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(共39张PPT)
微专题6 数列与其他知识的交汇问题
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 数列与不等式的交汇问题
例1 [2024·无锡二模] 已知各项均为正数的数列的前项和为 ，
满足 .
（1）求数列 的通项公式；
解：由题得，，且，
当 时，,可得，
当 时，②，
得 ，
整理得 ，
因为，所以，
所以数列 是等差数列，其公差为1，
又，所以 .
（2）设,为数列的前项和，若 对任意
的恒成立，求 的取值范围.
解：由（1）得 ，
则 ，
，
得 ，所以
.
因为对任意的 恒成立，且，
所以对任意的 恒成立，
令,则，
当时， ，即，
当时，，即 ，所以
，
所以的最大值为，所以 ，
所以的取值范围为 .
自测题
[2024·邢台二模] 已知数列的前项和为，且 .
（1）求数列 的通项公式；
解：当时，，解得 .
当时，由，得 ，
两式相减得，所以，
故 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 .
（2）求证： .
证明：由（1）知 ，所以 .
当时， ，
当时，，故 ，
所以
.
综上， .
微点2 数列与函数的交汇问题
例2 [2024·广东五校联考]若 ，
数列的前项和为，且， ，则
( )
A.76 B.38 C.19 D.0
√
[解析] 因为 ，所以
，
所以的图象关于点 对称.
因为，所以 ，
所以 ，
所以，所以 ，
又，，所以，，
所以 ，所以，
所以，则 ，
所以 .故选A.
自测题
1.（多选题）函数是取整函数，也被称为高斯函数，其中
表示不超过的最大整数，例如：， .若在函数
的定义域内均满足在区间上， 是一个常数，
则称为的取整数列，称为 的区间数列.下列说法正
确的是( )
A.的区间数列的通项公式为
B.的取整数列的通项公式为
C.的取整数列满足
D.若，则数列的前 项和
√
√
[解析] 对于A，在上，， ，所以
,；
在上，,，所以 , ；…；
在上，， ，所以 ，所以A错误.
对于B，由选项A知，，所以B正确.
对于C，因为 5 ，所以 ，所以C错误.
对于D，由选项A知， ，
则 ，
所以 ，
两式相减得，所以D正确.故选 .
2.已知幂函数的图象过点，令 ,
，记数列的前项和为，则 ___.
5
[解析] 设幂函数 ，
因为的图象过点 ，所以 ，解得，
所以 ，所以 ，
则，
所以，故 .
微点3 数列与几何的交汇问题
例3 已知点列，， ，， 顺
次为抛物线上的点，过点作抛物线 的切线
交轴于点，点在轴上，且点，， 构成以
点 为顶点的等腰三角形.
（1）求数列， 的通项公式.
解：，，，
过点 的切线方程为 ，
令，得，则 .
点，，构成以点 为顶点的等腰三角形，
， .
（2）是否存在使等腰三角形 为直角三角形 若存在，请求
出 ；若不存在，请说明理由.
解：若等腰三角形为直角三角形，则 ，
，可得 ，
存在，使等腰三角形 为直角三角形.
（3）设数列的前项和为，求证： .
证明： ，
，
又 随着 的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为 ，
.
自测题
[2024·湖北襄阳模拟] 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香
的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团
用数学软件制作的“蚊香”，画法如下：在水平直线上
作长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点 为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点 （第一段圆弧），
再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点 ，
再以点为圆心， 为半径逆时针画圆弧，以此类推.当得到的“蚊香”
恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为_____.
[解析] 由题意可知，每段圆弧的圆心角为，
设第 段圆弧的半径为，则可得,
，
故数列是首项 ，公差的等差数列，则 .
当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为
.
1.[2022·新高考全国Ⅱ卷]图①是中国古代建筑中的举架结构， ,,,
是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图②是某古代建筑
屋顶截面的示意图，其中,,, 是举，,,,是相等
的步，相邻桁的举步之比分别为 ,,,．已知
,, 成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为，则 ( )
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
√
[解析] 设,则, ,
,.
由题意知，点A的坐标为 , 即，
所以,所以 ,故选D.
2.[2023·全国乙卷]已知等差数列的公差为 ,集合
.若,,则 ( )
A. B. C.0 D.
[解析] 依题意，在等差数列 中，，显然关于 的函数的最小正周期为3，
而，即 最多有3个不同的取值，
又集合, 中只有2个元素，
√
所以在,,中，有 或
.
若 ，则有，解得 .
当时， ；
当 时， . 故选B.
3.[2020· 全国卷Ⅱ] 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列
满足,且存在正整数 ,使得
成立，则称其为 周期序列，并称满足
的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为
的序列 ,
是描述其性质的重要指标.下列周期为5的 序列中，满足
的序列是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A选项，,
,不满足题意；
对于B选项， ，
不满足题意；
对于C选项， ，
，
，
，满足题意；
对于D选项， ，
不满足题意.故选C.
［备选理由］例1考查数列与不等式的交汇问题；例2借助导数研究
函数的单调性，再利用放缩法和等比数列的求和公式求和，考查数
列与函数的交汇问题；例3根据给定条件，利用余弦定理、三角形的
面积公式求出,，进而探求数列， 的特征，再逐项分析
计算，考查数列与几何的交汇问题.
例1 ［配例1使用］ 已知数列的前项和为,且 ,
,.若对任意 ,
恒成立，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，
又，所以数列 是以2为公比，1为首项的等比数列，所以，
则当 时， ，
又满足上式，所以,，
进而可得数列 是以2为公比，1为首项的等比数列，
可得 .
不等式 恒成立，即
恒成立，即 恒成立.
设 ，则 ，
设，则，
当 时，，所以在 上单调递减，
所以当时，，
则当时， ，为递减数列，所以，
所以 ，解得 .故选D.
例2 ［配例2使用］ [2024·江苏苏州三模] 已知函数 ,
.当时，，记的前项积为，若
恒成立，则整数 的最小值是___.
3
[解析] 当时，，则 .
设，，则 ，
故在上单调递减，则 ，故当时， ，
则 ，
所以.
若恒成立，则,所以整数 的最小值为3.
例3 ［配例3使用］ （多选题）数学中有各式各样富
含诗意的曲线，螺旋线就是其中一类，螺旋线这个名
词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠绕”.如图所示，
正六边形 的边长为1，分别取其各条边
的四等分点，连接得到正六边形 ，再取
其各条边的四等分点，连接得到正六边形 ，依次类推.对于
阴影部分，记第一个阴影的最大边长为，面积为 ；第二个
阴影的最大边长为，面积为 ；第三个阴影三角形的最大边
长为，面积为 ；依次类推.则( )
A.数列是以 为公比的等比数列
B.
C.任意阴影三角形的最小内角的余弦值为
D.数列的前2024项和小于
√
√
√
[解析] 正六边形 的边长为1，每个
内角均为 ，
在中， , ，
由余弦定理得 ，
则, ，
当时，
，
因此数列是以为首项， 为公比的等比
数列，所以，
当 时， ，
又满足上式，因此数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
对于A，数列是以 为公比的等比数列，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，记阴影三角形的最小内角为 ，则当
时，，
当 时，上式也成立，故C正确；
对于D， 的前2024项和为
，故D正确.故选 .

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