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第一章 数与式
第04讲 二次根式
2大考点精讲+专训
2大中考命题点+12大题型探究
01
考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
二次根式的相关概念
二次根式的性质
二次根式的运算
★★
★★
了解二次根式、最简二次根式的概念
掌握二次根式的性质.
了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算
【考情分析】中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.
★★
02
知识导图·思维引航
03
考点突破·考法探究
二次根式的运算
考点三
二次根式的性质与化简
考点二
二次根式的相关概念
考点一
二次根式的相关概念
二次根式的相关概念
考点一
1.二次根式
定 义
一般地，我们把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．
易错易混
两个要素
（判断依据）
01
含有二次根号且根指数为2
02
被开方数为非负数
任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，
例：，-
二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足 ≥0
在具体问题中，如果已知a是二次根式，相当于给出了 ≥0.
二次根式的相关概念
考点一
2.二次根式有意义的条件
01
单个二次根式，如有意义的条件是 ≥0
02
二次根式作为分母时，如有意义的条件是 >0
03
二次根式与分式相加，如+有意义的条件是 ≥0且b＞0.
二次根式的相关概念
考点一
针对练习
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数 中，
自变量的取值范围是 ．
且
方法指导
2．（2023·四川绵阳·中考真题）
使代数式 有意义的整数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
B
使代数式有意义的整数有，，0，1共有4个．
方法指导
根据题意可得：
，
03
考点突破·考法探究
二次根式的运算
考点三
二次根式的性质与化简
考点二
二次根式的相关概念
考点一
二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简
考点二
1.二次根式的性质
式子（ ≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性；
01
02
03
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身
一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
二次根式的性质与化简
考点二
2.二次根式的化简
01
02
利用二次根式的基本性质进行化简
利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简
易错易混
01
02
在使用 = 时一定要注意：
在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意：
二次根式的性质与化简
考点二
针对练习
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2024·四川乐山·中考真题）
已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023·广东广州·中考真题）
已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
C
B
A
由判别式，
【解析】
整理得：，
∴
．
03
考点突破·考法探究
二次根式的运算
考点三
二次根式的性质与化简
考点二
二次根式的相关概念
考点一
二次根式的运算
二次根式的运算
考点三
1.二次根式的乘法
2.二次根式的除法
乘法法则
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
除法法则
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变
二次根式的运算
考点三
3.最简二次根式
满足下述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
1）被开方数不含分母
2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
01
①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）
02
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
定 义
二次根式的运算
考点三
4.二次根式的加减
同类二次根式
二次根式的加减
一化、二找、三合并
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式
补充
几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同
、、是同类二次根式
如：
∵ =2
=
化简后被开方数相同
一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】
二次根式的运算
考点三
5.二次根式的混合运算
01
内 容
二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
运算顺序
先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.
02
运算顺序易错易混
结果要化为最简二次根式或整式
如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件
二次根式的运算
考点三
6.分母有理化
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
分母有理化
分母有理化方法
通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.
二次根式的运算
考点三
针对练习
1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
2.（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　）
A．8和9之间 B．9和10之间
C．10和11之间 D．11和12之间
C
3．（2023·湖南·中考真题）
对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B．
C． D．
D
04
题型精研·考向洞悉
二次根式有意义的条件
题型01
二次根式的性质与化简
命题点一
与二次根式有关的开放性试题
题型02
利用二次根式的性质化简
题型03
二次根式与数轴
题型04
命题点一 二次根式的性质与化简
题型01 二次根式有意义的条件
方法与技巧
1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：
各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【例1】完成下列各题
（1）（2023·内蒙古通辽·中考真题）
二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．

C．
D．
C
（2）（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）
