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2025 年黑龙江省绥化市中考数学一模试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.在下列函数中， 是 的反比例函数的是( )
A. = 2 B. = 2 C. =
2
D. =
2
1
2.下列四组图形中，不是相似图形的是( )
A. B. C. D.
3.作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，从一个方面反
映了中华民族造型审美意识.如图是一把做工精湛的紫砂壶，其主视图的大致形状是( )
A. B. C. D.
4.如图，下列条件仍无法保证△ 与△ 相似的是( )
A. ∠ = ∠
B. ∠ = ∠
C. =
D. =
5.下列相似图形不是位似图形的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在△ 中，∠ = 90°， = 5， = 4，下列三角函数表示正确的是( )
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A. = 45
B. = 43
C. = 45
D. = 34
7 10.对于反比例函数 = ，下列结论不正确的是( )
A.图象必经过点( 2,5) B. 随 的增大而增大
C.图象在第二、四象限内 D.图象关于坐标原点中心对称
8 4 .已知 = 3，则 的值是( )
A. 43 B.
1
3 C.
3 1
4 D. 4
9.若点( 2, 1)( 1, 2)、(1, 3)

都在反比例函数 = ( < 0)的图象上，则有( )
A. 1 > 2 > 3 B. 3 > 1 > 2 C. 2 > 1 > 3 D. 1 > 3 > 2
10.物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图 1 所示.经测试，发现电流 ( )随着电
阻 ( )的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图 2 所示的函数图象.若该电路的最小电阻为 1 ，则
该电路能通过的( )
A.最大电流是 36 B.最大电流是 27 C.最小电流是 36 D.最小电流是 27
11.如图， 是△ 的边 上一点，已知 = 2， = 1，∠ = ∠ ，若△
的面积为 ，则△ 的面积为( )
A. B. 12 C.
1 2
3 D. 3
12.如图， = ，∠ = 90°，点 在边 上(与 、 不重合)，四边形 为正方形，过点 作 ⊥ ，
交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ，给出以下结论：① = ；② △ ： 四边形 = 1：2；
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③∠ = ∠ ；④ 2 = ，其中正确的是( )
A.①②
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。
13.2 45°的值等于______．
14.在△ 中，∠ = 90° = 3 = 2，如果 ， 3，那么 =______．
15 1.如图，在△ 中， ， 分别是边 ， 的中点．若△ 的面积为2，则四
边形 的面积为______．
16.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活
动.如图，在坡度 = 1： 3的山坡 上植树，要求相邻两树间的水平距离 为 2 3
米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离 为______米.
17.由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所
示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是______个.
18.某同学在做“小孔成像”实验时，将一支长为 3 的蜡烛(包括火焰高
度)立在小孔前，蜡烛所立位置离小孔的水平距离为 6 ，此时蜡烛火焰通过小孔刚
好在小孔另一侧距小孔 2 处的投影屏上形成了一个“像”，若以小孔为坐标原点，
构建如图所示的平面直角坐标系 ，设蜡烛火焰顶端 点处坐标为( 6,3)，则
点对应的“像”的点的坐标为______．
19.如图，以点 为位似中心，把△ 缩小后得到△ ，使△ ∽△ ，
1
且相似比为3，已知点 (3,6)，则点 的坐标为 ．
20.如图，在△ 中，∠ = 90°，∠ = 30°， = 4， 为 的中点.若点 在边 = 上，且 ，
则 的长为______．
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21.如图，正方形 的顶点 在 轴上，点 、点 在反比例函数 = ( >
0, > 0)的图象上.若直线 1的函数表达式为 = 2 3，则 的值为______．
22 1.如图，在平面直角坐标系中，作直线 = ( = 1,2,3, …)与 轴相交于点 ，与抛物线 = 24 相交于点 ，

