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微专题7 空间几何体
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 空间几何体的表面积与体积
例1（1）[2024· 新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面
积相等，且它们的高均为 ,则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设底面半径均为，圆锥的母线长为，则 .
由题可知,解得,
则,,
圆锥的体积 .故选B.
√
（2）在正三棱台中，，，侧棱 与
底面所成角的余弦值为 ，则此三棱台的表面积是( )
A. B. C. D.
[解析] 在正三棱台中，
设和的中点分别为 , ，和的中心分别
为,，连接，， ，，
易知在线段上，在线段 上，
则,，
√
由侧棱与底面 所成角的余弦值为，得 ，
则.
因为 ,，所以 .
因为， ，
，正三棱台的三个侧面都是面积相等的等腰梯形，
所以此三棱台的表面积 .故选A.
自测题
1.[2024·江苏无锡模拟]蒙古包是我国蒙古族牧民
居住的房子，适于牧业生产和游牧生活.如图所
示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱
的高为，底面半径为,设 是圆柱下底面
A. B. C. D.
的圆心，若圆锥的侧面与以为球心，半径为 的球相切，则圆锥
的侧面积为( )
√
[解析] 如图，设圆锥的顶点为 ，圆柱上底面的圆
心为,A为圆柱上底面圆周上的一点，连接 ，
，，则在上，.
设 , （为圆锥的高，为圆锥的母
线长），过 作于,
以为球心，半径为 的球与圆锥侧面相切，.
在中， ，可得，
又，，解得，
圆锥的侧面积为 . 故选C.
2.[2023·天津卷]在三棱锥中，线段上的点 满足
，线段上的点满足，则三棱锥 和
三棱锥 的体积之比为( )
A. B. C. D.
[解析] 设中边上的高为 ,
则由题意可得 ，
.故选B.
√
微点2 线面位置关系的判断
例2（1）[2024·全国甲卷]设 , 为两个平面，, 为两条直线，且
.下述四个命题：
①若,则 或 ；
②若,则 或 ；
③若 且 ,则 ；
④若与 , 所成的角相等，则 .
其中所有真命题的编号是( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
√
[解析] 对于①，因为，所以 ， ，
又 ，所以当 时，可得 ，
当 时，可得 ，故①为真命题.
对于②，在正方体中，令平面为 ，平面
为 ，为，为，满足题设条件，
但与 不垂直，与 也不垂直，故②为假命题.
对于③，过作平面 ，使平面与平面 相交，交线不与重合，
记交线为 ，则由线面平行的性质定理可知.
过作平面，使平面与平面 相交，交线不与重合，
记交线为，则由线面平行的性质定理可知 .所以，
因为 ， ，所以 ，
又 ， ，所以，所以 ，故③为真命题.
对于④，在正方体中，令平面为 ，
平面为 ，为，为，满足题设条件，
但与 不垂直，故④为假命题. 所以①③为真命题，故选A.
（2）（多选题）如图，在正方体中，为底面的中心， 为所在棱
的中点，，为正方体的顶点.则满足 的是( )
A. B. C. D.
[解析] 设正方体的棱长为2.
对于A，如图①所示，连接 ，则，
故（或其补角）为直线与 所成的角.
在直角三角形中，，，
则 ，故不成立，故A不满足题意.
√
√
对于B，如图②所示，取 的中点，连接，，
则，.
由题意知 平面，
因为 平面，所以，
又 ，所以 平面，
因为 平面，所以 ，
又,，所以 平面，
又 平面 ，所以，故B满足题意.
对于C，如图③，连接 ，则，
由B的判断可得，故 ，故C满足题意.
对于D，如图④，取的中点，的中点，
连接,,, , ，,则.
因为，,所以 ，故，
所以或其补角为异面直线与 所成的角.
因为正方体的棱长为2，所以 ，
，
，
所以 ，则不是直角，
所以与不垂直，故D不满足题意.故选 .