若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
B
命题点一 二次根式的性质与化简
题型02 与二次根式有关的开放性试题
方法指导
解题的关键：
利用二次根式的性质化简
结合解一元一次不等式确定x的取值
【例2】 （2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是 ．
4或7或8
解：∵
∴
∵为正整数
∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵为整数
∴为4或7或8
命题点一 二次根式的性质与化简
题型02 与二次根式有关的开放性试题
1.（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是 ．
解得，
为正整数，
可取1，2，
1
【解析】
当时，没有意义
2.湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
8
【解析】
∵是整数，
∴要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，
即，
即 ，
答案不唯一
m=2
m=18 …
也可以填2
命题点一 二次根式的性质与化简
题型03 利用二次根式的性质化简
方法与技巧
1）利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
2）化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
【例1】 （2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（ ）．
①；②；
③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
解：①，，故此项正确；
②， ，故此项正确；
③，此项正确；
④，故此项正确；
正确的个数是个．
A
【例2】 （2022·四川宜宾·中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，
即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ．
命题点一 二次根式的性质与化简
题型03 利用二次根式的性质化简
方法指导
解题的关键：
利用二次根式的性质化简
正确的计算
解：∵周长为18的三角形的三边满足，
设
∴
解得
命题点一 二次根式的性质与化简
题型04 二次根式与数轴
【例1】 （2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则(a-b)2-b-a-2的化简结果是（ ）
A．2 B．2a-2 C．2-2b D．-2
方法指导
解题的关键：
二次根式的性质和绝对值的化简法则
实数与数轴的关系
解∶由数轴知∶，，
∴，
∴
A
命题点一 二次根式的性质与化简
题型04 二次根式与数轴
1．（2024武威四中二模）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，
则化简后为（ ）
A．7 B．-7 C．15-2a D．2a-15
D
由数轴可知，
∴，
2.（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，
化简 ．
数轴可得出
∴
2
04
题型精研·考向洞悉
应用乘法公式求二次根式的值
题型01
二次根式的运算
命题点二
最简二次公式的判断
题型02
分母有理化
题型03
二次根式的混合运算
题型04
二次根式估值
题型05
与二次根式有关新定义问题
题型06
与二次根式有关的规律探究
题型07
二次根式的应用
题型08
命题点二 二次根式的运算
题型01 应用乘法公式求二次根式的值
方法与技巧
常用公式
平方差公式
完全平方公式
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
(1)当，时，______，______；
(2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当，时，令，，，…，，且，求T的值．
【例1】 （2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
=-
=a-b
命题点二 二次根式的运算
题型01 应用乘法公式求二次根式的值
【例1】 （2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
方法指导
解题的关键：
利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律
结合题意会利用前面小题中的结论
根据以上材料解答下列问题：
(1)当，时， ， ；
（1）解：
当，时，
原式；
当，时，
原式；
命题点二 二次根式的运算
题型01 应用乘法公式求二次根式的值
(2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
【例1】 （2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
猜想结论：
证明：
；
命题点二 二次根式的运算
题型01 应用乘法公式求二次根式的值
【例1】 （2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
(3)当，时，
令，
，
，…，
，且，求T的值．
（3）解：
．
注意：
边长为的正方形面积记作
命题点二 二次根式的运算
题型01 应用乘法公式求二次根式的值
1．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：
，其中，．
解：
2.（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，
其中，．
解：
原式
当，时
原式
原式
当 时,
原式
．
命题点二 二次根式的运算
题型02 最简二次根式的判断
【例1】 （2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B．
C． D．
D
A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
【解析】
方法指导
解题的关键：
最简二次根式的两个条件：
被开方数是整数或整式
被开方数不能再开方
命题点二 二次根式的运算
题型02 最简二次根式的判断
1．（2021·湖南益阳·中考真题）将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
D
C
A
原式=
＝2
命题点二 二次根式的运算
题型03 分母有理化
【例1】 （2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中．
解：
当时
原式
．
方法指导
解题的关键：
分式的化简求值
分母有理化
命题点二 二次根式的运算
题型03 分母有理化
1.（2023·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值：
，其中．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式
的值，其中．
解：原式
当时,
原式．
解：
，
当时
原式．
命题点二 二次根式的运算
题型04 二次根式的混合运算
方法与技巧
1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用；
2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质
注意事项：
1）结果要化为最简二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.
