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2024年广东省广州市协和中学中考二模数学试题
1．（2024九下·广州模拟）下列实数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
π≈3.14，≈1.414，|-2|=2，
3.14＞3＞2＞1.414
π＞3＞|-2|＞
故π最大。
故答案为：A．
【分析】本题考查实数的大小比较，需要记住常用的无理数的近似数，然后排序即可。
2．（2024九下·广州模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
3．（2024九下·广州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．2a－a＝1
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 ，原计算正确，故此选项符合题意；
D、 ，原计算错误，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、幂的乘方分别进行计算，然后判断即可.
4．（2024九下·广州模拟）如图，已知直线a//b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵直线a∥b，∠1=60°，
∴∠3=∠1=60°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=60°，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．（2024九下·广州模拟）若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（　　）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，
∴△＜0，
∴△=4-4（-m）=4+4m＜0，
∴m＜-1，
∴m+1＜1-1，即m+1＜0，
m-1＜-1-1，即m-1＜-2，
∴一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第一象限，
选D．
【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2+4m＜0，解得m＜-1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=（m+1）x+m-1图象经过的象限
6．（2024九下·广州模拟）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（　　）
A．
B．
C．点A，O，三点在同一条直线上
D．
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
A．，故不正确；
B．，正确；
C．点A，O，三点在同一条直线上，正确；
D．，正确；
故答案为：A．
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
7．（2024九下·广州模拟）某学习小组的5名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、89分，则下列结论正确的是（　　）
A．平均分是91 B．众数是94 C．中位数是90 D．极差是8
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：A、平均分为：（94+98+90+94+89）÷5＝93（分），故此选项不符合题意；
B、94分、98分、90分、94分、89分中，众数是94分．故此选项符合题意；
C、五名同学成绩按大小顺序排序为：89，90，94，94，98，故中位数是94分，故此选项不符合题意；
D、极差是98﹣89＝9，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】直接利用平均数、众数、中位数及极差的定义分别求解，然后判断即可.
8．（2024九下·广州模拟）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，已知AC＝6，BC＝4，则的周长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∵AC=6，
∴AD+CD=6，
∴CD+BD=6，
∵BC=4，
∴的周长是CD+BD+BC=6+4=10，
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线得出AD=BD，再根据边之间的关系可得CD+BD=6，再根据三角形周长即可求出答案.
9．（2024九下·广州模拟）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，可得共有 种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个班次，所以由题意得： ÷(24÷8)=70
解得：x=21，即有21名护士.
故答案为：C.
【分析】共x人，每2人一班，轮流值班，则有 种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以8=每天3个班，所以总组合数除以3可得出最长需要的天数，解方程即可得出答案.
10．（2024九下·广州模拟）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（　　）．
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—构造直角三角形；二次函数-面积问题
11．（2024九下·广州模拟）的算术平方根是　 　
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵=9，
又∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
12．（2024九下·广州模拟）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵．
∴，
故答案为：．
【分析】化简代数式，再整体代入即可求出答案.
13．（2024九下·广州模拟）已知反比例函数，当时，y的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴此函数图象的两个分支位于一、三象限，在每一个象限内随着的增大而减小，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
14．（2024九下·广州模拟）若，，是的三边，试化简：　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；不等式的性质；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，，是的三边，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
【分析】先利用三角形三边的关系可得，，再利用绝对值的性质去掉绝对值，最后合并同类项即可.
15．（2024九下·广州模拟）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为　 　米．(结果保留整数，参考数据，，)
【答案】438
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意得，，
在中，，
（米），
在中，，
则（米），
则（米），
故答案是：．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2024九下·广州模拟）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∵∠ADC＝90°，CD=2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，先利用等腰直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式及等面积法求出，再证出△DEF∽△BEC，利用相似三角形的性质可得，即，求出，再结合，利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
17．（2024九下·广州模拟）解不等式组：
【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
18．（2024九下·广州模拟）如图，B是的中点，，.求证：．
【答案】证明：∵B是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由线段中点的性质可得，由平行线的性质“两直线平行同位角相等”可得，结合已知用边角边可证 ABC≌ BDE，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”即可求解．
19．（2024九下·广州模拟）先化简，再求值：，请从1，2，3中选一个作为x的值．
【答案】解：
∵从1，2，3中选一个作为x的值，且
∴把代入，得出．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的乘除，结合平方差公式，完全平方公式化简，再根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
20．（2024九下·广州模拟）某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．
组别 锻炼时间（分钟） 频数（人） 百分比
A 50
B m
C 40 p
D n
请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若制成扇形统计图，则C组所对应的圆心角为______°；
（3）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？
【答案】（1）解：调查的总人数为：（人），
B组的人数为：（人），
D组的人数为：（人），
补全条形统计图，如图所示：
（2）72
（3）解：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有：
（人）．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）C组所对应的圆心角为：；
【分析】（1）根据统计表用A组人数除以其所占的百分比计算出总人数，然后求出m、n的值，再补全条形统计图即可；
（2）用C组所占的百分比乘以即可求解；
（3）先算出样本中每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占百分比，再乘以全校人数即可求得．
21．（2024九下·广州模拟）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.
