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2024-2025 学年广东省佛山市南海区大沥镇八年级（下）期中
数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知一个等腰三角形的顶角等于 140°，则它的底角等于( )
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
2.在平面直角坐标系中，点 (3,2)到原点的距离是( )
A. 1 B. 13 C. 5 D. 2
3.若 > > 0，则下列不等式正确的是( )
A. 2 < 2 B. 8 > 8 C. > D. 1 >
1

4.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 = ，工人师傅在焊接立柱时，只用找到 的中点 ，这就
可以说明竖梁 垂直于横梁 了，工人师傅这种操作方法的依据是( )
A.等边对等角 B.等角对等边
C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一”
5.如图，△ 中，∠ = ∠ ， 为 边上的高，下列结论中不正确的是( )
A. =
B. =
C. =
D. ∠ = ∠
6.不等式 + 1 < 3 的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，在△ 中， 是 的垂直平分线，且分别交 ， 于点 和 ，连接 .若∠ = 40°， = ，
则∠ 为( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
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8.在 △ 中，∠ = 90°，∠ 的角平分线 交 于点 ， = 7， = 4，则点 到 的距离是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
9.如图，在 △ 中，∠ = 90°，若 = 17，则正方形 和正方形 的面积之和为( )
A. 225
B. 289
C. 324
D. 170
10.如图， △ 中，∠ = 90°，△ 的角平分线 、 相交于点 ，过 作 ⊥ 交 的延长线
于点 ，交 于点 ，则下列结论：①∠ = 135°；② = ；③ = ；④连接 ， 平分∠ ，
其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11.一个等腰三角形的两边长分别为 4 、9 ，则这个三角形的周长为______．
12.使得不等式 11 4 < 6 + 1 成立的解集是______．
13.如图，在△ 中，点 在 的垂直平分线上，且 = ， 平分∠ .
若 = 3， = 1，则 = ______．
14.某校组织开展了“读书立志，强国有我”的知识竞赛，共 20 道竞赛题，选对得 6
分，不选或错选扣 2 分，得分不低于 80 分获奖，那么同学们要获奖至少应选对______
道题．
15.如图，在 △ 中，∠ = 90°，∠ = 30°， = 4，点 是边 上一动点，
连接 ，将 绕点 顺时针旋转 60°得到 ，连接 ，则 长的最小值为______．
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三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 6 分)
解不等式 (3 1) ≤ + 2，并将它的解集表示在数轴上．
17.(本小题 6 分)
如图， 是等腰三角形 的底边 上的高， // ，交 于点 .求证△ 是等腰三角形．
18.(本小题 8 分)
学校准备用 2000 元购买名著和词典，其中名著每套 70 元，词典每本 40 元，现已购买名著 20 套，最多还
能买多少本词典？
19.(本小题 8 分)
如图，在△ 中， 垂直平分边 ，若△ 的周长为 28 ， = 18 ，则 的长为多少．
20.(本小题 10 分)
如图，△ 中，∠ = 90°，∠ = 30°．
(1)用尺规作图作 边上的垂直平分线 ，交 于点 ，交 于点 ．
(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
(2)连接 ，求证： 平分∠ ．
21.(本小题 10 分)
为了庆祝建党 102 周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛.学校计划为比赛购买 、 两种奖品.已
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知购买 1 个 种奖品和 4 个 种奖品共需 120 元；购买 5 个 种奖品和 6 个 种奖品共需 250 元．
(1)求 ， 两种奖品的单价；
(2) 1学校准备购买 ， 两种奖品共 60 个，且 种奖品的数量不少于 种奖品数量的3，购买预算不超过 1285
元，请问学校有哪几种购买方案．
22.(本小题 13 分)
3 + = 3 + 9
已知关于 ， 的方程组 = 5 + 7 的解均为非负数，
(1)用 的代数式表示方程组的解；
(2)求 的取值范围；
(3)化简：|2 + 4| | 1|．
23.(本小题 14 分)
在等腰直角△ 中，∠ = 90°， = 2，将直角边 绕点 顺时针旋转得到 ，旋转角为 (0° < <
180°)，连接 ， ．
(1)如图 1，当 = 45°时，求 的长；
(2)如图 2，若∠ = 135°，且 为 中点，连接 ，猜想 和 的数量关系，并说明理由；
(3)在旋转过程中，当 = 时，求旋转角 的度数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.22
12. < 1
13.5
14.15
15.2
16.解：∵ (3 1) ≤ + 2，
