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(共48张PPT)
2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学（一）
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.若，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由题得，所以 ，它在复平面内对应
的点为 ，位于第二象限.故选B.
√
2.设集合，，若 ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知得，若 ，则 .故选C.
√
3.若函数在上单调递增，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数在 上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数
在上单调递增，故 .故选D.
√
4.在中，点在边上，，则 的最大值为 ( )
A. B. C. D.1
[解析] 由点在边上，得，又,，所以 ，当且仅当
时等号成立，所以 .故选A.
√
5.某单位举办了一次学习强国知识竞赛（满分:100分），参加竞赛的职工共有30人，其
中男、女职工人数相等，他们竞赛得分的总平均值是90，男职工得分的平均值和方差分
别是88和2，女职工得分的平均值和方差分别为92和 ，则该单位所有参赛职工得分的
方差为( )
A.5.4 B.5.6 C.5.7 D.5.9
[解析] 设所有职工得分的平均值和方差分别是和 ，其中男职工得分的平均值和方差
分别是和，女职工得分的平均值和方差分别是和 ，由方
差公式可得 .故选C.
√
6.如图，将函数 的图象向右平移得到
的图象，其中
点是图象上的最高点,，分别是, 的
图象与 轴的相邻交点（如图所示），若
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 将的图象向右平移个单位得 的图象，结合
图象可知，因为，所以 ，故
，解得，则，故 .故选A.
√
7.已知正四棱锥的各棱长均相等，球 是该四棱锥的内切球，若该球的表面积
为 ，则该正四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，底面的中心为，连接，则 ，设
球的半径为，由球的表面积为 ,得 ，由等体积法得
，即 ，解得
，故该四棱锥的高为 .故选B.
√
8.已知函数有且仅有3个零点，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题得直线与函数 的图象有且
仅有3个交点，因为的定义域为 ，且
，所以 为奇函
数.因为，所以 在区间
上单调递减，且曲线在点 处的切线方程
为.因为在上单调递减，在 上单调递
增，所以当时，；当时，；当 时，
，作出 的图象，如图:
由图知,当时，直线与函数的图象有且仅有3个交点，故
的取值范围是 .故选B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.已知 的展开式中各项系数的和为64，则( )
A.
B.展开式中常数项为540
C.展开式中含 项的系数为135
D.展开式中各项系数的绝对值的和为4 096
√
√
√
[解析] 对于A,令，得，则，故A正确；对于B, 的展开式的
通项公式为,当时， ，所以
的展开式中常数项为，故B错误；对于C,当 时，
，所以的展开式中含项的系数为 ，故C正确；对于D，
的展开式系数的绝对值的和可看作是的展开式中系数的和，令 ，
的展开式中系数的和为，故D正确.故选 .
10.椭圆具有对称美，受到设计师的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和
内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）.在平面直角坐标系 中，将标准方程表示的椭圆绕
着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”.已知“斜椭圆”的方程为 ，其
左、右焦点分别为,，设在 上，则( )
A.的长轴长为
B. 的焦距为4
C.若 ，则 的面积为2
D.
√
√
√
[解析] 设的长轴长为,短轴长为,焦距为.由方程可知，关于直线与
对称，且关于原点对称，故的中心为，顶点为与直线， 的交点.由
，得，所以的其中2个顶点为， ，由
，得，所以的另外2个顶点为和 ，易求得
，，所以,,，故长轴长为 ，A错误；
焦距，B正确；将该椭圆还原成焦点在轴上的标准椭圆，其方程为 ，
设该椭圆焦点分别为,，点在该椭圆上，则 ,又由椭圆
定义可知， ，即
，解得 ，又
，所以的面积为，故C正确； ，
由椭圆的性质可知，当点为长轴的端点时，取得最大值,当点 为短轴的端
点时，取得最小值，故D正确.故选 .
11.已知函数对任意实数,都有 ，且
，则( )
A. B.
C.是一个周期为4的周期函数 D.
√
√
√
[解析] 由 ，得
，令 ，得
，则，A正确；令 ，得
，因此 ，则
，于是得，即 ，
，即函数 是周期为8的周期函数，C错误；
,B正确；又, ，
,， ，即
，因此
，D正确.故选 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知在等比数列中，， ，则数
列 的公比为___.
2
[解析] 设公比为 ,则
，
解得 .
13.汤圆是汉族传统小吃的代表之一，同时也是中国的传统节日元宵节最具有特色的食
物，表达了人民对幸福生活的一种向往和期盼.在广东省流行四式汤圆，这四式汤圆指
的是四种不同的馅:绿豆、红豆、糖冬瓜、芋头,小王在今年元宵节时，盛了一碗（10个）
汤圆，其中绿豆馅、红豆馅的汤圆各4个，糖冬瓜馅、芋头馅的各1个，则小王在碗里随
机取的4个汤圆中，吃到1个芋头馅的前提下，4个汤圆恰有4种馅的概率为___.
[解析] 记事件为“小王随机取的4个汤圆中有1个芋头馅的汤圆”，事件 为“小王随机取
的4个汤圆中恰有4种馅”，所以, ，所以
.
14.已知抛物线的焦点为，直线经过点交于,两点（点 在第一象限），
且,两点在的准线上的投影分别为,，准线与轴的交点为，分别记 与
的面积为,，若，则直线 的斜率为____.
