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微专题4 等差数列、等比数列
2025 高考第二轮专题 数学
微点1 等差、等比数列的判定
例1（1）[2024·陕西西安模拟]等差数列的前项和为 ，且
，数列 为等比数列，则下列说法错误的是( )
A.数列 一定是等比数列
B.数列 一定是等比数列
C.数列 一定是等差数列
D.数列 一定是等比数列
√
[解析] 数列是等差数列，设其通项公式为 ，
则是定值，所以数列 一定是等比数列，
A中说法正确;
数列为等比数列，设其通项公式为 ，
则,所以 是定值，
所以数列 一定是等比数列，B中说法正确;
因为，所以 ，所以数列一定是等差数列，C中说法正确;
当 时，，则 不是等比数列，D中说法错误，故选D.
（2）已知数列中，, ，则
___.
9
[解析] 因为，，所以当
时，，解得，
，
可得，
所以的偶数项是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
自测题
1.[2024·湖北武汉模拟]已知数列 ，则“
”是“数列 是等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 先判断充分性：
, ，
令 ，则, 数列 的偶数项成等差数列，
令 ，则, 数列 的奇数项成等差数列，
但数列不一定是等差数列， “”不是“数列 是等差数列”的充分条件.
再判断必要性：
若数列 是等差数列， 则，
，
“”是“数列 是等差数列”的必要条件.
综上，“”是“数列 是等差数列”的必要不充分条件.故选B.
2.已知数列满足，，，数列的前 项和
为，则 ___.
3
[解析] 由题意知，数列 的奇数项构成以1为首项，2为公比的等
比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，
则，，
故，故 .
微点2 项的性质与和的性质
例2（1）[2024·河北衡水三模]已知数列， 均为等差数列，其
前项和分别为，，满足 ，则
( )
A.2 B.3 C.5 D.6
√
[解析] 因为数列, 均为等差数列，所以
，且 ，
又由，可得 ，
因此 .故选A.
（2）设是等比数列的前项和，若， ，
则 ___.
5
[解析] 由题意得 .
因为，，， 成等比数列，所以
，
可得，解得 ，则，
所以，解得 ，故 .
自测题
1.[2024·湖南岳阳质检]已知等差数列的前项和为 ，若
,，则 ( )
A.有最小值25 B.有最大值25 C.有最小值50 D.有最大值50
[解析] 由 ，可得，
因为,所以等差数列的公差 ，
故,，则 ，
当且仅当时取等号，故 有最大值25.故选B.
√
2.（多选题）[2024·安徽合肥二模] 已知等比数列的公比为 ，前
项和为 ，则( )
A.
B.对任意,,, 成等比数列
C.对任意，都存在，使得,, 成等差数列
D.若，则数列为递增数列的充要条件是
√
√
√
[解析] 对于A，当时， ，
，所以，
当 时，，
，
所以，故A正确；
对于B，当 时，，此时,, 不成
等比数列，故B错误；
对于C，当时，,,，故 ,
,不成等差数列，
当时，若存在，使,, 成等差数列，则
，即 ，
整理得，
所以，所以 ，所以对任意，
都存在，使得,, 成等差数列，故C正确；
对于D， ，
若是递增数列，则，
因为 ，所以，可得，
所以若，则数列 为递增数列的充要条件是，
故D正确.故选 .
微点3 等差、等比数列的混合
例3（1）等差数列和等比数列 都是各项均为正实数的无穷数
列，且，，的前项和为，的前项和为 ，
下列说法正确的是( )
A.是递增数列 B. 是递增数列
C. D.
√
[解析] 设数列和数列均为常数列1,1,1,1, ，可排除A，B，C.
对于D，设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ，
由，可知,，由，可知, ，
又由，，可得，故 ，
所以 ，
故，则 ，
所以，
又，所以 ，所以 .故选D.
（2）已知等差数列的前项和为,是等比数列，若 ,
，且，则 的最小值为___.
5
[解析] 设等差数列的公差为，因为，所以, ，
又，所以，所以 ，
所以.
因为是等比数列，且 ，所以，
显然，可得，则 ，所以 的最小值为5.
自测题
1.[2024·浙江金华十校联考]等差数列的首项为正数，公差为 ，
为的前项和，若，且，， 成等比数列，则
( )
A.1 B.2 C. D.2或
√
[解析] 因为，，成等比数列，所以 ，
即 ，整理得
，所以或.
又 ，，所以若，则，
解得 （舍去），
若，则，解得 ，则 .故选B.
2.已知数列是首项为1的等差数列， 是公比为3的等比数列，
且 .
（1）求和 的通项公式；
解：设数列的公差为 ，
由, ，
得，
解得 , ，
所以, .
（2）记为数列的前项和，，求的前
项和 .
解：由（1）可得 ，
所以，所以 ，
所以
.
微点4 插入数列
例4 [2024· 东北三省三校二联] 已知等比数列的前项和为 ，
且，其中 .
（1）求数列 的通项公式.
解：因为，所以 ，
两式相减得，
又 为等比数列，所以其公比为3，
又，所以，解得 ，
故 .
（2）在与之间插入个数，使这个数构成一个公差为
的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，
（其中,, 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；
若不存在，请说明理由.
解：由题设可得 .
假设数列中存在不同的三项，，（其中,, 成等差数
列）成等比数列，
则，所以，
因为,, 成等差数列，即，所以
，得 ，故，故，故，
这与,, 不同矛盾，故假设不成立，
所以数列中不存在不同的三项，， （其中,, 成等差
数列）成等比数列.
