资源简介

(共47张PPT)
微专题8 几何体的切接问题与嵌套
问题
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 空间几何体的外接问题
例1 [2024·广州六校模拟]在三棱锥中，是以 为斜
边的直角三角形，为边长是2的等边三角形，且平面
平面，则三棱锥 外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，易知直角三角形 外接圆的圆心是斜边
的中点，连接，则三棱锥 外接球的球
心在上，
易知 外接圆的半径也是三棱锥外接球的半径.
在 中，由正弦定理知，（是 的外接圆
的半径），即，所以，
即三棱锥 外接球的半径为，
故三棱锥 外接球的表面积 .故选A.
自测题
1.[2024·重庆八中模拟]已知圆台的上底面积为 ，下底面积
为 ，且其外接球的半径 ，则该圆台的高为( )
A.6或7 B.8或12 C.6或8 D.7或12
[解析] 设外接球的球心为，则球心在线段上或线段 的
延长线上，
设圆台上、下底面半径分别为,，则, ，
设球心到上、下底面的距离分别为,，则 ,
，解得,，
故圆台的高 或 .故选C.
√
2.在三棱锥中, 平面,, ,
,则三棱锥 外接球的表面积为_____.
[解析] 因为 平面,, 平面,所以 ,,
又,所以,,两两垂直,
故可将三棱锥 补为以,,为共顶点的棱的长方体,
故三棱锥 的外接球即为此长方体的外接球,
设三棱锥外接球的半径为 ,则,
所以三棱锥 外接球的表面积为 .
微点2 空间几何体的内切问题
例2（1）[2024·宁波二模]在正四棱台中， ,
,，若球与上底面以及棱,,,
均相切，则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设正四棱台上、下底面的中心分别为, ,连
接,，则, ，所以棱台的
高 ,
设球的半径为 ,根据正四棱台的结构特征可知，
球与上底面相切于,与棱 ,,,均相切于各边中点，
设的中点为，连接,, ,则在的延长线上，
由，得 ，解得，
所以球的表面积为 ，故选C.
（2）正三棱柱 内切球（球与上、下底面和侧面都相切）
的半径是,为棱上一点，若二面角的大小为 ，
则平面 截内切球所得截面的面积为_ _____.
[解析] 因为正三棱柱内切球的半径是 ，
所以正三棱柱的高，底面边长.
取 , 的中点分别为，，连接，，，
，则，， ，
因为二面角的大小为 ，所以
，
内切圆的圆心为 上靠近点的三等分点，
内切圆的圆心为 上靠近点的三等分点，
连接,
设为正三棱柱 内切球的球心，则为的中点，
则，，
易知球心 到平面的距离等于到直线的距离.
在平面中，以 为原点，所在直线为轴，
所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则， ，
所在直线的方程为 ，即，
则点到直线 的距离，
即球心 到平面的距离为.
设平面 截内切球所得截面圆的半径为 ，
则 ，
所以截面圆的面积 .
自测题
1.[2024·江苏宿迁三模]若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个球是这个多面体的内切球.在四棱锥中，侧面
是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面 平面
.若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为 ，该四
棱锥的体积为，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，取的中点，的中点 ，连接
，，，因为 是等边三角形，所以，
又四边形是矩形，所以 ，
又，, 平面，所以平面，
又 平面，所以，又 ，所以.
因为平面 平面，平面 平面，
平面， 平面，所以 平面， 平面，
又，所以 平面， 平面，
又 平面， 平面 ，所以 ，，
所以 .
由球的对称性和正四棱锥的特征知，
平面截四棱锥的内切球 的截面为
大圆，此圆是的内切圆，
设此圆与， 分别相切于，，则四边形 为正方形，
设，又， ，
则 球的半径 ，
因为四棱锥的表面积S
，
由，解得 ，，
所以 ， ，
所以 .故选C.
2.[2024·邯郸三模] 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为1
和3的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器
壁、水面均相切，此时容器中水的体积为_____.
[解析] 设大球的半径为，小球的半径为，则 ，
，故大球的体积 ，
小球的体积 ，
圆台的高.
如图，作出圆台的轴截面，， 分别为圆台两底面的圆心，
设大球的球心为，小球的球心为，大球与母线 切于点，
小球与母线切于点，大球与小球切于点，连接， ，
过作交于，根据切线长定理可得， ，.
易知四边形，四边形，四边形 ，
四边形相似，
则 ，即，
解得，则 ,，
则圆台的体积 ，
则容器中水的体积 .
【规律提炼】
1.“接”的处理:把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题,
解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体顶点的距离
等于球的半径.
2.“切”的处理:解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋
转体的有关问题,解答时要先找准切点,通过作截面来解决,如果内切的
是多面体,则多通过多面体过球心的对角面来作截面.
3.“截”的处理:选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包
含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系）,达到空间
问题平面化的目的.
微点3 空间几何体的嵌套问题
例3 （多选题）[2023·新课标Ⅰ卷] 下列物体中，能够被整体放入棱
长为1（单位： ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有
( )
A.直径为 的球体
B.所有棱长均为 的四面体
C.底面直径为，高为 的圆柱体
D.底面直径为，高为 的圆柱体
√
√
√
[解析] 对于A，正方体内切球的直径为 ，故A正确；
对于B，如图①,在正方体中作出正四面体 ，
该正四面体的棱长为，而 ，故B正确；
对于C，圆柱体的底面直径为，可以忽略不计，
正方体的体对角线的长为 ，而，故C不正确；
对于D，圆柱体的高为 ，可忽略不计，
