， ，当时，，
函数在 上单调递减，
又，所以 ，即 ，
得 ，所以，
令，则 ，且 ，所以当 时，
，结论得证.
微点2 多变量问题
例2 已知 .
（1）若，求曲线在点 处的切线方程；
解：当时，，则 ,
，
又 ，所以曲线在点处的切线方程为
，即 .
（2）若函数存在两个不同的极值点, ，求证：
.
证明： ，
令，得，令，则 ，
原方程可化为，则, 是方程①的两
个不同的根，所以解得 ，
由根与系数的关系得, ，
则 ，
所以 .
令 ，
则，所以函数在 上单调递减，
所以，所以 .
自测题
[2024·山东菏泽模拟] 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间;
解：, ，
令，，所以, ，
由可得，由可得 ，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
又因为，所以，即，且 至多在一个点
处取到0.
所以在 上单调递减，
故的单调递减区间为 ，没有单调递增区间.
（2）若，证明: .
证明：要证 ，只需证 ，
即证 ，
令,，所以 ，
只需证 ，即证 .
由（1）知，当时，在 上
单调递减，
所以当时， ，即 ，
所以 .
微点3 三角函数有关证明
例3 已知函数， .
（1）求 的最小值；
解：令，由可知，
构造 , ，
则在 上恒成立，
所以在上单调递减，
则，所以 的最小值为1.
（2）证明： .
证明：由（1）可知，即 ，
又因为，所以 ，
可得 ，则 .
设，，则在 上恒成立，
所以在 上单调递增，则 ，
即，可得 ，
注意到 ，则 ，
所以 .
自测题
设， .
（1）当时，证明： ；
证明：因为的定义域为 ，
所以 ，
所以为定义在 上的偶函数.
不妨取，当 时， ，
则， ，
令， ，则 ，
所以在上单调递增，可得 ，
即在上恒成立，可得在 上单调递增，
所以在上的最小值为 ，结合偶函数性质可知
.
（2）证明： .
证明： 由（1）可得，当且仅当 时，
等号成立，即，
令,,，则 ，当时，
，
即 ，
则，， ，
，相加可得
，
又因为，所以，所以 ，
即 .
【规律提炼】
利用导数证明不等式问题，常见方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）
转化为证明（或），进而构造辅助
函数.
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见
放缩结论.
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根
据相似结构构造辅助函数.
1.[2016·全国卷Ⅲ] 设函数 .
（1）讨论 的单调性；
解：由题可知，的定义域为， ，令
，解得 .
当时，，单调递增；当 时，
， 单调递减.
（2）证明：当时， ；
证明：由（1）知，在处取得最大值，最大值为 .
所以当时， .
故当时，，，即 .
（3）设，证明：当时， .
证明：设，则 ，
令 ，解得 .
当时，， 单调递增；
当时，， 单调递减.
因为,由（2）知， ，所以 .
又 ，故当时， .
所以当时， .
2.[2020·全国卷Ⅱ] 已知函数 .
（1）讨论在区间 的单调性；
解： .
当时， ;当时， .
所以在区间，单调递增，在区间 单调递减.
（2）证明： ;
证明：因为,由（1）知，在区间 的最大值
为,最小值为 .
又是周期为 的周期函数，所以 .
（3）设,证明： .
证明：因为
,所以 .
［备选理由］例1第（2）问的关键是将函数零点的式子，结合分析
法，进行变形，转化为判断函数， 的单调
性，从而将双变量变为单变量；例2是三角函数与导数的结合，考查
了三角函数的特点（有界性和单调性）.
（1）讨论 的单调性；
解：， ，
当时，，则在 上单调递增.
当时，令，得，可得 .
例1 ［配例2使用］ [2024·合肥模拟] 已知函数
.
当时，，当时， ，
所以在上单调递减，在 上单调递增.
综上，当时，在 上单调递增；
当时，在上单调递减，在 上单调递增.
（2）若，为函数 的两个零点，
求证： .
证明：设，则 ，
，所以 ，
所以， .
记，要证，只需证 ，
只需证，即证 .
记，，则 ，
记， ，
由（1）可知，取，则 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以，即，
所以在 上单调递增，
又，所以，所以 .
例2 ［配例3使用］ [2024·南京二模] 已知 ，函数
， .
（1）若，证明： ；
证明：因为 ，
所以，
因为 ，所以.
设， ，则，
所以在 上单调递增，所以，因此 .
（2）若，证明： .
证明： 方法一：因为函数， ，
所以 .
当 时，可得，故 ，
因此
，
由（1）得，因此 ，
所以在上单调递增，从而 ，满足题意；
当时，令 ，则
，因为，所以存在，使得 ，
则当时，，，所以
在 上单调递减，从而，所以在 上单调递减，因此 ，不满足题意.
综上， .
方法二：由题得 ，当时，可得，故 ，因此 ，
由（1）得，因此 ，
所以在上单调递增，从而 ，满足题意；
当时，先证明当时， .
令，则 ，
令，则 ，
所以在上单调递减，则 ，
所以在上单调递减，则，
因此当 时， .
又由（1）得 ，所以
，
则存在且，当时， .
所以在上单调递减，因此 ，不满足题意.
综上， .

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