【例1】 （2024·四川凉山·中考真题）计算：．
解：
．
分母有理化
命题点二 二次根式的运算
题型04 二次根式的混合运算
1．（2023·甘肃武威·中考真题）计算：
．
解：
．
化为最简二次根式
2．（2023·四川内江·中考真题）计算：
解：
=4．
实数去绝对值
命题点二 二次根式的运算
题型05 二次根式估值
方法指导
解题的关键：
无理数及代数式化简求值
熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．
【例1】 （2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是 ．
解：∵ ，
∴，
∵ 的整数部分为a，
小数部分为b，
∴，
．
∴
=
，
2
命题点二 二次根式的运算
题型05 二次根式估值
【例2】 （2024·河北石家庄·三模）计算的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段．
方法指导
解题的关键：
实数与数轴的对应关系
二次根式的乘法、无理数的估算方法．
解：
，
∵
∴
即
∴
即
②
∴这个数落在了数轴上的②段
命题点二 二次根式的运算
题型05 二次根式估值
1.（2023·湖北荆州·中考真题）
已知，则与最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
3．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）关于，下列说法不正确的是（ ）
A．是无理数 B．能与合并
C．整数部分是4 D．一定能够在数轴上找到表示的点
B
C
C
∵，
∴,
∴与最接近的整数为，
，
，
，
，
即，
整数部分是5，
C说法错误,符合题意；
命题点二 二次根式的运算
题型06 与二次根式有关的新定义问题
【例1】 （2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，
例如：当，时，
，
则的值为(　　)
A． B． C． D．
解：由题意可得
，
B
方法指导
解题的关键：
明确题意，利用新定义解答．
熟记特殊角的三级函数值、二次根式的混合运算
（1）求；
（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
命题点二 二次根式的运算
题型06 与二次根式有关的新定义问题
1．（2020·青海·中考真题）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ．
2.（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．
【解析】
【解析】
（1）
=
=
=
（2）∵，
∴
解得：
命题点二 二次根式的运算
题型07 与二次根式有关的规律探究
方法指导
解题的关键：
找出的规律
ab=1, =n．
分式的加减法，二次根式的混合运算
【例1】 （2022·四川达州·中考真题）
人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，
，则 ．
解： ，，
，
，
，
…
命题点二 二次根式的运算
题型07 与二次根式有关的规律探究
1.（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式：
，
，
，…
请利用你所发现的规律，计算：
．
【解析】
，
命题点二 二次根式的运算
题型07 与二次根式有关的规律探究
2.（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，
则的位置记为 ．
【解析】
数字可以化成：
，，，；
，，，；
规律为：
被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，
又
∴的位置记为
先找出被开方数的规律
命题点二 二次根式的运算
题型08 二次根式的应用
【例1】 （2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）；
(2)结合图中思路，解释该方法的合理性．
方法指导
解题的关键：
理解新定义的含义
根据新定义的法则进行估算
（1）解：由新定义可得：
；
（2）解：设，其中．
则．
将两边平方，得．
∵ ，
∴ 的值会更接近于0，不妨近似为0．
∴ ．
∴ ，
即．
②a是4的倍数，不妨设（n是整数）
当 时，最小，
∴②正确；
1.（2024·山东菏泽·一模）已知为整数，将其除以4所得的商记为，余数记为，即（n是整数），我们称属于数组，记作，则下列说法正确的是 ．（直接填写序号）
①；
②若为4的倍数，则点到点的距离的最小值为；
③所有整数组成的数组；
④若，则，属于同一个数组．
命题点二 二次根式的运算
题型08 二次根式的应用
②
①根据数组定义，因此，所以①错误；
【解析】
1.（2024·山东菏泽·一模）已知为整数，将其除以4所得的商记为，余数记为，即（n是整数），我们称属于数组，记作，则下列说法正确的是 ．（直接填写序号）
①；
②若为4的倍数，则点到点的距离的最小值为；
③所有整数组成的数组；
④若，则，属于同一个数组．
命题点二 二次根式的运算
题型08 二次根式的应用
④
【解析】
③a除以4的余数可能是0，1，2，3；
所以③错误；
④不妨设（m为整数）
（n为整数）
由可知，
a和b属于同一数组，
所以④正确；
②
命题点二 二次根式的运算
题型08 二次根式的应用
2．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：
，，，…，，
一般地，对于正整数，，如果满足时，
称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．
则下面4个结论：
①是完美方根数对； ②是完美方根数对；
③若是完美方根数对，则；
④若是完美方根数对，则点在抛物线上．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个故选
【解析】
，
是完美方根数对，故①正确；
不是完美方根数对；故②不正确；
若是完美方根数对，则
即解得或
是正整数，则，故③正确；
若是完美方根数对，则
,
即
故④正确
C

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