如图②，取，，，，， 分别为所在棱的中
点，并顺次连接，所得六边形为正六边形，
其边长为，连接，
易知 为正六边形的内切圆直径，
因为 ，所以，
而 ，故D正确.故选 .
自测题
（多选题）[2024·江西八校联考] 在棱长为2的正方体
中，点，分别为棱，的中点，过点
的平面 与平面平行，点为线段 上的一点，则下列说法
正确的是( )
A.
B.若点为平面 内任意一点，则的最小值为
C.底面半径为且高为的圆柱可以在正方体 内任
意转动
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
√
√
√
[解析] 对于A，如图，连接， ，
易知，
又 平面， 平面，
所以 ，
因为,, 平面 ，
所以 平面，
又 平面，所以 ，同理，
因为,, 平面 ，所以 平面，
因为 平面，所以 ，故A正确；
对于B，如图，平面 截正方体的截面为正六边形
，其中,,,分别为，，,
的中点，连接，则 平面 ，
且点,C到平面 的距离相等，连接 ，
则 ，故B错误；
对于C，底面半径为，高为 的圆柱的外接球的半径
，又正方体的棱长为2，
所以该圆柱可以在正方体内任意转动，故C正确；
对于D，点到平面的距离为定值，
所以当 最小时，直线与平面 所成角
的正弦值最大，此时点是的中点，
连接，,
直线 与平面所成角即为，
在 中，， ，
，
所以 ，故D正确.故选 .
1.[2022·新高考全国Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分
别为和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意，设球的球心为，半径为 ，正三棱台的上、下底面
分别为，，，， 均为正三棱台的棱，
则，都是等边三角形.
设， 的外接圆圆心分别为,，连接，
则.
√
连接， ， 等边三角形和等边三角形的边长
分别为, , ，.
连接,，若点在线段 上，则
，即，
可得，矛盾，故点 在线段 的延长线上.
由题意得，可得,，
该球的表面积 .
2.[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同
一球面上，若该球的体积为 ,且 ,则该正四棱锥体积
的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，连接，交于点，连接 .
设正四棱锥的高,底面边长为 ,
则,
设正四棱锥外接球的半径为 ，
则由 ，得.
延长，交球面于点 ，连接，则为球的直径，易知，
在 中，由射影定理知，, ,
所以, ,
所以正四棱锥 的体积为 .
记, ,
则,,
当 时，,单调递增，
当时， , 单调递减，所以 ,
,
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
3.[2020·全国卷Ⅰ]已知,,为球的球面上的三个点，为
的外接圆.若的面积为 ，，则球 的表
面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设的边长为，由题知为等边三角形，
因为圆 的面积为 ，所以圆的半径，
由正弦定理得 ,即,解得.易得.
设球的半径为 ，则，
故,得，所以球 的表面积为 .故选A.
√
4.[2022·全国乙卷]已知球的半径为1，四棱锥的顶点为 ，底面的四
个顶点均在球 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设四棱锥的底面为四边形，四棱锥的高为 ，
底面所在圆为，连接，,,则 底面 ，
当四边形为正方形时，四边形的面积最大，此时为,
的交点， ，
则，
故 ，
则 .
设，则，
当 时，，单调递增，
当时，， 单调递减，
所以当时， 取到最大值，即该四棱锥的体积取到最大值.
故选C.
5.[2023·全国甲卷] 在正方体中，，为
的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球 的半径的取
值范围是___________.
[解析] 设球的半径为.
当球 是正方体的外接球时，球恰好经过正方体的
每个顶点，此时球 的半径最大，正方体的外接球
直径，
则 ，所以；
分别取棱,,,的中点, ,, ，
显然四边形是边长为4的正方形，
为正方形 的对角线的交点，
连接，则，
当球 的一个大圆恰好是四边形的外接圆时，
球的半径最小，所以 .
综上可知，球的半径的取值范围为 .
［备选理由］例1考查三棱锥与其外接球的几何关系，求出外接球的
半径，再利用球的表面积公式计算即可； 例2考查球与球之间的外
切关系，找到第1个实心球上的点与第2个实心球 上的点到该圆
柱形容器下底面的最大距离，依次叠放，找出规律即可得到答案；
例3考查根据已知条件构造直角三角形，由勾股定理求出球 的半径，
即可得体积.
例1 ［配例1使用］ [2024·浙江金丽衢十二校二联] 在三棱锥
中，底面是边长为2的正三角形，若为三棱锥 外
接球的直径，且与所成角的余弦值为 ，则该外接球的表面
积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点，则为三棱锥 外接球的
球心，取的中点，的中点，连接， ，
，，，设外接球的半径为.
在 中，，
, .
在中，， .
因为，所以，
在中， .
易知与所成的角为 ，即.
在中, ，，
所以 ，解得 ，
所以该外接球的表面积为 .故选A.
例2 ［配例3使用］ [2024·山西晋城三模] 已知某种有盖的圆柱形
容器的底面圆半径为，高为100，现有若干个半径为 的实心
球，则该圆柱形容器内最多可以放入____个这种实心球.
49
[解析] 如图，将第1个实心球 靠近该圆柱形容器右侧放
置，球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为 ，
将第2个实心球靠近该圆柱形容器左侧放置，
过点 作垂直于该圆柱形容器的母线，垂足为，
过点作
例3 ［补充使用］ [2024·云南昆明三模] 某艺术
吊灯如图①所示，图②是其几何结构图.底座
是边长为 的正方形，垂直于底座且长度
A. B. C. D.
为6的四根吊挂线，，， 一头连着底座端点，另一头
都连在球 的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为
14，则球 的体积为( )
√
[解析] 由题得四边形 为正方形，且，
设正方形的外接圆圆心为 ，作出截面图，
连接并延长交圆于点，连接 ,如图所示，
则， .
因为该艺术吊灯总高度为14，，所以.
设球的半径为 ，则.
在中，可得 ，解得，
所以球的体积为 .故选C.

展开更多......

收起↑