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浙江省北斗星盟 2025 届高三下学期模拟考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |0 < < 2}， = { ∈ || | ≤ 2}，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {0,1,2} C. { 1,0,1,2} D. { 2, 1,0,1,2}
2 2.若复数 满足 2 + = 1+ ，则 =( )
A. 1+ 1 1 1 13 B. 3 C. 1 3 D. 3+
3.已知单位向量 ， 满足| + | = 2| |，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. 1 3
B. 2 5 C.
1 D. 3 2 5

4.“ = 2”是“函数 ( ) = ln( 2 + 1)的值域为 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若坐标原点 关于动直线 : + 1 = 0( ∈ )的对称点为 ，则点 的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
6 .已知函数 ( ) = 2sin( + )( > 0, | | < 2 )和函数 ( ) = 2cos( + )的图象上相邻的四个交点构成
2
的四边形的面积为 2 ，且 (1) = (1)，则( )
A. = 4 ， = 4 B. = 4 ， =

3
C. = 8 ， = 4 D. = 8 =

， 3
7.已知函数 ( )满足 (1) = 2，且对 ∈ ， ( + 1) = 1 1 ( )，则满足 =1 ( ) ≤ 1015 的正整数 的最
大值为( )
A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029
8.在平面直角坐标系 中，已知曲线 : ( 2 + 2)2 = 2 2 2 2，若点 为曲线 上的动点，则| |的最大
值为( )
A. 22 B. 2 C. 2 D. 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在足球训练课上， ， 两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行 5 轮，在每轮比赛中，两人各
罚点球一次，射中得 1 分，射不中得 0 分.已知 ， 每次点球命中的概率分别为 ， ，( , ∈ (0,1))，
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若 5 轮比赛后 ， 的总得分分别为 ， ，则下列结论正确的是( )
A.若 ( ) < ( )，则 <
B. ( = = 3) ≠ ( : = 2: 3)
C.若 0 < < <
1
2，则 ( ) < ( )
D. 1 1若当且仅当 = 2 时， ( = )( = 0,1,2, 5)取得最大值，则3 < < 2
10 :
2 2
.已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，上顶点为 ，且| 1| = | 1 2| = 2，
为 上位于第一象限内的点，且| 1| | 2| =
18
5，∠ 1 2的内角平分线交 轴于点 ，则下列结论正确的是
( )
A. 1 3椭圆 的离心率 = 2 B. cos∠ 1 2 = 5
C. △ 5 | | 21 2的内切圆半径为 5 D.
1
| =1| 3
11.如图，四棱锥 中，侧面 为等腰直角三角形，底面 为矩形， ⊥ ， = = 2，
若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为 1，其外接球球心为 2，则下列结论正确的是( )
A.平面 ⊥平面
B.四棱锥 的内切球半径为 2 1
C. 2 2四棱锥 的体积为 3
D. 1 22 = 4 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知函数 ( ) = , > 0, 2, < 0为奇函数，则 + = ．
13 1.已知 ， ∈ (0, 22 )，且满足 sin tan = 2cos 2，则 tan( + ) = 2，则 sin2 = ．
14.人工智能( )，英文缩写为 .是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研
究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学.某商场在有奖销
售的抽奖环节时，采用 技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键 5 次，每次点击随机生成数
字 0 或 1 或 2，点击结束后，生成的 5 个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为 0，则获一等奖;如果
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奖券码为 3 的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥底面 ， = 2， = = 4， ， 为别为
棱 ， 的中点．
(1)证明： //平面 ;
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 1) 2 ．
(1)若曲线 = ( )在 = 1 处的切线过点(0, 3)，求实数 的值;
(2) 1当 2 < <
2
时，证明： ( ) > 3．
17.(本小题 15 分)
3
如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点 ， = 2， = 2 2，∠ = 4，且△ 和△
的外接圆半径相等．
(1)若 = 2，求 的长;
(2)若 sin2∠ + sin∠ = 1，求∠ ．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 : 2

