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广东省汕头市2024-2025学年高三下学期第一次模拟数学试题
1．（2025·汕头模拟）已知，，，则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．不存在
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由基本不等式得：，当且仅当时取等号．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
2．（2025·汕头模拟）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，等价于，且，等价于，
又因为可以推出，不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性解不等式的方法，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
3．（2025·汕头模拟）要得到函数的图象，只要将函数的图象（　　）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位得出.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和正弦型函数的图象变换，从而找出正确的选项.
4．（2025·汕头模拟）在的展开式中，含的项的系数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：根据多项式的乘法，
在5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得项，
则常数项共5种取法，
合并同类项得项的系数为.
故答案为：B.
【分析】根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得项，从而得到含的项的系数.
5．（2025·汕头模拟）若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则，
由题意可得：，即，
所以，故.
故答案为：A.
【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面周长，从而得出圆锥底面的半径，再利用勾股定理得出圆锥的高，最后由圆锥的体积公式得出该圆锥的体积.
6．（2025·汕头模拟）设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：依题意，在内存在变号零点，
因为不是的零点，所以，
又因为在上单调递增，所以.
故答案为：B.
【分析】先求出导函数，利用函数在内存在极值点，从而得出导数在内存在零点，参变分离，则转化为求函数值域问题，再结合函数的单调性，从而得出函数的值域，进而得出实数a的取值范围.
7．（2025·汕头模拟）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【知识点】直线的斜截式方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆圆心为，
圆可化为，
所以圆心为，
由题意可得，直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，
设，由两直线垂直斜率关系可得直线l的斜率为1，又因为两圆中点坐标为，
所以直线l的方程为，即.
故答案为：D.
【分析】由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，再利用两直线垂直的斜率关系和中点的性质，从而由点斜式得出直线l的方程.
8．（2025·汕头模拟）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（　　）
A．与B相互独立 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于选项A、选项C，
由题意得，，
，，
，，
故，故C正确；
由于，
故，所以与B不互相独立，故A错误；
对于选项B，由条件概率得，故B错误；
对于选项D，因为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件求出各个事件的概率，从而得到，，则判断出选项A和选项C；由条件概率公式进行求解，从而判断出选项B和选项D，进而找出正确的选项.
9．（2025·汕头模拟）已知复数，（x，），则下列结论正确的是（　　）
A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线
【答案】A,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：根据复数的几何表示知：
对于A，因为方程表示到定点的距离等于2的动点轨迹，
所以，对应点的轨迹为圆，故A正确；
对于B，因为方程表示到定点与距离的和为2的动点轨迹，
又因为与的距离也为2，
所以z在复平面内对应点的轨迹为线段，故B错误；
对于C，因为方程表示到定点与的距离的差为1的动点轨迹，
即双曲线的一支，故C错误；
对于D，因为方程表示到定点与的距离相等的动点轨迹，
即线段的中垂线，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】根据已知条件和向量求模公式以及复数的几何意义，从而得出复数z在复平面内对应点的轨迹，进而逐项判断找出结论正确的选项.
10．（2025·汕头模拟）正方体中，，，，，则下列两个平面的位置关系中，不成立的是（　　）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A,B,D
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：根据向量知识可得：
分别为的中点，分别为靠近的三等分点，
由与相交知，故错误；
因为，平面，平面，
则平面，同理可得：平面，
又因为 ，且 平面，
则平面平面，
若平面平面，
则平面平面，这与它们相交矛盾，故错误；
因为分别为的中点，
则，
又因为，且，平面，平面，
所以平面，故正确；
连接，
则，
因为，且，平面，
则平面，所以，同理可得：，
又因为，
则平面，
若平面平面，注意到平面，
则平面，
又因为平面，
所以平面平面，这和与相交矛盾，故错误．
故答案为：.
【分析】根据正方体内的常用结论：平面平面，平面，平面和线面平行判定定理、线面垂直的判定定理，从而逐项判断找出不成立的选项.
11．（2025·汕头模拟）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则下列结论正确的是（　　）
A．的图象关于直线对称
B．
C．在区间上单调递增
D．当时，方程的所有解的和为
【答案】A,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由知，的图象关于直线对称，故A正确；
因为，故B错误；
因为奇函数在上单调递增，且，
所以在上单调递增，
由知，是周期为4的函数，
所以在区间上单调递增，故C正确；
由曲线关于直线对称知，且在上单调递增，
因为方程在上有一根，
再结合对称性可得：在有一根，
即一个周期内有两根，且和为2，
故在上所有根的和为，
故D错误．
故答案为：AC.