∴ 3 + 1 ≤ + 2，
3 ≤ 2 1，
3 ≤ 1，
则 ≥ 13，
解集表示在数轴上如下：
17.解：∵△ 是等腰三角形， = ，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，
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∴ ∠ = ∠
∴ = ，
∴△ 是等腰三角形．
18.解：设还能买 本词典，
根据题意得：70 × 20 + 40 ≤ 2000，
解得： ≤ 15，
∴ 的最大值为 15．
答：最多还能买 15 本词典．
19.解：∵△ 的周长为 28 ，
∴ + + = 28 ，
∵ 垂直平分边 ，
∴ = ，
∴ + + = + = 28 ，
∵ = 18 ，
∴ = 10 ．
20.解：(1)如图所示， 就是要求作的 边上的中垂线；
(2)证明：∵ 是 边上的中垂线，∠ = 30°，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = 30°，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 90° ∠ = 90° 30° = 60°，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 60° 30° = 30°，
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∴ ∠ = ∠ ，
∴ 平分∠ ．
21.解：(1)设 种奖品的单价为 元， 种奖品的单价为 元，
+ 4 = 120
由题意得： 5 + 6 = 250 ,
= 20
解得： = 25．
答： 种奖品的单价为 20 元， 种奖品的单价为 25 元；
(2)设购买 种奖品 个，则购买 种奖品(60 )个，
60 1
由题意得： 3 ,
20 + 25(60 ) 1285
解得：43 45，
∵ 为整数，
∴ 可取 43 或 44 或 45，
∴ 60 = 17 或 16 或 15，
∴学校有三种购买方案：
方案一：购买 种奖品 43 个，购买 种奖品 17 个；
方案二：购买 种奖品 44 个，购买 种奖品 16 个；
方案三：购买 种奖品 45 个，购买 种奖品 15 个．
22.解：(1) 3 + = 3 + 9①，
= 5 + 7②
① +②得：4 = 8 + 16，
解得 = 2 + 4，
把 = 2 + 4 代入②得：2 + 4 = 5 + 7，
解得 = 3 3，
∴ = 2 + 4方程组的解为 = 3 3；
3 + = 3 + 9
(2) ∵关于 ， 的方程组 = 5 + 7 的解均为非负数，
∴ 2 + 4 ≥ 0 3 3 ≥ 0，
∴ 2 ≤ ≤ 1；
(3) ∵ 2 ≤ ≤ 1，
∴ 1 < 0，2 + 4 ≥ 0，
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∴ |2 + 4| | 1|
= 2 + 4 + 1
= 3 + 3．
23.解：(1) = 45°时，点 落在 上，
在等腰直角△ 中， = 2，
∴ = 2 + 2 = 2 ，
∴ = = = 2 2．
(2)如图，延长 到点 ，使得 = ，连接 ，
∵ = ，∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，∠ = ∠ ，
∵ = ， = ，
∴ = ，
∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 180° ∠ ，
在△ 中， = ，∠ = ，
∴ ∠ = ∠ = 12 (180° ) = 90°
1
2 ，
∴ ∠ = 360° ∠ ∠ = 360° 135° (90° 12 ) = 135° +
1
2 ，
∴ ∠ = 180° ∠ = 45° 12 ，
∴ ∠ = 90° ∠ = 90° (90° 12 ) =
1
2 ，
∴ ∠ = 180° ∠ = 180° 135° 12 = 45°
1
2 ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∵ = ，
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∴ = 2 ．
(3)分两种情况：①当点 在△ 内部，如图，过点 作 ⊥ ，交 于点 ，过点 作 ⊥ ，垂足为
，
∵ = ，
∴ = = 12 ，
在 △ 中，∠ = 90° ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = (90° 12 ) (90° ) =
1
2 ，
由(2)知∠ = 12 ，
∴ ∠ = ∠ ，
又∠ = ∠ = 90°，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = = 12 ，
又∵ = ，
在 △ 中， = 2 ，
∴ ∠ = = 30°；
②当点 在△ 外部，如图，延长 ，交 于点 ，过点 作 ⊥ ，垂足为点 ，
∵ = ，
∴ ∠ = 90°， = = 12 ，
∵ = ，∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ ，
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∴△ ≌△ ( )，
∴ = = 12 ，
又∵ = = ，
∴ = 2 ∠ = 30°，
∵ ∠ = ∠ = 90°，
∴ // ∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = 180° 30° = 150°，
即 = 150°，
综上， = 30°或 150°．
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