资源简介

(共42张PPT)
微专题3 解三角形
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 边角混合式
微点2 最值、范围问题
微点3 正余弦定理在平面几何中的应用
微点1 边角混合式
例1 已知在中，内角,,所对的边分别为,, ,且
（1）求角 的大小；
解：因为 ，所以由正弦定理
得 ，
又,所以 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
又，所以 ，
又，所以 .
（2）若,外接圆的直径为4，求 的面积.
解：由题意及正弦定理得，则 ，
由余弦定理得 ，
所以，所以 ，
因为，所以，
故的面积 .
自测题
的内角，，的对边分别为,, ，
已知 .
（1）求 ；
解：由已知及正弦定理，得 ，
即 ，
故 ，
可得,所以 .
（2）若，的面积为，求 的周长.
解：由已知，得 .
又，所以 .
由已知及余弦定理得，，
故 ,从而 ，
所以的周长为 .
微点2 最值、范围问题
例2 已知的内角，，的对边分别为，，， 为钝角，
且满足
（1）证明： ；
证明：因为 ，所以由正弦定理得
，
又 ，所以 ，
即 ，
即，即 ，
因为为钝角，所以，，
所以 , ,
所以 或 .
若 ，则 ，这与 矛盾，舍去；
若，则，可得 .
（2）求 的取值范围.
解：由（1）得 ，
所以由正弦定理得
，
由即解得，所以 ，
则,故 ，所以的取值范围为 .
【规律提炼】
三角形中常见的求最值、范围问题的解题策略：
（1）利用余弦定理,找三角形三边之间的关系,利用基本不等式将
与相互转化求最值、范围.
（2）利用正弦定理,将边化成角的正弦,利用三角恒等变换进行化简，
利用三角函数的性质求最值、范围.
自测题
在中，内角，，的对边分别为，，， .
（1）若，证明： ；
证明：因为， ，所以由余弦定理可得
，
所以，即 ，
所以 .
因为，所以 ，
所以 ,
所以 ，得证.
（2）若，求 周长的最大值.
解：因为， ，所以由余弦定理可得，
所以，当且仅当 时取等号，
可得 ，
所以周长的最大值为 .
微点3 正余弦定理在平面几何中的应用
例3 已知四边形的外接圆面积为，且, ,
为钝角，
（1）求和 ；
解：四边形的外接圆面积为,即的外接圆面积为 ，
设的外接圆半径为，则，可得 .
在中， ，
即，故 ，
因为 ，为钝角，所以 为锐角，故
.
在中，由余弦定理得 ，
即 ，
所以，可得 .
（2）若，求四边形 的面积.
解： .
因为 ，，所以 ，
在中，由正弦定理得，
即 ，解得，
由余弦定理得 ，
即，可得 ，
故 ，
故四边形的面积为 .
自测题
[2024·晋城一模] 在中，，， .
（1）求角 的大小；
解：在中，，， ，
，
又， .
（2）求 外接圆的半径与内切圆的半径.
解：设外接圆的半径为，内切圆的半径为 ，
根据正弦定理得 .
根据等面积法有
，解得，
外接圆的半径为7，内切圆的半径为 .
1.[2024·全国甲卷]记的内角，，的对边分别为,, ,已知
,,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：因为 , ,所以.
由余弦定理可得 ,即,
所以 ,
所以 ,
则 ,故选C.
√
方法二：由于 ，则由余弦定理可得 ,即
.
由正弦定理可知 ,
所以
将的两边同时除以 可得,
得,
又 ,所以,即 ,
所以 .
2.[2022·全国甲卷] 已知中，点在边上， ,
,.当取得最小值时， ________.
[解析] 方法一：设，
则在 中，，
在 中， ，
所以
，当且仅当 ，
即时，等号成立，所以当 取得最小值时，.
方法二：令，如图，以为原点， 所在直
线为轴，建立平面直角坐标系，
则 ，， ，
所以 ，当且仅当,即时等号成立，
故当 取得最小值时， .
方法三：设,则，设内角, 的对边分别为, ，
由余弦定理得 所以 ，
令，即，则 ，
所以 ，
所以，当且仅当，即 时等号成立，
所以当取得最小值时， .
方法四：设，则，
在 中， ，
在 中， ，
所以.
记 ，则 ，
由方程有解得 或
所以 ，
所以，此时，
所以当 取得最小值时， .
3.[2024·新课标Ⅰ卷] 记的内角，，的对边分别为,, ,已
知, .
（1）求 ；
解：由余弦定理可得,
因为,所以 ,
所以,即 .
因为,所以 .
（2）若的面积为,求 .
解：由（1）可得 ，
设 的外接圆的半径为 ，
由正弦定理可得,所以, ,
所以 ，
可得，所以 .
4.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 记的内角，，的对边分别为,, ,
已知 .
（1）若,求 ；
解：由已知条件得 ，
则 ，
所以 ，
所以 .
由题知 ，所以，所以 ,
所以,可得 .
（2）求 的最小值.
解：由（1）知，则 ，
则 .
，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为 .
［备选理由］例1考查边角混合式；例2考查最值、范围问题；例3考
查正余弦定理在平面几何中的应用.
例1 ［配例1使用］ [2024·江苏南通三调] 在中，内角,,
的对边分别为,,,且 .
（1）求角 的大小；
解：因为 ，所以由正弦定理得
，
即，即 .
在中，因为，所以 ，
又 ，所以 .
（2）若的面积为,边上的高为1，求 的周长.
解：因为的面积为，所以，得 .
由，即 ，得.
由余弦定理得 ，即 ，
所以，即，所以 ，
所以的周长为 .
例2 ［配例2使用］ 在中，内角，，的对边分别为 ，
，，且满足 .
（1）求证： ；
证明：由 及正弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，
所以
，
在中， ，
所以 ，
所以或，
即或 （舍去），所以 .
（2）若为锐角三角形，求 的取值范围.
解：若为锐角三角形，由（1）得 ，
则即解得 ，
.
由得，
又易知函数在 上单调递减，
所以，
因此的取值范围为 .
例3 ［配例3使用］ [2024·山东日照二模] 已知的内角,,
的对边分别为,,，分别以,,为边长的正三角形的面积依次为 ,
,，且 .
（1）求角 的大小；
解：由题知,, ，
则 ，可得 ，
由余弦定理得 ，
因为，所以 .
（2）若，，求 .
解：设（ 为锐角），
在和中，由正弦定理可得 ，
，
故 .
因为，所以,
又 ，所以 ，
化简得 ，
又 ，，所以，
即 .

展开更多......

收起↑