【分析】由和奇函数的性质，则可判断选项A；由选项A的对称性得到，则可判断选项B；先确定函数周期，再结合函数的单调性，即可判断选项C；由奇偶性结合以及函数的单调性、对称性，则可判断一个周期有两个解且和为2，再结合函数的周期性，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2025·汕头模拟）在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析：
（1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示；
（2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625；
（3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为；
经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是　 　．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【答案】丙
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：在甲的残差图中，模型①的残差点更均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，且水平带状区域更窄，说明模型①拟合效果更好，
残差平方和越大，则决定系数越小，说明数据点越离散，
所以乙的计算结果显示模型①的拟合效果更好，
而丙的计算结果显示模型②的拟合效果更好．
故答案为：丙.
【分析】利用残差图和残差平方和，则根据决定系数的性质，从而得出运算结果肯定出错的同学.
13．（2025·汕头模拟）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为　 　．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为双曲线的右焦点为，
所以直线l的方程为，
由，得，
设，，则，，
所以．
故答案为：.
【分析】根据直线与双曲线相交，联立直线与双曲线方程，再由韦达定理和弦长公式，从而得出AB的长.
14．（2025·汕头模拟）已知曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为　 　．
【答案】11
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：方法一：，则，
设，依题意得出，
所以，
则，显然，所以，
因为，
所以的图象关于点中心对称，
所以点与点关于点对称，
所以，则，
所以点的纵坐标为11.
方法二：因为，
则，
因为，
所以在上单调递增，
令，设其根为，
则.
因为在点处的切线与在点处的切线平行，
所以存在两实根，其中一个为，设另一个为，
即两根为，
由韦达定理得，则，
所以
，
所以点的纵坐标为11.
故答案为：11.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：对求导，设，再根据已知条件得到，从而得出的值，再根据函数关于对称，从而求出点的纵坐标.
方法二：对求导，根据在点处的切线与在点处的切线平行，从而可得存在两实根，进而求出点的纵坐标.
15．（2025·汕头模拟）已知数列满足：（m为正整数），．
（1）设数列的前n项和为，当时，求；
（2）若，求m所有可能的取值集合M．
【答案】（1）解：当时，，
所以，，…，，，
因为，
所以，.
（2）解：依题中的递推关系逆推可得：
，
故．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据数列递推公式得到数列的前12项，再利用等比数列求和公式得出的值.
（2）利用题中的递推公式逆推的方法，从而得到m所有可能的取值，进而得出集合M.
（1）当时，，所以，，…，，，
而，
所以，；
（2）依题设的递推关系逆推可得：
故．
16．（2025·汕头模拟）已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角．
（1）求角C的大小；
（2）若、、成等比数列，且，求边c上的高h．
【答案】（1）解：依题意，，
即，所以，
由知，，
又因为，故.
（2）解：依题意，，
由正弦定理得：，即
又因为，则，
所以，则，
由三角形面积公式得：，
即，故．
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式和三角形中角C的取值范围，从而得出角C的余弦值，进而得出角C的值.
（2）利用等比中项公式和正弦定理，从而得出，再利用数量积的定义得出ab的值，从而得出c的值，结合三角形的面积公式得出边c上的高h．
（1）依题意，，
即，所以，
由知，，从而，故；
（2）依题意，，
由正弦定理得：，即
又，则，
所以，从而，
由三角形面积公式得：，即
故．
17．（2025·汕头模拟）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角与二面角的大小相等．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
在正方形中，，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）平面，平面，
所以，，
则为二面角的平面角，
因为，所以平面，
同理可得为二面角的平面角，
依题意得出，即，
以点D为原点，分别以直线、为x、y轴，过点D作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
所以，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
又因为为平面的一个法向量，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先得到，再由得到平面，从而证出平面平面.
（2）由（1）可得为二面角的平面角，同理可得为二面角的平面角，从而得到，在建立空间直角坐标系，则利用空间向量法计算可得平面与平面的夹角的余弦值.
（1）因为平面，平面，所以，
又正方形中，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）由（1）平面，平面，所以，，
从而为二面角的平面角，
因为，所以平面，
同理可得为二面角的平面角，
依题意，即，
以点D为原点，分别以直线、为x、y轴，过点D作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，所以，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
又为平面的一个法向量，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18．（2025·汕头模拟）已知的三个顶点都在抛物线上，其中．
（1）当是直角三角形且时，证明直线过定点；
（2）设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：设直线的方程为，、，
由，得：，
所以，且，，
由，即，
得：，
则，
所以或，
则或，
所以或，
当时，，不合题意，所以，
故直线的方程为，过定点.
