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2025年江苏省宿迁市厦门路实验学校中考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果是( )
A. B. C. D.
2.下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
3.华为，遥遥领先，其中手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是纳米集成芯片，纳米就是米，数据用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
4.如图，正方形中，、是对角线上两点，连接、、、，则添加下列哪个条件可以判断四边形是菱形( )
A.
B.
C.
D.
5.由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为( )
A. B. C. D.
6.九章算术中有一道“凫雁相逢”问题凫：野鸭，大意如下：野鸭从南海飞到北海需要天，大雁从北海飞到南海需要天如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
7.我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，如：若，那么的结果是( )
A. B. C. D.
8.如图，点，在轴上，以为边的正方形在轴上方，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到则当点恰好落在轴上时，折痕所在直线与反比例函数图象的另一个交点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.函数的自变量的取值范围是______．
10.因式分解： ______．
11.圆锥的底面半径，母线，则该圆锥的侧面积是______．
12.将点向上平移个单位到点，且点在轴上，那么点坐标为______．
13.方程的解为 ．
14.如图，是的弦，是圆心，把的劣弧沿着对折，是对折后劣弧上的一点，，则的度数是______．
15.点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为 ．
16.小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点为该函数的“轴近点”已知一次函数为常数，且的图象上存在“轴近点”，则的取值范围______．
17.如图，在矩形中，，是边上的一个动点，
连接，过点作交于点设，，点
从点运动到点的过程中关于的函数图象如图所示，则该
函数图象的顶点的纵坐标的值为______．
18.如图，矩形中，，动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，连接，则的最大值为______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
解不等式组：，并在数轴上表示解集．
21.本小题分
如图，在中，．
尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点；不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，，，求的长．
22.本小题分
某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种棵，从中各随机抽取棵，对其产量千克棵进行整理分析给出了下列部分信息．
平均数 中位数 众数 方差
甲品种
乙品种
甲品种产量：，，，，，，，，，；
乙品种产量：如图所示不完整．
补全如图的折线统计图图中要写上数据；
______， ______；
从枸杞产量的稳定性的角度，你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞，并说明理由．
23.本小题分
中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹．
小明选择的是“竹”的概率为______．
请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率，
24.本小题分
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点点，，在同一水平线上参考数据：，，，，，
求屋顶到横梁的距离；
求房屋的高．
25.本小题分
如图，为的直径，，为上不同于，的两点，，连接，过点作，垂足为，直径与的延长线相交于点．
求证：是的切线；
当时，求的长．
26.本小题分
在“中国生态稻虾第一县”审批通过后．某县计划在部分区域范围内推广稻米虾养殖技术已知每千克稻米虾养殖成本为元，在整个销售旺季的天里，销售单价元千克与时间第天之间的函数关系式为：，日销售量千克与时间第天之间的函数关系如图所示：
求日销售量与时间第天的函数关系式；
哪天的日销售利润最大？最大利润是多少？
27.本小题分
如图所示，抛物线经过、两点，、两点的坐标分别为、．
求抛物线的函数解析式；
点为抛物线的顶点，点为抛物线与轴的另一交点，点为轴上一点，且，求出点的坐标；
在第二问的条件下，在直线上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，请你直接写出所有满足条件的点的坐标．
28.本小题分
在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是：的矩形，例如我们的课本封面、打印纸，我们不妨称这样的矩形为标准矩形
【操作判断】
如图，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接．
矩形 ______标准矩形填“是”或“不是”．
【深入探究】
将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
如图，当恰好经过点时，旋转角的度数是______，线段的长是______．
如图，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明．
【拓展应用】
在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长．
答案解析
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.且
17.
18.
19.解：原式
．
20.解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为．
在数轴上表示为：．
21.解：如图所示：直线是的垂直平分线；
直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
，
在中，，，，
，
解得，
．
22.解：，
第七棵枸杞的产量为：千克，
如图：
甲品种的个数据中，数据出现了次，出现的次数最多，所以众数；
将乙品种的个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，
排在第、位的数是，，
中位数，
故答案为：，；
该基地应推广种植乙品种的枸杞，
理由：甲品种的方差为，乙品种的方差为，，
乙品种的产量更稳定枸杞，
该基地应推广种植乙品种的．
23.解：共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹，则小明选择的是“竹”的结果有种，
小明选择的是“竹”的概率为；
将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为，，，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有种，
小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为．
24.解：，
，
该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，
，，
，
答：屋顶到横梁的距离为．
过点作于点，
设 ，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，，
解得：，
，
答：房屋的高为．
25.证明：连接，则，
，
，
，
，垂足为，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：连接，
为的直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
26.解：设解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
日销售量与时间第天的函数关系式为为整数；
设日销售利润为，则，
当时，．
当时，．
中当时，；中当时，，
，
第天的日销售利润最大，最大利润为元．
27.解：抛物线经过、，
，
解得，
故抛物线的函数解析式为：；
令，
解得：，，
则点的坐标为：，
，
点坐标为：，
设点的坐标为，过点作轴于点，
在和中，
，，
，
，
解得：，
点的坐标为；
点，，，
，，
根据勾股定理，，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
，
．
当与是对应边时，
，
，
即，
解得，
过点作轴于点，
则，
即，
解得：，，
当点在点的左边时，，
点坐标为：，
当点在点的右边时，，
点坐标为：；
当与是对应边时，
，
，
即，
解得：，
过点作轴于点，
则，
即，
解得：，，
当点在点的左边时，，
点的坐标是，
当点在点的右边时，，
点的坐标是，
综上所述，满足条件的点共有个，其坐标分别为、、、．
28.解：，
，
，分别是，的中点，
，
，
矩形是标准矩形，
故答案为：是；
当恰好经过点时，
中，，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，
由旋转的性质，可知，，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
≌，
；
如图，当点在线段上时，，
，，，
，
，
，
连接，，则，
，
，
是等边三角形，
，
由可知，，
，，
，
，
是等边三角形，
过点作于，
，
，
，，
在中，，
；
如图，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点，
同理可得是等边三角形，
，
综上所述，线段的长为或．
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