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2024-2025 学年江苏省镇江市丹徒区茅以升实验学校七年级（下）月考
数学试卷（3 月份）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算正确的是( )
A. 2 3 = 6 B. ( 2)3 = 5 C. ( )2 = 2 2 D. 6 ÷ 3 = 2
2.如果 = ( 0.1)0， = ( 0.1) 1 5， = ( ) 23 ，那么 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
3.下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是( )
A. ( + 2)(2 + ) B. ( 12 + )(
1
2 )C. ( + )( ) D. (
2 + )( 2)
4.若 2 + 9 = ( 3)2，则 的值为( )
A. 3 B. ±3 C. 6 D. ±6
5.已知 2 2 = ，则 ( 3 ) + (3 1) 2 的值是( )
A. 2 B. 0 C. 2 D. 4
6.关于 的二次三项式 4 2 + 9 是一个完全平方式，则 的值为( )
A. 12 B. ±12 C. ±6 D. 6
7.从前，一地主把一块长为 米，宽为 米( > > 100)的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老
汉说：“我把这块地的长增加 10 米，宽减少 10 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”
如果这样，你觉得张老汉的租地面积会( )
A.变小了 B.变大了 C.没有变化 D.无法确定
8.对于任意正整数 ， 定义一种新运算： ( + ) = ( ) ( ).比如 (2) = 5，则 (4) = (2 + 2) = 5 × 5 =
52， (6) = (2 + 4) = 5 × 52 = 53，那么 (2024)的结果是( )
A. 2024 B. 52024 C. 51012 D. 1012
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分。
9.计算： 3 2 = ______；( 3)2 = ______；( 2 2 )3 = ______．
10 ( 1.计算： ) 3 = 1______；( 2)2017 × ( )20182 2 = ______．
11.已知一粒大米的质量约为 0.000021 千克，这个数用科学记数法表示为______千克．
12.若 = 3， = 5，则 2 = ______．
13.若( + 2)( 1) = 2 + + ，则 + + 的值为______．
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14.计算：( 2)(3 + 1) = ______．
15.若关于 的多项式( 2 2 )( + )的计算结果中不含有 2项，则 = ______．
16.已知： + = 32， = 1，化简( 2)( 2)的结果是______．
17.已知( + 3)2 = 1，则满足条件的所有的 值是______．
18.已知 + 1 + 4 = 0，则
2 + 1 2的值为______．
19.如图所示，两个正方形的边长分别为 和 ，如果 + = 10， = 20，
那么阴影部分的面积是______．
20.设 = 2023， = 2025， = 2024.若 2 + 2 = 16，则 2的值是______．
三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题 24 分)
计算：
(1)20 + ( 3)2 ( 14 )
1；
(2)( 2)3 3 + ( )2 7；
(3)( 2 ) (2 2 3 + 1)；
(4)( + )(2 2 )；
(5)(2 + 3 )2(2 3 )2；
(6)( 3)( + 3)( 2 + 9)．
22.(本小题 6 分)
先化简，再求值：( 2 )2 ( + )(3 ) 5 2，其中 = 2， = 1．
23.(本小题 6 分)
规定 = 3 × 3 ，求：
(1)求 1 2；
(2)若 2 ( + 1) = 81，求 的值．
24.(本小题 6 分)
计算(用简便方法并写出解题过程)：
(1)499 × 501；
(2)10012 2002 + 1．
25.(本小题 6 分)
已知 + = 3，( + 3)( + 3) = 20．
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(1)求 的值；
(2)求( )2的值．
26.(本小题 6 分)
(1)已知( ) = 2，22 ÷ 22 = 28．
①求 和 的值．
②求 2 + 2的值．
(2)若 = 2 + 1， = 3 + 4 .请用含 的代数式表示 ．
27.(本小题 8 分)
我们知道，同底数幂的乘法法则为 · = + (其中 ≠ 0， 、 为正整数)，类似地，我们规定关于任意
正整数 、 的一种新运算： ( )· ( ) = ( + )(其中 、 为正整数)．
例如，若 (3) = 2，则 (6) = (3 + 3) = (3)· (3) = 2 × 2 = 4， (9) = (3 + 3 + 3) = (3)· (3)· (3) =