（2）解：假设存在以弦为底边的等腰，
由（1）知直线的方程为，
且，，
设中点坐标为，
则，，
由等腰三角形性质知，
即（*），
令，
则，
所以在R上递增，
又因为，，
所以在R上有且只有一个零点，即方程（*）在R上有且只有一根，
故存在以弦为底边的等腰，且这样的三角形只有一个．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设直线的方程为，、，联立直线和抛物线的方程，再根据结合判别式法，从而证出直线过定点，并求出定点坐标.
（2）由（1）知直线的方程为，且，，设中点坐标为，根据中点坐标公式结合等腰三角形性质，从而化简可得，再构造函数求导判断函数的单调性，从而由函数的零点和方程的根的等价关系，从而存在以弦为底边的等腰，且这样的三角形只有一个．
（1）设直线的方程为，、，
由得：，
所以，且，，
由即得：，
则，
所以或，
从而或，
进而或，
当时，，不合题意，所以，
故直线的方程为，过定点；
（2）假设存在以弦为底边的等腰，
由（1）知直线的方程为，且，，
设中点坐标为，
则，，
由等腰三角形性质知，即（*），
令，则，
所以在R上递增，
又，，
所以在R上有且只有一个零点，即方程（*）在R上有且只有一根，
故存在以弦为底边的等腰，且这样的三角形只有一个．
19．（2025·汕头模拟）若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一确定直线L的距离趋向于零，则称直线L为曲线C的渐近线．当渐近线L的斜率不存在时，称L为垂直渐近线．例如曲线具有垂直渐近线；当渐近线L的斜率存在且不为零时，称L为斜渐近线，例如双曲线存在两条斜渐近线．
（1）请判断正弦曲线是否存在垂直渐近线或斜渐近线，不必说明理由；
（2）证明曲线存在垂直渐近线、斜渐近线；
（3）求曲线的渐近线，并作出曲线的简图．
【答案】（1）解：正弦曲线不存在垂直渐近线或斜渐近线.
（2）证明：函数的定义域为，
当且时，，
所以直线为曲线的垂直渐近线，
设是曲线上一点，
则点M到直线的距离为：，
所以直线为曲线的斜渐近线，
又因为曲线，直线，直线均关于原点对称，
故曲线存在垂直渐近线，斜渐近线.
（3）解：由得其定义域为，
当且时，；
当且时，，
当且时，；
当且时，，
所以直线与为曲线的垂直渐近线，
若曲线有斜渐近线，
设是曲线上一点，
则当时，点A到直线的距离为：，
即，
所以，
则，即，
因为，
所以曲线有斜渐近线，
同理可得，当时，直线为曲线的斜渐近线，
因为，
由得，，列表得：
x
+ 0 - - - 0 +
极大值 极小值
故曲线的简图如下：
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数极限
【解析】【分析】（1）根据垂直渐近线或斜渐近线的定义，从而判断出正弦曲线不存在垂直渐近线或斜渐近线.
（2）求出的值域可判断直线为曲线的垂直渐近线，设是曲线上一点，从而求出点M到直线的距离，进而证出直线为曲线的斜渐近线.
（3）由的解析式可得直线与为曲线的垂直渐近线，若曲线有斜渐近线，设是曲线上一点，利用点A到直线的距离得直线为曲线的斜渐近线，再利用导数判断出函数的单调性，从而求出函数的极值，进而可得曲线的简图.