2 = 1( > 0, > 0)，且四点 ( 3, 2)， (2, 6)， (2, 6)， (3,2)中恰有三点在
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上．
(1)求双曲线 的标准方程;
(2)如图， ， ， 分别为双曲线 上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点 分别作直线 ， 的垂线，
垂足分别为 ， ，且| | = | | = 2．
(ⅰ)证明： ， ， 三点共线;
(ⅱ)求△ 面积的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 1，2 = +1，当数列{ }的项数大于 2 时，将数列{ }中各项的
所有不同排列填入一个 !行 列的表格中(每个格中一个数字)，使每一行均为这 个数的一个排列.将第 (1 ≤
≤ !, ∈ )行的数字构成的数列记作{ }，将数列{ }中的第 (1 ≤ ≤ , ∈ )项记作 .若对 ， ，均
有 ≠ ，则称数列{ }为数列{ }的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为 ．
(1)求数列{ }的通项公式 ;
(2)当数列{ }的项数为 4 时，求 的值;
(3)若数列{ }为数列{ }的“异位数列”，试讨论

=1 | |的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.45
14. 80243
15.(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
因为底面 为矩形， 为 的中点，所以 // ，
因为 为 中点，所以 // ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，
所以平面 //平面 ，
因为 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)解：由题，直线 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建
立如图所示的空间直角坐标系，
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则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,0,4)， (1,2,2)， (0,2,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 0 + 2 2 = 0则 ，即 2 4 = 0 ，令 = 2，得 = 2， = 1， = 0
所以 = ( 2,2,1)．
同理可得平面 的一个法向量为 = (2,2, 1)，
|cos < ， > | = | | | 4+4 1| 1| = =| | | 3×3 9，
1
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为9 .
16.解：(1)函数 ( )的定义域为 ， ′( ) = 2 ，所以 ′( 1) = 2，又 ( 1) = (
2
2)，
所以线 ( )在 = 1 2 处的切线方程为 + 2 = ( 2 )( + 1)，
3
将点(0, 3)代入得 = 3，解得 = ．
(2)证明： ′( ) = 2，设 ( ) = 2，则 ′( ) = (1 + ) ，
1 2
因为 2 < < ，所以当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) < 0， ( )即 ′( )单调递减;
当 ∈ ( 1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )即 ′( )单调递增：
当 < 0 时， ′( ) < 0， ′(0) = 2 < 0， ′(1) = 2 < 2 × 2 = 0，
1
′(2) = 2 2 2 > 2 × 2 ×
2 2 = 0，
所以存在唯一的 0 ∈ (1,2)，使得 ′( ) = 0，即 0 =
2
0 ，0
且当 ∈ ( ∞, 0)时， ′( 0) < 0， ( )单调递减;当 ∈ ( 0 +∞)时， ′( 0) > 0， ( )单调递增;
1 2
所以当 2 < < 时，函数 ( )在 = 0处取得极小值，即为最小值，所以 ( ) ≥ (

0) = ( 0 1) 0
2 0 = 2 2(
1
0 + )，0
∈ (1,2) + 1 ∈ (2, 5因为 0 ，所以 0 2 )，所以 3 < 2 2( 0 +
1
) < 2，所以 ( ) > 3，得证．0 0
17.解：(1) 由题，∠ = ∠ = 4，
因为△ 和△ 的外接圆半径相等，

由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，所以 = ，
设 = (0 < < 2)， = (0 < < 2 2)，则 = 2 ， = 2 2 ，
在△ 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
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即 2 = (2 )2 + 2 2(2 ) × 22 ，
在△ 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
即 2 = 2 + (2 2 )2 2 (2 2 ) × 22 ，
所以(2 )2 + 2 2(2 ) × 22 =
2 + (2 2 )2 2 (2 2 ) × 22 ，
解得 = 2，即 = = 2，
在△ 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
即 4 = 2 + 2 + 2 × 2 × × 22 ，解得 = 3 1 或 = 3 1 < 0(舍)，
所以 = 3 1．
(2)在△ 2中，由正弦定理得：sin∠ = sin∠ ，即 2 = ， ∠
2
在△ 2中，由正弦定理得：sin∠ = ，即 = ，sin ∠ 2 sin∠
2
因为 = ，所以 sin∠ = sin∠ ，所以∠ = ∠ ，或∠ + ∠ = ，
若∠ = ∠ ，则△ ≌△ ，此时| | = | | = 1，
2 = 2 + 2 2 cos∠ = 1 + 2 2 × 1 × 2 × 22 = 1，