自测题
1.[2024·湖北八市联考]如图，在正方体
中，,,分别为,,
的中点，则下列直线中，与平面 垂直的是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接,,,, ，如图所示.
因为,,分别为,, 的中点，所以
，.
因为 平面 , 平面，
所以平面 .
因为 平面, 平面，所以平面 ，
又,, 平面，所以平面平面 ，
则垂直于平面的直线一定垂直于平面.
显然 平面,
又 平面，所以 ，
又，,
, 平面 ，所以 平面，
又 平面 ，所以.
同理可得 ，
又,, 平面 ，
所以 平面，即 平面 .
若其他选项中的直线垂直于平面，则要与 平行，显
然都不平行.故选D.
2.（多选题）[2024·湖南雅礼中学一模] 设， 为两条不重合的直
线， 为一个平面，则下列说法正确的是( )
A.若， ，则 B.若 ，，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
√
√
[解析] 对于A，直线可能在平面 内，可能与平面 相交，也可能
与平面 平行，故A错误.
对于B，设直线为平面 内的任意一条直线，
因为 ， ，所以，
又，所以，即与 内任意直线垂直，所以 ，故B正确.
对于C，若 ， ，则直线与直线可能平行，也可能异面，
故C错误.
对于D，过直线 作平面 ，使平面 与平面 相交，设，
因为 ，， ，所以，
又 ， ，所以 ，则，故D正确. 故选 .
1.[2021·新高考全国Ⅱ卷]正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，
侧棱长为2，则其体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为该正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该正四棱台的高，
下底面面积 ，上底面面积 ，
所以该正四棱台的体积
.故选D.
√
2.[2023·全国乙卷]已知圆锥的底面半径为， 为底面圆心，
，为圆锥的母线， ,若的面积等于 ,则
该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示，取的中点C，连接，,
则有 , .
在中，， ，
则 ,所以 ,
.
又由的面积为 ,得,解得 ，
所以 ，所以该圆锥的体积
.故选B.
3.[2023·北京卷]坡屋顶是我国传统建筑
造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安
A. B. C. D.
装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视
为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等
腰三角形．若, ，且等腰梯形所在平面、等腰
三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五
面体的所有棱长之和为( )
√
[解析] 如图，过作 平面 ，
垂足为，过分别作 ，
，垂足分别为，，连接, .
由题意得等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面的夹
角分别为 ， ，所以.
因为 平面， 平面，所以，
因为， , 平面，，
所以 平面，
因为 平面，所以.
同理，，
又 ，所以四边形是矩形，
所以由 得，所以 ，所以，
所以在直角三角形 中，.
在直角三角形 中，， .
又因为 ，
所以该五面体的所有棱长之和为
故选C.
4.（多选题）[2023· 新课标Ⅱ卷] 已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为
，为底面直径， ，，点 在底面圆周上，
且二面角的平面角为 ，则( )
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
√
√
[解析] 如图，取的中点D,连接， ，
，则，，故 为二
面角的平面角，得 .
因为 ，，所以， ，
故圆锥的体积 ，故A正确；
，故B错误；
由， 可得，故，故C正确；
易知 ，由，，得,
则， 故D错误.故选 .
5.（多选题）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 如图，四边形
为正方形， 平面， ，
，记三棱锥， ，
的体积分别为,, ,则( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 设正方形的边长为2，则 ,
, , .
平面，， 平面 ，
.
连接交于，连接 ，，
，，， 平面 .
过作，垂足为，则，且 ，
在中，.
在 中，.
在 中，，
，即,
故 .
故选项A，B错误，选项C，D正确，故选 .
6.[2024·全国甲卷] 已知圆台甲、乙的上底面半径均为 ,下底面半径
均为,圆台的母线长分别为, ,则圆台甲与乙的体
积之比为_ ___.
[解析] 如图所示，设， ，
则由题意知圆台甲的高 ,
圆台乙的高 ，
所以， ，
所以 .