（1）正弦曲线不存在垂直渐近线或斜渐近线；
（2）函数的定义域为，
当且时，，所以直线为曲线的垂直渐近线，
设是曲线上一点，则点M到直线的距离
，所以直线为曲线的斜渐近线，
又曲线，直线，直线均关于原点对称，
故曲线存在垂直渐近线，斜渐近线；
（3）由得其定义域为，
当且时，；当且时，，
当且时，；当且时，，
所以直线与为曲线的垂直渐近线；
若曲线有斜渐近线，设是曲线上一点，
则当时，点A到直线的距离，
即，从而，进而，即，
因为，
所以曲线有斜渐近线，
同理可得，当时，直线为曲线的斜渐近线，
因为，
由得，，列表得：
x
+ 0 - - - 0 +
极大值 极小值
故曲线的简图如下：
1 / 1广东省汕头市2024-2025学年高三下学期第一次模拟数学试题
1．（2025·汕头模拟）已知，，，则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．不存在
2．（2025·汕头模拟）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2025·汕头模拟）要得到函数的图象，只要将函数的图象（　　）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
4．（2025·汕头模拟）在的展开式中，含的项的系数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·汕头模拟）若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·汕头模拟）设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·汕头模拟）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）
A． B． C．或 D．
8．（2025·汕头模拟）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（　　）
A．与B相互独立 B．
C． D．
9．（2025·汕头模拟）已知复数，（x，），则下列结论正确的是（　　）
A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线
10．（2025·汕头模拟）正方体中，，，，，则下列两个平面的位置关系中，不成立的是（　　）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
11．（2025·汕头模拟）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则下列结论正确的是（　　）
A．的图象关于直线对称
B．
C．在区间上单调递增
D．当时，方程的所有解的和为
12．（2025·汕头模拟）在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析：
（1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示；
（2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625；
（3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为；
经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是　 　．（填“甲”或“乙”或“丙”）
13．（2025·汕头模拟）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为　 　．
14．（2025·汕头模拟）已知曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为　 　．
15．（2025·汕头模拟）已知数列满足：（m为正整数），．
（1）设数列的前n项和为，当时，求；
（2）若，求m所有可能的取值集合M．
16．（2025·汕头模拟）已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角．
（1）求角C的大小；
（2）若、、成等比数列，且，求边c上的高h．
17．（2025·汕头模拟）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角与二面角的大小相等．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
18．（2025·汕头模拟）已知的三个顶点都在抛物线上，其中．
（1）当是直角三角形且时，证明直线过定点；
（2）设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由．
19．（2025·汕头模拟）若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一确定直线L的距离趋向于零，则称直线L为曲线C的渐近线．当渐近线L的斜率不存在时，称L为垂直渐近线．例如曲线具有垂直渐近线；当渐近线L的斜率存在且不为零时，称L为斜渐近线，例如双曲线存在两条斜渐近线．
（1）请判断正弦曲线是否存在垂直渐近线或斜渐近线，不必说明理由；
（2）证明曲线存在垂直渐近线、斜渐近线；
（3）求曲线的渐近线，并作出曲线的简图．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由基本不等式得：，当且仅当时取等号．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，等价于，且，等价于，
又因为可以推出，不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性解不等式的方法，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
3．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位得出.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和正弦型函数的图象变换，从而找出正确的选项.
4．【答案】B
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：根据多项式的乘法，
在5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得项，
则常数项共5种取法，
合并同类项得项的系数为.
故答案为：B.
【分析】根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得项，从而得到含的项的系数.
5．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则，
由题意可得：，即，
所以，故.
故答案为：A.
【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面周长，从而得出圆锥底面的半径，再利用勾股定理得出圆锥的高，最后由圆锥的体积公式得出该圆锥的体积.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：依题意，在内存在变号零点，
因为不是的零点，所以，
又因为在上单调递增，所以.
故答案为：B.
【分析】先求出导函数，利用函数在内存在极值点，从而得出导数在内存在零点，参变分离，则转化为求函数值域问题，再结合函数的单调性，从而得出函数的值域，进而得出实数a的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】直线的斜截式方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆圆心为，
圆可化为，
所以圆心为，
由题意可得，直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，
设，由两直线垂直斜率关系可得直线l的斜率为1，又因为两圆中点坐标为，
所以直线l的方程为，即.
故答案为：D.
【分析】由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，再利用两直线垂直的斜率关系和中点的性质，从而由点斜式得出直线l的方程.
8．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于选项A、选项C，
由题意得，，
，，
，，
故，故C正确；
由于，
故，所以与B不互相独立，故A错误；
对于选项B，由条件概率得，故B错误；
对于选项D，因为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件求出各个事件的概率，从而得到，，则判断出选项A和选项C；由条件概率公式进行求解，从而判断出选项B和选项D，进而找出正确的选项.