2 × 2 × 2 = 8．
(1)若 (2) = 5，
①填空： (6) =_____；
②当 (2 ) = 25，求 的值；
(2)若 ( ) = 3，化简： ( )· (2 )· (3 ) (10 )．
28.(本小题 10 分)
图 1 是一个长为 2 、宽为 2 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图 2 的形状拼成
一个正方形．
(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式( + )2，( )2， 之间的等量关系为______．
(2)运用你所得到的公式，计算：若 、 为实数，且已知 + = 6， = 5，求 的值；
(3)如图 3，点 是线段 上的一点，以 、 为边向两边作正方形，设 = 8，两正方形的面积和 1 + 2 =
28，求图中阴影部分面积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 5 6 8 6 3
10.8 12
11.2.1 × 10 5
12.95
13.0
14.3 2 5 2
15.2
16.2
17. 2 或 4 或 2
18.14
19.30
20.7
21.解：(1)20 + ( 3)2 ( 1 ) 14
= 1 + 9 4
= 10 4
= 6；
(2)( 2)3 3 + ( )2 7
= 6 3 + 2 7
= 9 + 9
= 0；
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(3)( 2 ) (2 2 3 + 1) = 4 3 + 6 2 2 ；
(4)( + )(2 2 )
= 2( + )( )
= 2 2 2 2；
(5)(2 + 3 )2(2 3 )2
= [(2 + 3 )(2 3 )]2
= (4 2 9 2)2
= 16 4 72 2 2 + 81 4；
(6)( 3)( + 3)( 2 + 9)
= ( 2 9)( 2 + 9)
= 4 81．
22.解：原式= 2 4 + 4 2 (3 2 + 3 2) 5 2
= 2 4 + 4 2 3 2 + 3 + 2 5 2
= 2 2 6 ，
当 = 2， = 1 时，
原式= 2 × ( 2)2 6 × ( 2) × 1 = 4．
23.解：(1) ∵ = 3 × 3 ，
∴ 1 2
= 31 × 32
= 3 × 9
= 27；
(2) ∵ 2 ( + 1) = 81，
∴ 32 × 3 +1 = 34，
则 2 + + 1 = 4，
解得： = 1．
24.解：(1)原式= (500 1) × (500 1)
= 250000 1
= 249999；
(2)原式= 10012 2 × 1001 × 1 + 1
= (1001 1)2
= 10002
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= 1000000．
25.解：(1)因为 + = 3，( + 3)( + 3) = 20，
所以 + 3( + ) + 9 = 20，
所以 + 3 × 3 + 9 = 20，
所以 = 2；
(2)因为由(1)知 = 2，
又因为( + )2 = 2 + 2 + 2， + = 3，
所以( )2 = 2 2 + 2
= 2 + 2 + 2 4
= ( + )2 4
= 32 4 × 2
= 9 8
= 1．
26.解：(1)① ∵ 22 ÷ 22 = 28，
∴ 22 2 = 28，
∴ 2 2 = 8，
∴ = 4；
∵ ( ) = 2，
∴ = 2，
∴ = 2；
② ∵ = 4，
∴ 2 + 2
= ( )2 + 2
= 42 + 4
= 20；
(2) ∵ = 2 + 1， = 3 + 4 ，
∴ 2 = 1，
∴ = 3 + (22)
= 3 + (2 )2
= 3 + ( 1)2
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= 2 2 + 4，
27.解：(1)①125；
② ∵ 25 = 5 × 5 = (2)· (2) = (2 + 2)，
又∵ (2 ) = 25，
∴ (2 ) = (2 + 2)，
∴ 2 = 4，
∴ = 2．
(2) ∵ (2 ) = ( + ) = ( )· ( ) = 3 × 3 = 32，
(3 ) = ( + + ) = ( )· ( )· ( ) = 3 × 3 × 3 = 33，
，
(10 ) = 310，
∴ ( )· (2 )· (3 ) (10 )
= 3 × 32 × 33 × × 310
= 31+2+3+ +10
= 355．
28.解：(1)由图形特征可得( )2 = ( + )2 4 ；
故答案为：( )2 = ( + )2 4 ；
(2)由(1)得：( )2 = ( + )2 4 ，
∵ + = 6， = 5，
∴ ( )2 = 62 4 × 5 = 16，
∴ =± 4；
(3)由条件可知 = ， 1 = 2， 2 = 2，
∵ = 8， 1 + 2 = 28，
∴ + = 8， 2 + 2 = 28，
∴ 2 = ( + )2 ( 2 + 2) = 64 28 = 36，
∴ = 18，
∴ 1 1阴影部分面积为：2 × = 2 × =
1
2 × 18 = 9，
∴图中阴影部分面积为 9．
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