［备选理由］例1考查空间位置关系的判断；例2考查简单几何体的
体积；例3考查圆台和球的体积；例4考查圆锥的几何特征.
例1 ［配例2使用］ [2024·河北唐山二模] 已知为平面 外的一条
直线，则下列说法中正确的是( )
A.存在直线，使得，
B.存在直线，使得，
C.存在直线，使得，
D.存在直线，使得，
√
[解析] 对于A，当直线与平面 斜交时，不存在直线 ，使得
， ，所以A错误.
对于B，如图①所示，
当 时，过直线作平面 ，使得，
取 ，, ，
因为 ， ，所以，又因为，所以 ，
因为 , ，所以 .
当与平面 斜交时，如图②所示，设斜足为A，
在直线上取一点，作 ，垂足为，
连接 ，在平面 内，过点A作直线，
因为 ，且，, 平面，
所以 平面 ，
又因为 平面，所以，即，
在和 确定的平面内，过点作直线，使得，所以，
因为 , ，所以 ，所以存在直线，使得， .
当直线 时，存在平面 且 ，在直线上取一点，在平
面 内过 作直线，根据面面平行的性质有 ，所以B正确.
对于C，当直线与平面 相交时，若，则直线与平面 必
相交，所以C错误；
对于D，当 时，若，则 或 ，所以D错误.
故选B.
例2 ［配例1使用］ [2024·天津河东区一模] 庑殿（图①）是古代传
统建筑中的一种屋顶形式，小明同学在参观文庙时发现了这一建筑
形式，将其抽象为几何体，如图②，其中底面 为矩
形，,, ，则
该几何体的体积为( )
A.512 B.384 C. D.
√
[解析] 因为， ，所以，
由 , ，
得四边形 ，四边形均为等腰梯形.
如图，过作于，作 于
，连接，过作于，
作于，连接 ，
所以，， .
因为，，所以，
又，， 平面，，
所以 平面，同理， 平面，
所以平面平面 ，
所以该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.
分别取，的中点，，连接， ，
因为 ，所以， ，
所以 ，
，
连接，交于，则为 的中点，连接，
因为 平面， 平面，
所以 .
因为，所以 ，
又， 平面， ，所以 平面 ，
所以 ，
所以 .
因为，
所以
，
所以该几何体的体积为 . 故选D.
例3 ［配例1使用］ 已知圆台的上、下底面面积分别为 ,
，其外接球的球心满足，则圆台 的外接球体
积与圆台 的体积之比为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设圆台的高为，外接球的半径为 ，
作出轴截面如图，
因为圆台 的上、下底面面积分别为 , ，
所以圆， 的半径分别为2，6，
则，可得, ，
故所求体积之比为 .故选B.
例4 ［补充使用］ （多选题）[2024·山东烟台三模] 如图①，半圆
的直径为4，点，三等分半圆，，分别为， 的中点，将
此半圆以为母线卷成如图②所示的圆锥，为 的中点，则在图
②中，下列结论正确的有( )
A.
B. 平面
C.平面
D.三棱锥与三棱锥公共部分的体积为
√
√
√
[解析] 对于A，在题图②中，设圆锥的底面半径为 ，
则 ，解得 ，
因为在题图①中，点B，C三等分半圆，
所以在题图②中，点B,C为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以 为等边三角形，所以，
所以，
又因为点, 分别是,的中点，
所以 ，故A正确；
对于B，如图，连接,因为是边长为的等
边三角形， 为等腰三角形，点D是 的中点，
所以，，
又 ，所以，
所以与 不垂直，故B错误；
对于C，因为点，分别是， 的中点，所以，
因为 平面， 平面，所以平面 ，
故C正确；
对于D，设, 交于点，易知在上，连接 ，则三
棱锥与三棱锥 的公共部分即为三棱锥，
因为点,分别是，的中点，
所以 为的重心，所以 ，
易知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的高为 ，
所以 ，
所以三棱锥与三棱锥 公共部分的体积为，故D正确. 故选 .

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