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微专题24 恒成立与能成立问题
2025 高考第二轮专题 数学
例1 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
解：由题知的定义域为， ，
当时，，所以在 上单调递增；
当时，当时，，当 时，
，
所以在上单调递减，在 上单调递增.
（2），，求 的取值范围.
解：当时，显然成立，此时 可以为任
意实数.
当时，由，在 上恒成立，
得对任意 恒成立.
令， ，
则 ，
设， ，
由（1）可知，在上单调递增，所以 ，
可得当时， ，
当时， ，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
则，所以 .
综上，实数的取值范围为 .
自测题
［2024·济南三模］ 已知函数，其中 且
.
（1）若是偶函数，求 的值；
解：由题意知， ，即 ，
解得或（舍去），经检验时， 是偶函数，
所以的值为 .
（2）若时，，求 的取值范围.
解：当时，对任意的 ，
恒成立，此时符合题意；
当且时，对任意的 ，
恒成立，此时符合题意；
当时， ，
因为函数, 都是增函数，
所以函数在上单调递增，
又 ，所以存在，使得，
当时， ，从而 单调递减，
所以存在，使得 ，此时不合题意.
综上所述，的取值范围为且 .
例2 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
解：由题意知，函数的定义域为 ，
.
当时，恒成立，函数在 上单调递增；
当时，由，得 ，由，得 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增.
综上，当时，在 上单调递增；
当时，在上单调递减，在 上单调递增.
（2）若不等式在区间 上有解，求
实数 的取值范围.
解：因为不等式在区间 上有解，所
以对 有解，
又时，，所以对 有解.
令 ，
则 .
令，则 ，
所以函数在上单调递增，所以 .
当时， ，当时， ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，所以
，所以.
综上可知，实数 的取值范围是 .
例3 已知函数 .
（1）当时，证明： ；
证明：当时，，令 , ,
则 ，
令可得，令可得 ，
在上单调递增，在 上单调递减，
，即，即 .
（2）已知在上恒成立，求 的取值范围.
解：显然.当时，当时， ，
，所以在 上恒成立.
当时，由在上恒成立，得 ，
，令， .
当时，，令， ，
，在 上单调递增，
当时，，， 符合题意.
当时，令, ，则
,故，
当 时，， 存在，使得，
当时，， 在上单调递减，
，不符合题意.
综上，的取值范围为或 .
【规律提炼】
对于求不等式恒（能）成立时的参数范围问题，一般可以转化为求
最值问题.通常有三个方法：一是分离参数法, 使不等式一端是含有
参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的
研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情
况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两
个函数图象确定条件.
[2022·新高考全国Ⅱ卷] 已知函数 .
（1）当时，讨论 的单调性；
解：当时，， .
当时，, 单调递减；
当时，, 单调递增.
（2）当时，,求实数 的取值范围；
解：令，则 ，
由题意知对任意的 恒成立.
，则 .
令 ，则 ，故 .
若,即 ,则
，
所以,使得当时，有，则 ，
故在上单调递增，则 ,不合题意.
若,即 ，
则当时，在 上恒成立，
故在上单调递减，
则当时， ，符合题意.
当 时，
在 上恒成立，
故在上单调递减，
则当时， ,符合题意.
故实数的取值范围是 .
（3）设 , 证明： .
证明： ，要证，
只需证 ，即证 ，
即证 ，
设，则，，即证 ，
即证 .
设，则 ，
故在 上单调递增，
则当时，，故 .
所以 得证.
［备选理由］例1考查恒成立求参数范围问题，有多种方法可解，供
备课选用;例2为一道端点效应失效的题目.
例1 ［配例1使用］ [2020·全国新高考Ⅰ卷] 已知函数
.
（1）当时，求曲线在点 处的切线与两坐标轴
围成的三角形的面积；
解：当时，，所以 ，所以
.
因为，所以切点坐标为 ,
所以曲线在点 处的切线方程为
,即 ,
所以切线与两坐标轴交点的坐标分别为, ,
所以所求三角形的面积为 .
（2）若，求 的取值范围.
解：方法一：因为,所以 ，
且 .
设,则 ,
所以在上单调递增，即在 上单调递增.
当时，,所以,所以 .
当时，，所以 ，所以
,
所以存在唯一，使得 ，且当
时，，当时， ，
所以，所以 ，
因此
,所以,所以 .
当时，,所以, 不
成立.
综上所述，的取值范围是 .
方法二：由得 ，即
，而 ，所以
.
令，则，所以在 上单调递增.
由 ，可知
，所以 ，所以 .
令，则 .
所以当时，, 单调递增；
当时，, 单调递减.
所以，则，即 ，
所以的取值范围为 .
方法三：由题意知,，令 ，所以
，所以 ，
于是 .
由于,所以，即 ，
而在上为增函数，故，即 ，分离
参数后有 .
令，，所以 .
当时，,单调递增；当时， ,
单调递减.
所以当时，取得最大值 ，所以
，所以的取值范围为 .
方法四：因为函数的定义域为，且 ，所以
，即 .
令，则，所以在区间 上
单调递增.
因为，所以当时，有，即 .
下面证明当时， .
令，，只需证当时， .
因为，所以在区间 上单调递增，则
.
因此要证当时，，只需证 即可.
由,，得, ，
上面两个不等式两边相加可得，
故 时， .
当时，，显然不满足 .
所以的取值范围为 .
例2 ［配例1、例3使用］[2020· 全国卷Ⅰ] 已知函数
.
（1）当时，讨论 的单调性；
解：当时，, .
故当时，;当时， .
所以在单调递减，在 单调递增.
（2）当时，，求 的取值范围.
解：等价于 .
设函数 ,则
.
若,即,则当时，.所以 在
单调递增，而,故当时， ,不合题意.
若,即,则当
时，;当时，.所以 在
, 单调递减，在单调递增.
由于 ,所以当且仅当,
即 .
所以当时， .
若,即,则 ，
由于,故由可得 ，
故当时， .
综上，的取值范围是 .

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