自测题
[2024·山东滨州二模] 已知等差数列的前项和为 ，且
， .
（1）求 的通项公式；
解：因为 为等差数列，所以，所以 ，
则公差，所以 ，
所以 .
（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与
之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ，求
的前150项和 .
解：因为在与之间插入个3，所以
在数列 中对应的项数
.
当时，，即 ；
当时，，即 .
由题意可知 ，所以
.
1.[2024·全国甲卷]记为等差数列的前项和.已知 ,
,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以
,则 ,
又因为,所以公差,
所以 ,故选B.
√
2.[2023· 新课标Ⅱ卷]记为等比数列的前项和，若 ，
，则 ( )
A.120 B.85 C. D.
[解析] 方法一：由题易知公比且，
，，
， ，
则， .故选C.
√
方法二：由等比数列的性质可得，，， 成等
比数列，因此，
将， 代入上式，解得或.
当时， ，不满足题意，
，则 ，
由等比数列的性质可知，
得 .故选C.
3.[2023· 新课标Ⅰ卷]记为数列的前项和，设甲： 为等差
数列；乙： 为等差数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
√
[解析] 若为等差数列，则设数列的公差为 ，可得
，则，所以为首项为 ，公
差为的等差数列，即甲是乙的充分条件.
反之，若 为等差数列，则可设的公差为D，故
，即 ，
利用公式可得 ，
所以，即为公差为 的等差数列，所以甲是乙的必
要条件.
综上，甲是乙的充要条件.故选C.
4.[2024· 新课标Ⅱ卷] 记为等差数列的前 项和，若
,,则 ____.
[解析] 设等差数列的公差为，则 ,
,
所以， ,所以 .
5.[2020·全国新高考Ⅰ卷] 将数列与 的公共项从小到
大排列得到数列，则的前 项和为_________.
[解析] 令，可得，
, ，,，，
则 的前项和 .
6.[2023· 新课标Ⅰ卷] 设等差数列的公差为,且 .令
，记，分别为数列，的前 项和.
（1）若，，求 的通项公式；
解：因为，所以，即 ，故
.
所以，是首项为，公差为 的等差数列，
所以， .
因为，所以 ，
即，
解得或（舍去），故 的通项公式为 .
（2）若为等差数列，且，求 .
解：若为等差数列，则 ，
即，即，
所以 或 .
当时，， ，故， .
又，所以 ，
即，解得或 （舍去）.
当时，， ，故，.
又 ，所以，
即，解得 （舍去）或（舍去）.
综上， .
［备选理由］例1考查等差、等比数列的综合与数列性质；例2考查
等差中项及等比中项，结合等差数列的通项公式及前 项和公式求解；
例3考查等比数列的判定和插入数列；例4考查等差数列和等比数列
的混合.
例1 ［配例3使用］ （多选题）[2024·广东梅州二模] 已知数列
的通项公式为，，在 中依次选取若干项
（至少3项），，， ，， ，使 成为一个等比
数列，则下列说法正确的是( )
A.若取，，则
B.满足题意的 也必是一个等比数列
C.在的前100项中， 的可能项数最多是6
D.如果把中满足等比的项一直取下去，那么 总是无穷数列
√
√
[解析] 对于A，若取，，则 ，，
因为为等比数列，所以 ，则有，即，
故A正确；
对于B，因为数列 的通项公式为，所以，
若为等比数列，则， ，， ，， 是等比数列，
则，，， ，， 是等比数列，故满足题意的 也必是
一个等比数列，故B正确；
对于C，在的前100项中，可以取，，， ，
，，，使 成为一个等比数列，此时
的项数为7，故C错误；
对于D，取， ，，，
则,，， ，
易知的公比为,则，即数列 是有限数列，
所以把中满足等比的项一直取下去， 不总是无穷数列，
故D错误. 故选 .
例2 ［配例2使用］是公差不为零的等差数列，其前项和为 ，
若，，，成等比数列，则 ______.
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[解析] 设等差数列的公差为，因为 ，
所以，即，解得 .
因为，，成等比数列，所以 ，
即，解得或 （舍），
所以，解得 ，
所以 ，所以 .
例3 ［配例1、例4使用］ 数列的前项和为 ，且
.
（1）求证数列是等比数列，并求 的通项公式；
解：当时， ；
当时，由得 ，
两式相减得 ，
所以，
又 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
得，即 .
（2）若，在和中插入 个数构成一个新数列
，2，，4，6，，8，10，12，， ，插入的所有数
依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前50项和 .
解：由题意得，在新数列中，从到 ，共插入了
（个）数，
共有 个数.
当时，，
当 时， ，
所以，在新数列的前50项中，有 的前9项，插入的等差数列
的前41项，
所以 .
例4 ［配例3使用］ [2024·广东茂名二模] 有无穷多个首项均为1的
等差数列，记第个等差数列的第 项为
，公差为 .
（1）若，求 的值；
解：由题意得 ，
又，所以 .
（2）若为给定的值，且对任意, 恒成立，证
明：存在实数 , ，满足， ；
证明：因为 ，
所以，即 ，
所以 ，
因此 ，
所以 ，
又，即 ，
所以 ，
所以存在实数,，满足 ,
.
（3）若 为等比数列，证明：
.
证明：因为为等比数列，所以，其中为 的公比，
所以 .
当 时， ，
因为,,，所以 ，
又 ，所以 ，
故 ，
即 ，
所以 .

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