9．【答案】A,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：根据复数的几何表示知：
对于A，因为方程表示到定点的距离等于2的动点轨迹，
所以，对应点的轨迹为圆，故A正确；
对于B，因为方程表示到定点与距离的和为2的动点轨迹，
又因为与的距离也为2，
所以z在复平面内对应点的轨迹为线段，故B错误；
对于C，因为方程表示到定点与的距离的差为1的动点轨迹，
即双曲线的一支，故C错误；
对于D，因为方程表示到定点与的距离相等的动点轨迹，
即线段的中垂线，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】根据已知条件和向量求模公式以及复数的几何意义，从而得出复数z在复平面内对应点的轨迹，进而逐项判断找出结论正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：根据向量知识可得：
分别为的中点，分别为靠近的三等分点，
由与相交知，故错误；
因为，平面，平面，
则平面，同理可得：平面，
又因为 ，且 平面，
则平面平面，
若平面平面，
则平面平面，这与它们相交矛盾，故错误；
因为分别为的中点，
则，
又因为，且，平面，平面，
所以平面，故正确；
连接，
则，
因为，且，平面，
则平面，所以，同理可得：，
又因为，
则平面，
若平面平面，注意到平面，
则平面，
又因为平面，
所以平面平面，这和与相交矛盾，故错误．
故答案为：.
【分析】根据正方体内的常用结论：平面平面，平面，平面和线面平行判定定理、线面垂直的判定定理，从而逐项判断找出不成立的选项.
11．【答案】A,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由知，的图象关于直线对称，故A正确；
因为，故B错误；
因为奇函数在上单调递增，且，
所以在上单调递增，
由知，是周期为4的函数，
所以在区间上单调递增，故C正确；
由曲线关于直线对称知，且在上单调递增，
因为方程在上有一根，
再结合对称性可得：在有一根，
即一个周期内有两根，且和为2，
故在上所有根的和为，
故D错误．
故答案为：AC.
【分析】由和奇函数的性质，则可判断选项A；由选项A的对称性得到，则可判断选项B；先确定函数周期，再结合函数的单调性，即可判断选项C；由奇偶性结合以及函数的单调性、对称性，则可判断一个周期有两个解且和为2，再结合函数的周期性，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】丙
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：在甲的残差图中，模型①的残差点更均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，且水平带状区域更窄，说明模型①拟合效果更好，
残差平方和越大，则决定系数越小，说明数据点越离散，
所以乙的计算结果显示模型①的拟合效果更好，
而丙的计算结果显示模型②的拟合效果更好．
故答案为：丙.
【分析】利用残差图和残差平方和，则根据决定系数的性质，从而得出运算结果肯定出错的同学.
13．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为双曲线的右焦点为，
所以直线l的方程为，
由，得，
设，，则，，
所以．
故答案为：.
【分析】根据直线与双曲线相交，联立直线与双曲线方程，再由韦达定理和弦长公式，从而得出AB的长.
14．【答案】11
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：方法一：，则，
设，依题意得出，
所以，
则，显然，所以，
因为，
所以的图象关于点中心对称，
所以点与点关于点对称，
所以，则，
所以点的纵坐标为11.
方法二：因为，
则，
因为，
所以在上单调递增，
令，设其根为，
则.
因为在点处的切线与在点处的切线平行，
所以存在两实根，其中一个为，设另一个为，
即两根为，
由韦达定理得，则，
所以
，
所以点的纵坐标为11.
故答案为：11.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：对求导，设，再根据已知条件得到，从而得出的值，再根据函数关于对称，从而求出点的纵坐标.
方法二：对求导，根据在点处的切线与在点处的切线平行，从而可得存在两实根，进而求出点的纵坐标.
15．【答案】（1）解：当时，，
所以，，…，，，
因为，
所以，.
（2）解：依题中的递推关系逆推可得：
，
故．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据数列递推公式得到数列的前12项，再利用等比数列求和公式得出的值.
（2）利用题中的递推公式逆推的方法，从而得到m所有可能的取值，进而得出集合M.
（1）当时，，所以，，…，，，
而，
所以，；
（2）依题设的递推关系逆推可得：
故．
16．【答案】（1）解：依题意，，
即，所以，
由知，，
又因为，故.
（2）解：依题意，，
由正弦定理得：，即
又因为，则，
所以，则，
由三角形面积公式得：，
即，故．
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式和三角形中角C的取值范围，从而得出角C的余弦值，进而得出角C的值.
（2）利用等比中项公式和正弦定理，从而得出，再利用数量积的定义得出ab的值，从而得出c的值，结合三角形的面积公式得出边c上的高h．
（1）依题意，，
即，所以，
由知，，从而，故；
（2）依题意，，
由正弦定理得：，即
又，则，
所以，从而，
由三角形面积公式得：，即
故．
17．【答案】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
在正方形中，，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）平面，平面，
所以，，
则为二面角的平面角，
因为，所以平面，
同理可得为二面角的平面角，
依题意得出，即，
以点D为原点，分别以直线、为x、y轴，过点D作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
所以，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
又因为为平面的一个法向量，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先得到，再由得到平面，从而证出平面平面.