（1）求与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【答案】（1）解：当时，
设，
将代入，
可得：，
∴，
∴；
当时，
设，
将点，代入，
可得，
解得：，
∴.
（2）解：当时，，
解得：；
当时，，
解得：，
∵，
∴选甲家商店能购买该水果更多一些．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）结合函数图象中的数据利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将代入，求出x的值；再将代入，求出x的值，最后比较大小即可.
22．（2024九下·广州模拟）已知反比例函数y的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象交于点A（2，﹣6）和点B（n，6）．
（1）求m和n的值．
（2）请直接写出不等式3x的解集．
（3）将正比例函数y＝﹣3x图象向上平移9个单位后，与反比例函数y的图象交于点C和点D．求△COD的面积．
【答案】（1）解：∵y 经过点A（2，-6）
∴-6=
∴m=-10
∵y过点B（n，6）
∴6n=-12
∴n=-2
（2）x＜-2或者0＜x＜2；
（3）解：直线y=-3x向上平移9的单位得到直线的解析式为y=-3x+9
∴由题意得
解得或者
∴C（4，-3），D(-1，12)
令y=0可得-3x+9=0，得x=3
∴一次函数y=-3x+9与x轴的交点坐标为（3，0）
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（2）根据图象可得，x＜-2或者0＜x＜2
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得y，再将点B坐标代入即可得n值.
（2）当反比例函数图象在一次函数图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移性质可得直线y=-3x向上平移9的单位得到直线的解析式为y=-3x+9，联立直线与反比例函数解析式可得C（4，-3），D(-1，12)，根据x轴上点的坐标特征可得一次函数y=-3x+9与x轴的交点坐标为（3，0），再根据三角形面积即可求出答案.
23．（2024九下·广州模拟）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．
①求证：；
②若，，求的半径．
【答案】解：（1）如下图所示：
∵的外接圆的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，
∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；
（2）①如下图所示，连接OC、OB，
∵BD是的切线，
∴，
∵是对应的圆周角，是对应的圆心角，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如下图所示，连接CE，
∵与是对应的圆周角，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵AC=6，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先分别作出线段AC和AB的垂直平分线，交点即是外接圆的圆心O，再以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；
（2）①连接OC、OB，先利用圆周角的性质可得，再结合，可得，证出，再结合，证出即可；
②连接CE，先利用是的直径，可得，再结合，求出CE的长，再利用勾股定理可得，最后求出的半径为即可．
24．（2024九下·广州模拟）平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．
（1）用含的式子表示；
（2）求点的坐标；
（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．
【答案】解：（1）∵抛物线G：y=ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c-5a），
把A（1，c-5a）代入y=ax2+bx+c，得：c-5a=a+b+c，
解得：b=-6a；
（2）∵b=-6a，
∴抛物线为：y=ax2-6ax+c（0＜a＜12），
故抛物线的对称轴为：，
故顶点D在第四象限，
如图，当点B在点C的左边时，即x1＜x2，
则BH=CH，
故，
即，
解得：，
即，
解得：，
∴点E的坐标为；
当点B在点C的右边时，即x1＞x2，
同理求得：，
∴点E的坐标为；
综上：点E的坐标为或.
（3）∵，
故抛物线G的顶点D的坐标为，
∵直线DE与抛物线G：y=ax2-6ax+c的另一个交点F的横坐标为，
故点F的纵坐标为，
故点F的坐标为，
设直线DF的解析式为y=kx+m，
将，代入y=kx+m，
得：，
解得：，
故直线DF的解析式为：y=6x-18+c-9a，
当点E的坐标为时，
设直线DE的解析式为y=dx+n，
将，代入y=dx+n，
得：，
解得：，
故直线DE解析式为：y=（6+18a-2c）x+7c-63a-18，
∵直线DE与直线DF是同一直线，
∴6=6+18a-2c，
∴c=9a，
∴抛物线解析式为：y=ax2-6ax+9a，
当x=3时，y=0，当x=6时，y=9a，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
若1＜x＜6，则当x=3时，ymin=0，当x=6时，ymax=9a，
∴0≤y＜9a；
当点E的坐标为时，
设直线DE的解析式为y=ex+f，
将，代入y=ex+f，
得：，
解得：，
故直线DE解析式为：y=（2c-18a-6）x-5c+45a+18，
∵直线DE与直线DF是同一直线，
∴6=2c-18a-6，
∴c=-9a，
∴抛物线解析式为：y=ax2-6ax-9a，
∵a＞0，
故c＜0，
即抛物线与y轴交于负半轴，故点F在第二象限，故舍去；
综上，当1＜x＜6时，有0≤y＜9a.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把A（1，c-5a）代入y=ax2+bx+c，即可求解；
（2）结合（1）结论，求出抛物线的解析式，得出对称轴，分为x1＜x2，和x1＞x2两种情况，得出，即可求出EH的值，即可求解；
（3）先求出点F的坐标，待定系数法求出直线DF解析式，根据（2）中点E的坐标，待定系数法求出直线DE解析式，即可列出方程，求出c与a的关系，再结合图象求出最值即可.
