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2024-2025 学年江苏省盐城市东台市第五教育联盟七年级（下）期中
数学试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. 2 + 3 = 6 B. 2 3 = 6
C. (3 )3 ÷ 3 = 9 2 D. ( 2)2 = 2 4
3.下列计算正确的是( )
A. ( )2 = 2 + 2 2 B. ( + )2 = 2 + 2
C. ( + )( ) = 2 2 D. ( + )( ) = 2 2
4.如图，将一块含 30°角的直角三角板 绕点 顺时针旋转到△ ′ ′ ，当 ， ， ′在一条直线上时，
三角板 的旋转角度为( )
A. 180°
B. 150°
C. 120°
D. 90°
5 = 3.已知 = 1是方程 2 5 = 的解，则 的值为( )
A. 11 B. 11 C. 2 D. 2
6.两个连续偶数的平方差一定是( )
A. 3 的倍数 B. 4 的倍数 C. 5 的倍数 D. 6 的倍数
2 + =
7 = 5.小亮求得方程组 2 = 12的解为 = ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和 ，请
你帮他找回这两个数，“●”“ ”表示的数分别为( )
A. 5，2 B. 8，2 C. 8， 2 D. 5，4
8.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，
得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值 10 斗谷子，一斗醑酒价值 3 斗谷子.现在拿 30
斗谷子，共换了 5 斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒 斗，醑酒 斗，那么可列方程组为( )
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A. + = 5, + = 5,10 + 3 = 30 B. 3 + 10 = 30
+ = 5, + = 5,
C. + = 30 D. 10 3 3 + 10 = 30
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。
9.14 芯片正在成为需求的焦点，其中的 14 = 0.00000001 米，将 0.000000014 用科学记数法表示为
______．
10.化简 4 ( 2 )3的结果是______．
11.已知10 = ，10 = ，则103 +2 = ______．
12.如图，将△ 绕点 顺时针旋转一定的角度得到△ ′ ′，此时点 ′
恰在边 上，若 = 2， ′ = 5，则 ′ 的长为______．
13.方程 2 3 2 +1 = 6 是关于 ， 的二元一次方程，则 + 2 的值为______．
14.如图，在三角形 中，∠ = 90°，将三角形 沿 方向平移得到三角形
，其中 = 7， = 3， = 2，则阴影部分的面积是______．
15.在△ 1中， = = 8， = 6，现分别以点 和点 为圆心，以大于2 的
长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，作直线 ，分别交 和 于点 和 ，连接 ，
则△ 的周长为______．
16.二元一次方程 2 + 3 = 18 正整数解的个数是______个.
17.设有边长分别为 和 ( > )的 类和 类正方形纸片、长为 宽为 的 类矩形纸片若干张.如图所示要拼
一个边长为 + 的正方形，需要 1 张 类纸片、1 张 类纸片和 2 张 类纸片.若要拼一个长为 3 + ，宽为
2 + 2 的矩形，则需要 类纸片的张数为 张.
18.阅读材料；求 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 22013的值．
解：设 = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22012 + 22013，将等式两边同时乘以 2 得：
2 = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + … + 22013 + 22014．
将下式减去上式得 2 = 22014 1．
即 = 22014 1．
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即 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22013 = 22014 1．
请你仿照上述方法，计算 1 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 2025 = ______．
三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 16 分)
计算：
(1)( 1)2025 + ( 3.14)0 2 3；
(2) 2 4 ( 2 2)3 3 8 ÷ 2；
(3) 1 22 (2 1)；
(4)( + 2 )( 2 ) ( + 4 )2．
20.(本小题 8 分)
△ 在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 1．
(1)将△ 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，得到△ 1 1 1，请画出△ 1 1 1；
(2)画出△ 1 1 1绕点 逆时针旋转 180°之后得到的△ 2 2 2；
(3)求△ 2 2 2的面积．
21.(本小题 8 分)
如图，△ 与△ 关于直线 对称，其中∠ = 90°， = 8 ， = 10 ， = 6 ．
(1)线段 与直线 的关系是什么？
(2)求∠ 的度数；
(3)求△ 的周长．
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22.(本小题 8 分)
解方程：
(1) + = 5① ．
2 = 4②
(2)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如：
从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数 ， 的系数与相应的常数项，即
可表示方程 + 4 = 23，则 表示的方程是______；请将这两个方程联立成方程
组，并求出这个方程组的解．
23.(本小题 6 分)
下面是张亮同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务．
2 = 1①
解： ．
2 + 2 = 5②
第一步：由①得， = 2 + 1③；