（2）由（1）可得为二面角的平面角，同理可得为二面角的平面角，从而得到，在建立空间直角坐标系，则利用空间向量法计算可得平面与平面的夹角的余弦值.
（1）因为平面，平面，所以，
又正方形中，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）由（1）平面，平面，所以，，
从而为二面角的平面角，
因为，所以平面，
同理可得为二面角的平面角，
依题意，即，
以点D为原点，分别以直线、为x、y轴，过点D作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，所以，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
又为平面的一个法向量，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18．【答案】（1）证明：设直线的方程为，、，
由，得：，
所以，且，，
由，即，
得：，
则，
所以或，
则或，
所以或，
当时，，不合题意，所以，
故直线的方程为，过定点.
（2）解：假设存在以弦为底边的等腰，
由（1）知直线的方程为，
且，，
设中点坐标为，
则，，
由等腰三角形性质知，
即（*），
令，
则，
所以在R上递增，
又因为，，
所以在R上有且只有一个零点，即方程（*）在R上有且只有一根，
故存在以弦为底边的等腰，且这样的三角形只有一个．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设直线的方程为，、，联立直线和抛物线的方程，再根据结合判别式法，从而证出直线过定点，并求出定点坐标.
（2）由（1）知直线的方程为，且，，设中点坐标为，根据中点坐标公式结合等腰三角形性质，从而化简可得，再构造函数求导判断函数的单调性，从而由函数的零点和方程的根的等价关系，从而存在以弦为底边的等腰，且这样的三角形只有一个．
（1）设直线的方程为，、，
由得：，
所以，且，，
由即得：，
则，
所以或，
从而或，
进而或，
当时，，不合题意，所以，
故直线的方程为，过定点；
（2）假设存在以弦为底边的等腰，
由（1）知直线的方程为，且，，
设中点坐标为，
则，，
由等腰三角形性质知，即（*），
令，则，
所以在R上递增，
又，，
所以在R上有且只有一个零点，即方程（*）在R上有且只有一根，
故存在以弦为底边的等腰，且这样的三角形只有一个．
19．【答案】（1）解：正弦曲线不存在垂直渐近线或斜渐近线.
（2）证明：函数的定义域为，
当且时，，
所以直线为曲线的垂直渐近线，
设是曲线上一点，
则点M到直线的距离为：，
所以直线为曲线的斜渐近线，
又因为曲线，直线，直线均关于原点对称，
故曲线存在垂直渐近线，斜渐近线.
（3）解：由得其定义域为，
当且时，；
当且时，，
当且时，；
当且时，，
所以直线与为曲线的垂直渐近线，
若曲线有斜渐近线，
设是曲线上一点，
则当时，点A到直线的距离为：，
即，
所以，
则，即，
因为，
所以曲线有斜渐近线，
同理可得，当时，直线为曲线的斜渐近线，
因为，
由得，，列表得：
x
+ 0 - - - 0 +
极大值 极小值
故曲线的简图如下：
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数极限
【解析】【分析】（1）根据垂直渐近线或斜渐近线的定义，从而判断出正弦曲线不存在垂直渐近线或斜渐近线.
（2）求出的值域可判断直线为曲线的垂直渐近线，设是曲线上一点，从而求出点M到直线的距离，进而证出直线为曲线的斜渐近线.
（3）由的解析式可得直线与为曲线的垂直渐近线，若曲线有斜渐近线，设是曲线上一点，利用点A到直线的距离得直线为曲线的斜渐近线，再利用导数判断出函数的单调性，从而求出函数的极值，进而可得曲线的简图.
（1）正弦曲线不存在垂直渐近线或斜渐近线；
（2）函数的定义域为，
当且时，，所以直线为曲线的垂直渐近线，
设是曲线上一点，则点M到直线的距离
，所以直线为曲线的斜渐近线，
又曲线，直线，直线均关于原点对称，
故曲线存在垂直渐近线，斜渐近线；
（3）由得其定义域为，
当且时，；当且时，，
当且时，；当且时，，
所以直线与为曲线的垂直渐近线；
若曲线有斜渐近线，设是曲线上一点，
则当时，点A到直线的距离，
即，从而，进而，即，
因为，
所以曲线有斜渐近线，
同理可得，当时，直线为曲线的斜渐近线，
因为，
由得，，列表得：
x
+ 0 - - - 0 +
极大值 极小值
故曲线的简图如下：
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