易得∠ = 4，∠ = ∠ =

2，sin2∠ + sin∠ = 1 不成立，
所以∠ + ∠ = ，故∠ = ∠ + 4，
sin2∠ + sin∠ = sin2(∠ + 4 ) + sin∠ = cos2∠ + sin∠ = 1 2sin
2∠ +
sin∠ = 1，
sin∠ = 0( ) sin∠ = 1 0 < ∠ < 3 ∠ = 解得 舍 或 2，因为 4，所以 6，
故∠ = ∠ ∠ = 7 4 6 = 12．
18.解：(1)由题，点 ( 3, 2)， (2, 6)， (2, 6)， (3,2)中恰有三点在 上，
根据双曲线的对称性，点 (2, 6)， (2, 6)都在双曲线上，
又在第一象限内，双曲线的图象是“上升的”，所以点 (3,2)不在双曲线 上，
所以点 ( 3, 2)， (2, 6)， (2, 6)为双曲线上的点，
3 4
2 2 2 2 = 1,
代入 2 2 2 2 = 1 得 4 6 ，解得 = 1， = 2，
2 2 = 1
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2
所以 的标准方程为 : 2 2 = 1．
(2)( )证明：由题可知直线 的斜率存在，设 : = + ，
则| | = | | = 2，故 2 = 2 + 2 2，
1+ 2
2
把 = + 代入 : 2 = 1 得：( 22 2)
2 + 2 + 2 + 2 = 0，
由题知 > 0，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
+ = 2
2+2
则 1 2 2 2， 1 2 = 2 2，
则 1 2 = ( 1 + )( 2 + ) = 2 21 2 + ( 1 + 2) +
2 2+2 2 2 2 2 2 2= 2 2 2 2 +
2 = 2 2 2 2 ，
2 2 2+2所以 = 1 2 + 1 2 = 2 2 = 0，所以 ⊥ ，
同理可得 ⊥ ，所以 ， ， 三点共线．
( )因为 ⊥ ， ⊥ ，所以△ ∽△ ，
| | = | |所以 2| | | |，所以| |·| | = | | = 2，
由( )知， △ = 2 △ = | | | | = 2| |，
又| | = | | + | | ≥ 2 | | | | = 2 2，当且仅当| | = | | = 2时等号成立，
所以， △ = 2| | 2 × 2 2 = 4，
所以△ 面积的最小值为 4．
19.解：(1)由题 1 = 1，2 1 = 2，解得 2 = 2，
由 2 = +1得 2 +1 = ( + 1) +2，
两式作差得 2 +1 = ( + 1) +2

，即 +2 = +2 +1 ， +1 +1
3 4 5
所以 3 = 2，
4 5
2
=
3 3
， = ， ， = ( ≥ 3)，4 4 1 1

累乘得： = 2，即 = ( ≥ 3)，2
因为 1 = 1， 2 = 2 符合上式，
所以 = ．
(2)由(1)知， = ，所以 = (1 , ∈ )，
当数列{ }的项数为 4 时，可知 1 = 1， 2 = 2， 3 = 3， 4 = 4，
若数列{ }为数列{ }的“异位数列”，则：
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当 1 = 2 时， 2 = 1， 3 = 4， 4 = 3;或 2 = 3， 3 = 4， 4 = 1;或 2 = 4， 3 = 1， 4 = 2 共 3 种情
况．
同理当 1 = 3 或 1 = 4 时，对应的排列各有 3 种情况，
所以 = 9．
(3)因为数列{ }为数列{ }的“异位数列”，所以 ≠ (1 ≤ ≤ !, 1 ≤ ≤ , , ∈ )，
即 ≠ ，所以| | = | | ≥ 1，所以 =1 | | ≥ ，
当 = 2 ， ∈ 时，若对任意的 ，都有| | = 1， =1 | | ≥ 取等号，
此时 1 = 2， 2 = 1， ， 1 = ， = 1，
所以当 = 2 ， ∈ 时， =1 | |的最小值为 ，
当 = 2 + 1， ∈ 时， =1 | | ≥ 的不可能取到等号，
因为存在 ，使得| | ≥ 2，
将 1，2，3， ， 分为 组，不妨为{1,2}，{3,4}， ，{2 3,2 2}，{2 1,2 , 2 + 1}时，
=1 | | ≥ + 1 可以取到等号，
此时 1 = 2， 2 = 1， ， (2 3) = 2 2， (2 2) = 2 1， (2 1) = 2 ， (2 ) = 2 + 1， (2 +1) = 2 1，
此时 =1 | | = 2( 1) + 1 + 1 + 2 = 2 + 2 = + 1，
所以当 = 2 + 1， ∈ 时， =1 | |的最小值为 + 1，
综上，当 为偶数时， =1 | |的最小值为 ;当 为奇数时， =1 | |的最小值为 + 1．
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