第二步：将③代入②，得 2 × 2 + 1 + 2 = 5；
2
第三步：解得 = 3；
= 1 7第四步：将 代入③，解得 = 3；
= 2
第五步：所以原方程组的解为 3．
= 73
任务一：张亮解方程组用的方法是______消元法(填“代入”或“加减”)；
任务二：仔细检查后，发现张亮的答案是错误的，他从第______步开始出现错误；
任务三：请写出正确的解答过程．
24.(本小题 6 分)
若 = ( > 0 且 ≠ 1， 、 是正整数)，则 = .利用上面结论解决下面的问题；
(1)如果2 = 25，则 = ______；
(2)如果8 = 27，求 的值；
(3)如果3 +2 3 +1 = 54，求 的值．
25.(本小题 6 分)
+ 2 = 1
若关于 ， 的二元一次方程组 2 + = 2 + 1，满足 = 5，求 的值．
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26.(本小题 8 分)
【知识生成】
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图 1，在边长为 的正
方形中剪掉一个边长为 的小正方形( > )，把余下的部分剪开并拼成一个长方形(如图 2)，图 1 中阴影部
分的面积可表示为： 2 2，图 2 中阴影部分的面积可表示为：( + )( )，因为两个图中的阴影部分
的面积是相同的，所以可得到等式： 2 2 = ( + )( )．
【结论探究】
图 3 是一个长为 2 ，宽为 2 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图 4 的形状拼
成一个大正方形．
(1)如图 4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于( + )2，( )2， 的等式是______．
(2)若 + = 7， = 5，求( )2的值．
【类比迁移】
(3)如图 5，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向上下两侧作正方形 ，正方形 ，两正方形的
面积分别记为 1和 2，若 = 9，两正方形的面积和 1 + 2 = 47，求图中阴影部分的面积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.1.4 × 10 8
10. 8 7
11. 3 2
12.3
13.3
14.18
15.14
16.2
17.8
18.2 2 2025
19.解：(1)( 1)2025 + ( 3.14)0 2 3
1
= 1+ 1 8
= 18；
(2) 2 4 ( 2 2)3 3 8 ÷ 2
= 6 ( 8 6) 3 6
= 6 + 8 6 3 6
= 6 6；
(3) 12
2(2 1) = 3 1 22 ；
(4)( + 2 )( 2 ) ( + 4 )2
= 2 4 2 2 8 16 2
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= 8 20 2．
20.解：(1)如图，△ 1 1 1即为所求作；
(2)如图，△ 2 2 2即为所求作；
(3) 1△ 2 2 2 = △ 1 1 1 = 2 × 4 × 2 = 4．
21.解：(1) ∵△ 与△ 关于直线 对称，
∴ 垂直平分 ；
(2) ∵△ 与△ 关于直线 对称，
∴△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°；
(3) ∵△ 与△ 关于直线 对称，
∴△ ≌△ ，
∵ = 8 ， = 10 ， = 6 ，
∴ = = 10 ，
∴△ 的周长= + + = 6 + 8 + 10 = 24 ．
22.解：(1) + = 5① ，
2 = 4②
① +②得：3 = 9，
∴ = 3，
将 = 3 代入①得：3 + = 5，
∴ = 2，
∴ = 3原方程组的解为 = 2；
(2)根据题意得：第二个方程为 + 2 = 32，
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+ 4 = 23①
两个方程联立成方程组 ，
+ 2 = 32②
① ②得：2 = 9，
∴ = 92，
将 = 9 92代入①得： + 4 × ( 2 ) = 23，
∴ = 41，
= 41
∴这个方程组的解为 = 9．2
故答案为： + 2 = 32．
23.解：任务一：根据题意可得，用的方法是代入消元法．
故答案为：代入；
任务二：他从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号．
故答案为：二；
任务三：正确的解答过程：由①得 = 2 + 1 ③，
将③代入②，得 2(2 + 1) + 2 = 5，
= 1解得： 2，
1 1
把 = 2代入③，得= 2 = 2 × 2 + 1 = 2，
= 2
∴原方程组的解为： = 1．2
24.解：(1) ∵ 2 = 25，
∴ = 5，
故答案为：5；
(2) ∵ 8 = 27，
∴ (23) = 27，
∴ 23 = 27，
∴ 3 = 7，
解得： = 73；
(3) ∵ 3 +2 3 +1 = 54，
∴ 3 +1 3 3 +1 1 = 54，
∴ 3 +1 (3 1) = 54，
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∴ 3 +1 = 27，
∴ 3 +1 = 33，
∴ + 1 = 3，
解得： = 2．
25. + 2 = 1①解： ，
2 + = 2 + 1②
② ①，得 = + 2，
∵ = 5，
∴ + 2 = 5，
∴ = 3．
26.解：(1)阴影部分的面积是：
( + )2 4
= 2 + 2 + 2 4
= 2 2 + 2
= ( )2；
阴影部分的面积是：
2 ( ) ×
= 2 + 2
= 2 2 + 2
= ( )2；
即( + )2 4 = ( )2，
故答案为：( + )2 4 = ( )2．
(2)若 + = 7， = 5，
( )2
= ( + )2 4
= 72 4 × 5
= 29；
(3)如图：延长 、 交于点 ，
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设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为(9 )，得：
2 + (9 )2 = 47，
2 + 81 18 + 2 = 47，
2 2 18 + 34 = 0，
即 2 9 + 17 = 0，
9 2 = 17，
阴影 = 梯 △ 正 ，
即( + 9) × 9 ÷ 2 9 × (9 ) ÷ 2 2
9 81 81 9
= 2 + 2
2
2 + 2
= 9 2
= 17．
答：图中阴影部分的面积是 17．
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