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2024-2025学年重庆市南岸区南坪中学高一（下）4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设是平面内两个不共线的向量，则以下不可作为该平面内一组基底的是( )
A. B.
C. D.
3.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.下列哪个函数是单调递减函数( )
A. B. C. D.
5.如图所示，四边形是正方形，，分别，的中点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.在中，若，且，那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
7.已知向量满足，且，则与的夹角等于( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )
A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数的单调增区间为
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数在上有个零点，则实数的取值范围为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量，，，则( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量是
10.在中，角，，的对边分别为，，，则( )
A. 若，则为直角三角形
B. 若符合条件的有一个，则
C. 若，则
D. 若，则为等腰三角形
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论奔驰定理与三角形四心重心、内心、外心、垂心有着神秘的关联它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且以下命题正确的有( )
A. 若：：：：，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若为的垂心，，则：：：：
D. 若，，为的外心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的虚部是______．
13.如图为南岸区黄桷垭文峰塔，建于清朝道光年间，距今已有多年历史，为七级楼阁式塔，某同学为测量文峰塔的高度，在文峰塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部和文峰塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则文峰塔的高度为______．
14.在中，角，，的对边分别是，，，且设的中点为，且，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，与的夹角为．
求；
若向量与相互垂直，求实数的值．
16.本小题分
已知．
化简；
若，且为第三象限的角，求的值．
17.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足：：：：．
求角的值；
若点为的中点，求：的值．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角、的终边与单位圆分别交、两点点在第一象限，点是单位圆与轴的交点．
当、时，求的值；
若为劣弧上的动点，当点的横坐标为时，求最小值．
19.本小题分
是直线外一点，点在直线上点与点，任一点均不重合，我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上．
若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求；的值；
若，，，由点对施以视角运算，，求的周长；
若，，由点对施以视角运算，，求的最小值．
参考答案
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15.解：根据题意，，，与的夹角为，
；
根据题意，，，向量与互相垂直，
，
解得；
故的值为．
16.解：；
由可得：，即，
又，联立解得或，
又为第三象限角，则，所以，
则．
17.解：设，则，，
利用余弦定理可得，
又因为，
所以；
设，则，，
因为点为的中点，所以，
两边平方可得，
即，
所以，
即，
所以：：．
18.解：因为、，
由题知，，，，，
所以
．
因为为劣弧上的动点，且点的横坐标为，
所意，，且，
即点，
又因为点是单位圆与轴的交点，若点，
不妨设点，其中，
所以，，
所以
，
因为，所以，
所以当时，即当时，取最小值；
若点，不妨设点，其中，
则，，
所以，
，
因为，所以，
所以当时，即当时，取最小值，
所以最小值为或．
19.解：因为是角的平分线，所以且在线段上，
所以，
又，所以；
因为点在射线上，，且，
所以在线段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得负值已舍去，
所以，
所以的周长为；
因为，所以，则，
因为，所以，
又，
所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
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