[解析] 由题得 ，所以
，所以.如图，过点作 于
点，所以，设,则 ,则
，所以
，所以 ，所以直线 的斜率
.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
激光一体机是一种功能强大的办公设备，与传统的激光打印机相比，激光一体机还
集成了复印、扫描等多种功能，因此比传统的激光打印机更实用，从而近几年在全国各
地逐渐热销起来.下表为市统计的近5年该市激光一体机的销量，其中为年份代号，
（单位:万台）代表年销量.
年份 2021年 2021年 2022年 2023年 2024年
年份代号 1 2 3 4 5
年销量 万台 0.5 0.9 1 1.2 1.4
（1）经过分析，与线性相关，试求关于 的经验回归方程；
解: ,
,
（1分）
则 ,（4分）
,（5分）
所以关于的经验回归方程为 .（6分）
（2）利用（1）中所求方程，预测2025年该市激光一体机的销量；
解:2025年对应的年份代码 为6，
当时， （万台），
故可预测2025年该市激光一体机的销量约为1.63万台.（9分）
（3）某中学准备选购某型号的激光一体机供各办公室使用，下表是以往这种型号的激
光一体机的使用年限（整年）统计表:
使用年限 1年 2年 3年 4年 5年
该型号激光一体机（单位:台） 5 15 20 10 50
激光一体机使用年限越长，办公费用越低.以使用年限的频率估计概率，求该型号激光
一体机使用年限的分布列及数学期望 .
参考公式:， .
参考数据:, .
解:以频率估计概率，该型号激光一体机的使用年限 的分布列为:
1 2 3 4 5
0.05 0.15 0.2 0.1 0.5
（11分）
.（13分）
16.（本小题满分15分）
记数列的前项和为,已知, .
（1）求数列 的通项公式；
解:因为 ，
所以 ，
当时， ,
两式相减得 ，
整理得 ,
即 ，（4分）
又 ，
所以数列是以9为首项， 为公差的等差数列.（5分）
所以 .（6分）
（2）若，求数列的前项和 ;
解:由（1）得 ，（7分）
由，解得 .
所以当时， .（9分）
当时， .（10分）
所以 （11分）
（3）记，求数列的前项和 .
解:
,（13分）
所以
.（15分）
17.（本小题满分15分）
已知函数，且在 处取得极值.
（1）求的值及 的单调区间；
解:由题得 ，
由，解得 ，（2分）
此时， ，
令，得 ，
令，得 ，
故0是函数的极值点，
故 符合要求，（4分）
函数的单调递增区间是，单调递减区间是 .（5分）
（2）若存在,使得，求实数 的取值范围.
解:由 ,
可得 ，
则 ，（7分）
令 ,
则 ，
令 ，
则 ，（10分）
故当时，, 单调递增；
当时，, 单调递减，
而,，且时， ，
故当时， ，
当时， ，（12分）
故在上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
因此，解得 ，
所以的取值范围为 .（15分）
18.（本小题满分17分）
已知双曲线的左、右焦点分别为,,,且点
到的渐近线的距离为,,为上在 轴上方的两点.
（1）求 的方程；
解:由题意知,得 .（1分）
因为点到直线的距离为 ,
所以 ,
又因为 ,
所以, ,（2分）
所以的方程为 .（3分）
（2）记的左顶点为,若直线与轴平行,证明:直线, 的斜率之积为定值；
解:由（1）知 ,
设,则， ,
所以 ,（5分）
因为 ,
所以 ,
所以直线,的斜率之积为定值 .（6分）
（3）若,求四边形 面积的取值范围.
解:根据对称性，设点在的左支上，点在 的右支上.
如图所示,延长交于点,延长交于点 ,
因为 ,
所以四边形为平行四边形,且面积为四边形 面积
的2倍,（7分）
易知直线 斜率不为0.
设,,直线, ,
由,消去 可得
,
恒成立,
所以, ，（9分）
所以,且
,（11分）
因为,所以 .（12分）
因为直线与间的距离为 ,（13分）
所以 ,（15分）
令, ,
所以 ,
因为在上单调递减,且 ,
所以在 上单调递增,
当,即时,四边形 的面积取得最小值,最小值为48,
所以四边形面积的取值范围为 .（17分）
19.（本小题满分17分）
如图，四边形是边长为2的正方形，点，分别在线段， 上运动，且
.将沿折起，使得点到达点的位置，此时平面 平面 .
（1）当为 的中点时，
（ⅰ）证明: ；
解:当为的中点时，为的中点，此时， ，
.
如图，取的中点，连接， ，
则， ，
又,, 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 .（4分）
（ⅱ）求点到平面 的距离.
解:设点到平面的距离为 ,
，
因为平面 平面,平面 平面, ，
所以 平面 ,
因为 平面 ,
所以 ，
则 ，
所以 ，
所以 ,
.（7分）
由 ，
得 ，
所以 ，
即点到平面的距离为 .（8分）
（2）证明:存在点，使得二面角的平面角为 .
[答案] 如图，以点为坐标原点，, 所
在直线分别为, 轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，
过点在平面内作，连接 ，
由已知可得， ，
， ，
故 ，
则 ，
即，且 ，
因为平面 平面，平面
平面， 平面 ，
所以 平面 ，
设， ，
则 ， ，
因为 ,
则 ，
，
易得 ，
则点，， ，
， ，
设平面的一个法向量为 ，则
，（12分）
令 ，可得 ，
易知平面的一个法向量为 ，
,
因为 ，
令,
，
可得
，
即 ，（14分）
所以
，
令 ，
令
，
易知函数在 上连续，
因为， ，
由零点存在性定理可知，存在，使得 ，
因此，存在点，使得二面角的的平面角为 .（17分）

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