连接 △ +1， +1相交于点 ，得△ 和△ +1 +1 ，若将其面积之比记为 = ，则 2024 =△ +1+ +1
______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题 8 分)
2 2 2 +1
先化简再求值：(1 +1 ) ÷ 2 ，其中 = 60° 2 30°．
24.(本小题 8 分)
如图是一个几何体的三视图．
(1)该几何体名称是______；
(2)根据图中给的信息，求该几何体的表面积和体积．
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25.(本小题 8 分)
如图，四边形 为平行四边形， 为边 上一点，连接 、 ，它们相交于点 ，且∠ = ∠ ．
(1)求证： 2 = ；
(2)若 = 2， = 1， = 4，求 的长．
26.(本小题 8 分)

如图，直线 与反比例函数 = 的图象交于 (1,4)， (4, )两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接 、 ，求△ 的面积；
(3)是否存在 轴上的一个动点 ，使 + 最小，若存在求出 点坐标，若不存在，请说明理由．
27.(本小题 8 分)
在△ 中， = ，∠ = ， 是平面内不与点 ， 重合的任意一点，连接 ，将线段 绕点
顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
(1)当 = 60°时，如图①，线段 ， 之间的数量关系是______；
(2)当 = 90°时，如图②，当 = 120°时，如图③，线段 ， 之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，
并对图②的情形进行证明．
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28.(本小题 8 分)
根据以下素材，探索完成任务．
图 1 是宁宁家安装的户外遮阳篷.图
素材 1 2 是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面 的墙面上，
篷面安装点 离地面 4 米，篷面与墙面的夹角∠ = 60°，篷面宽
= 3 米.除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架
稳定篷面.支架 的安装方式如下：点 固定在墙面上，位于点 的
正下方，即点 ， ， 共线；点 固定在篷面上离 点 1 米处(点 ，
， 共线)，即 = 1 米，支架 与墙面的夹角∠ = 45°．
宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角 (太阳光线与地面的
夹角)的正切值参照表：
素材 2
时刻 12 点 13 点 14 点 15 点
角 的正切值 4 3 2.5 2
宁宁养了一株龙舌兰(图 3)，该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬
到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图 2，
素材 3
这株龙舌兰摆放的位置记为点 ．
请求出支架 的固定点 与 点
任务 1 确定安装点
的距离( )的长．
请求出这天 13 点时影子 的长
任务 2 确定影子长
度．
这天 14 点，宁宁将龙舌兰摆放到
点 处，为了保证龙舌兰能被太阳
任务 3 判断能否照射到
光照射到，请求出此时摆放点 离
墙角 距离( )的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 2
14.92
15.32
16.4
17.4
18.(2, 1)
19.(1,2)或( 1, 2)
20.2 或 4
21.272
22.( 2024 42025 )
23. +1 2 ( 1)解：原式= ( +1 +1 ) ( 1)2
= 1 +1 1
= +1，
当 = 60° 2 30° = 3 2 × 12 = 3 1 =
3 1 3 3
时，原式 3 1+1 = 3 ．
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24.解：(1)由条件可知这是长方体，
故答案为：长方体；
(2)表面积 2 × (10 × 5 + 5 × 6 + 10 × 6) = 280( 2).
体积为：10 × 5 × 6 = 300( 3).
25.(1)证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ // ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ ： = ： ，
∴ 2 = ；
(2) ∵ 2 = ，
2
∴ = 21 = 4，
∴ = = 4 1 = 3，
∵ // ，
∴ 1 4 = ，即 4 = 3，解得 = 3，
∵△ ∽△ ，
4
∴ = ，即 3 1 ， = 2
∴ = 83．
26.解：(1)把 (1,4) 代入 = 得 = 1 × 4 = 4，
∴反比例函数解析式为 = 4 ；
(2)分别过点 、 作 ⊥ 轴，交 轴于点 、交 于点 ，过点 作 ⊥ 轴，交 轴于点 ，如图 1，
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由(1) 4可知，反比例函数解析式为 = ，
把 (4, ) 4代入 = ，得 4 = 4，
解得 = 1，
∴ (4,1)．
∵ △ = △ + △ = 2 = 2， △ = △ + 梯形 = 2 = 2，
∴ △ = 梯形 ，
∵ △ = △ + △ ，
∴ △ = 梯形 + △ = 梯形 ，
∴ △ =
1
2 (|
1
| + | |)( ) = 2 × (4 + 1) × (4 1) =
15
2；
(3)存在 轴上的一个动点 ，使 + 最小；理由如下：
作点 关于 轴的对称点 ′，如图，则 ′(1, 4)，连接 ′ 交 轴于 ，则 = ′，
∴ + = ′ + = ′ ，
∴此时 + 的值最小，
设直线 ′ 的解析式为 = + ，
把 ′(1, 4)， (4,1)代入得：
+ = 4
4 + = 1，
= 5
解得 3 17， = 3
∴ 5 17直线 ′ 的解析式为 = 3 3，
= 0 5 17当 时，3 3 = 0，
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17
解得 = 5，
∴ 17点坐标为( 5 , 0)．
27.解：(1)当 = 60°时，
∵ = ，∠ = . = ，∠ = = 60°，
∴△ 和△ 都是等边三角形，
∴ = ， = ，∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = 60° ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
故答案为： = ；
(2)当 = 90°时， = 2 ；当 = 120°时， = 3 ；理由如下：
当 = 90°时，如图②，连接 ，
设 = ， = ，
∵ = ， = ，∠ = ∠ = = 90°，
∴ ∠ = ∠ = 180° 90°2 = 45°，∠ = ∠ =
180° 90°
2 = 45°，
在直角三角形 中，由勾股定理得： = 2 + 2 = 2 ， = 2 + 2 = 2 ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ ，
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = 2 ， = 2 = ，
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∴ =

