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2024-2025学年山东省济南市西城实验中学高一（下）4月学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
2.若为虚数单位是关于方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则( )
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则( )
A. B.
C. D.
6.某圆锥高为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为若，山坡对于地平面的坡度为，则等于( )
A. B. C. D.
8.已知，，，在球的表面上，为等边三角形且边长为，平面，，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B. 棱锥的侧面一定都是三角形
C. 棱台各侧棱所在直线必交于一点
D. 有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台
10.已知复数，满足，为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则( )
A. B.
C. 的外接圆半径为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在棱长为的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是______．
13.已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为______．
14.复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：；两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量和，则，，求：
的值；
的值；
与的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知复数，且为纯虚数是的共轭复数．
设复数，求；
复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图矩形是水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．
画出平面四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为．
已知，，求；
在中，，，角的平分线与交于点，且，若，求．
19.本小题分
古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中．
若，，，图，求线段长度的最大值；
若，，图，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值．
在满足条件下，若点是外接圆上异于，的点，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，，
；
，
；
，
．
16.解：由，得，
则为纯虚数，
所以，解得．
所以，
因此；
因为，
则，
因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，
所以，解得．
因此实数的取值范围是．
17.解：平面四边形的平面图如图所示：
所以；
由题意可得旋转形成的几何体的体积，
因为，
所以，
又，
故．
18.
19.解：，，，，
可得，
由题意可得，
即，
即，
即的最大值为；
如图，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，，
所以，即，，
在中，，
在中，由余弦定理可得，
由可得，
解得，而，
可得，
所以，
此时．
所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为；
由题意可知，即，
在中，由余弦定理可得，
故，
故，
故，当且仅当时等号成立，
故最大值为．
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