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2025年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数的相反数是( )
A. B. C. D.
2.在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.某果园实验基地种植了甲、乙两个品种的杨梅树，工作人员随机从甲、乙两品种的杨梅树中采摘了棵，统计了每棵的产量下列关于两品种每棵产量的平均数和方差的描述中，能说明甲品种的杨梅产量较稳定的是( )
A. B. C. D.
6.如图，的直径与弦的夹角为，过点的切线与的延长线交于点，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知是一元二次方程的一个根，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作交于点，连接，若，，则菱形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
9.已知一次函数，当时，对应的值为，则的值是( )
A. B. C. 或 D.
10.如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，得到如下两个结论：面积的最大值为，点到的距离为则( )
A. 都对 B. 都错 C. 对错 D. 错对
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解： ______．
12.从张大小、背面相同的卡片，正面上的数分别为，，，若将这张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽张，这张卡片正面上的数为无理数的概率是______．
13.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则其底面圆的半径为______．
14.如图，在矩形中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交于点若，，则矩形的对角线的长为______．
15.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则使的的取值范围是______．
16.如图是以为直径的，点是圆上一点，将圆形纸片沿着折叠，与交于点，连结并延长与圆交于点若，则的值等于______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解不等式组
19.本小题分
在中，，，求的度数和的面积．
20.本小题分
某中学为了了解八年级学生参加志愿者活动次数，随机调查了该年级名学生，统计得到该名学生参加志愿者活动次数如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
根据以上数据，得到如下不完整的频数表：
次数
人数
表格中 ______， ______．
在这次调查中，参加志愿者活动次数的众数为______次，中位数为______次
若该校八年级学生共有人，根据调查统计结果，估计该校八年级学生参加志愿者活动次数次及以上的人数．
21.本小题分
如图，在中，，是的平分线用尺规作，是边上一点．
小明：如图，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦我明白了
给出小明作法中的证明．
指出小丽作法中存在的问题．
22.本小题分
某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心，现有如表所示两种类型货车可供调配：
类型 甲型 乙型
满载吨
价格元
若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？
若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过，元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用．
23.本小题分
已知二次函数．
若二次函数过点．
求此二次函数表达式．
将二次函数向下平移个单位，求平移后的二次函数与轴的两个交点之间的距离．
如果，，都在这个二次函数上，且，求的取值范围．
24.本小题分
如图，已知正方形的对角线相交于点，平分交于点，，交于点，交于点．
求的值．
求证：∽．
求证：．
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或
16.
17.解：原式
．
18.解：，
解得：，
解得：，
故不等式组的解为：．
19.解：在中，
，
，．
．
．
．
答：为，的面积为．
20.解：根据给出的数据可得：，，
故答案为：，；
该名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
出现的最多，有次，
众数为；
共有名学生，中位数为第，第个数的平均数，
故答案为：，；
根据题意得：
人，
答：估计该校八年级学生参加志愿者活动次数次及以上的人数约人．
21.证明：如图中，由作图可知，
平分，
；
解：如图中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，点不唯一，故小丽作法中存在的问题．
22.解：设甲种货车派出辆，乙种货车派出辆，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种货车派出辆，乙种货车派出辆；
设派出辆甲种货车，则派出辆乙种货车，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，，
共有种派车方案，
方案：派出辆甲种货车，辆乙种货车，总费用为元；
方案：派出辆甲种货车，辆乙种货车，总费用为元；
方案：派出辆甲种货车，辆乙种货车，总费用为元；
方案：派出辆甲种货车，总费用为元．
，
当派出辆甲种货车，辆乙种货车时，总费用最低，最低费用是元．
23.解：将点的坐标代入函数表达式得：，则，
则抛物线的表达式为：；
平移后的表达式为：，
令，则，
则两个交点之间的距离为；
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，，
抛物线过点，
其对称点为，
当时，和均在对称轴左侧，
，不符合题意；
当时，
，
或，
或；
且．
24.解：四边形是正方形，
，
；
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
平分交于点，
，
，
，
，
，
∽；
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
过点作交的延长线于点，
平分，，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
．
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