，
∴△ ∽△ ，
∴ =

=
2
= 2，
∴ = 2 ；
当 = 120°时，如图③，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，设 = ，
当 = 120°时，
∵ = ，∠ = . = ，∠ = = 120°，
∴ ∠ = ∠ = 180° 120°2 = 30°，∠ = ∠ =
180° 120°
2 = 30°，
= = 12 ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = 2 = 2 ， = 30° = 3 ， = 2 3 ，
过点 作 ⊥ 于点 ，设 = ，同理可证 = 2 = 2 ， = 30° = 3 ， = 2 3 ，
∴ = 2 = = 2 3 2 ， 2 3 = ，
∴ = ，
∴△ ∽△ ，
∴ =
2 3
= 2 = 3，
∴ = 3 ，
综上所述，当 = 90°时， = 2 ；当 = 120°时， = 3 ．
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28.任务 1.如图 1.过点 作 ⊥ 于点 ．
∵ ⊥ ，∠ = 60°，
∴在 △ 中，∠ = 60°， = 1 米，
∴ = cos∠ = 1 × 60° = 12 (米)， = sin∠ = 1 × 60° =
3 (米)，2
∴在 △ 中，∠ = 45°， = 3米，2
∴ = = 3米，2
∴ = + = 1 + 3 = 1+ 3 (米)．2 2 2
答：支架 的固定点 与 点的距离( )的长为1+ 3米．
2
任务 2.如图 2，过点 作 ⊥ 于点 ．
在 △ 中，∠ = 60°， = 3 米，
∵ cos∠ = ，sin∠ =

，
∴ = cos∠ = 3 × 60° = 3 × 1 3 3 3 32 = 2 (米)， = 60° = 3 × = (米)，2 2
由题意，得 = 4 米，
∴ = = 4 3 = 52 2 (米)．
过点 作 ⊥ 于点 ．
由题意，得∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∴四边形 是矩形，
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∴ = = 5米， = = 3 32 米，2
∵宁宁所在地区这天下午 13 点的太阳高度角 的正切值是 3，
∴ △ = 在 中， ，
5
∴ = 2 5 米)，tan = 3 = 6 (
∴ = = 3 3 5 = 9 3 5 (米)．2 6 6
答：这天 13 点时影子 的长度为9 3 5米．
6
任务 3. ∵宁宁所在地区这天下午 14 点的太阳高度角 的正切值为 2.5，
∴在 △ 中， = ，
5
∴ = 2 米)，tan = 2.5 = 1(
∴ = = 3 3 1 = 3 3 2 (米)，2 2
∴能使龙舌兰能被太阳照射到，应放在影子之外，
即应使 > 3 3 2米，2
∴此时摆放点 离墙角 的距离( )的取值范围是大于3 3 2米．
2
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