25．（2024九下·广州模拟）如图，菱形的对角线相交于点O，且，．
（1）求的长；
（2）点E在线段上，且，点F为线段上一动点．
①当时，求四边形的面积；
②记的最小值为a，的最小值为b，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形是菱形，且，，∴，，，
．
在中，，
∴，
∴．
∴．
（2）①如图，连接，设，∵，
∴，
在中，，
∴，，
即，
解得：（舍），．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴．
．
∴．
∴四边形的面积是．
②如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．
∵，，
∴．
∴，
∴在中，．
∴．
∴当E、F、G共线时，的值最小，此时．
∴，
∴四边形是矩形．
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∴．
∴当A、F、H共线时，的值最小．
在中，，
∴．
∴．
∴的值为81．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据四边形是菱形，且，，得出，，，．在中，根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理算出，即可解答；
（2）①如图，连接，设，在中，根据，得出，根据勾股定理即可解出，．证明，即可得出，．算出，，再根据即可计算；
②如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．证出，在中，根据直角三角形的性质得出，根据，得出当E、F、G共线时，的值最小，此时，证出四边形是矩形，即可得出，．证明，得出，得出当A、F、H共线时，的值最小，在中，根据定理得出，即可算出，即可解答．
1 / 12024年广东省广州市协和中学中考二模数学试题
1．（2024九下·广州模拟）下列实数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．3
2．（2024九下·广州模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·广州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．2a－a＝1
C． D．
4．（2024九下·广州模拟）如图，已知直线a//b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．（2024九下·广州模拟）若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（　　）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
6．（2024九下·广州模拟）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（　　）
A．
B．
C．点A，O，三点在同一条直线上
D．
7．（2024九下·广州模拟）某学习小组的5名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、89分，则下列结论正确的是（　　）
A．平均分是91 B．众数是94 C．中位数是90 D．极差是8
8．（2024九下·广州模拟）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，已知AC＝6，BC＝4，则的周长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2024九下·广州模拟）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则 （　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·广州模拟）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（　　）．
A．3 B． C． D．2
11．（2024九下·广州模拟）的算术平方根是　 　
12．（2024九下·广州模拟）已知，则　 　．
13．（2024九下·广州模拟）已知反比例函数，当时，y的取值范围是　 　．
14．（2024九下·广州模拟）若，，是的三边，试化简：　 　．
15．（2024九下·广州模拟）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为　 　米．(结果保留整数，参考数据，，)
16．（2024九下·广州模拟）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为　 　．
17．（2024九下·广州模拟）解不等式组：
18．（2024九下·广州模拟）如图，B是的中点，，.求证：．
19．（2024九下·广州模拟）先化简，再求值：，请从1，2，3中选一个作为x的值．
20．（2024九下·广州模拟）某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．
组别 锻炼时间（分钟） 频数（人） 百分比
A 50
B m
C 40 p
D n
请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若制成扇形统计图，则C组所对应的圆心角为______°；
（3）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？
21．（2024九下·广州模拟）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.
（1）求与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
22．（2024九下·广州模拟）已知反比例函数y的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象交于点A（2，﹣6）和点B（n，6）．
（1）求m和n的值．
（2）请直接写出不等式3x的解集．
（3）将正比例函数y＝﹣3x图象向上平移9个单位后，与反比例函数y的图象交于点C和点D．求△COD的面积．
23．（2024九下·广州模拟）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．
①求证：；
②若，，求的半径．
24．（2024九下·广州模拟）平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．
（1）用含的式子表示；
（2）求点的坐标；
（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．
25．（2024九下·广州模拟）如图，菱形的对角线相交于点O，且，．
（1）求的长；
（2）点E在线段上，且，点F为线段上一动点．
①当时，求四边形的面积；
②记的最小值为a，的最小值为b，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
π≈3.14，≈1.414，|-2|=2，
3.14＞3＞2＞1.414
π＞3＞|-2|＞
故π最大。
故答案为：A．
【分析】本题考查实数的大小比较，需要记住常用的无理数的近似数，然后排序即可。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．存在直线使得图形沿着直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
3．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 ，原计算正确，故此选项符合题意；
D、 ，原计算错误，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、幂的乘方分别进行计算，然后判断即可.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵直线a∥b，∠1=60°，
∴∠3=∠1=60°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=60°，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，
∴△＜0，
∴△=4-4（-m）=4+4m＜0，
∴m＜-1，
∴m+1＜1-1，即m+1＜0，
m-1＜-1-1，即m-1＜-2，
∴一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第一象限，
选D．
【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2+4m＜0，解得m＜-1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=（m+1）x+m-1图象经过的象限
6．【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
A．，故不正确；
B．，正确；
C．点A，O，三点在同一条直线上，正确；
D．，正确；
故答案为：A．
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：A、平均分为：（94+98+90+94+89）÷5＝93（分），故此选项不符合题意；
B、94分、98分、90分、94分、89分中，众数是94分．故此选项符合题意；
C、五名同学成绩按大小顺序排序为：89，90，94，94，98，故中位数是94分，故此选项不符合题意；
D、极差是98﹣89＝9，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】直接利用平均数、众数、中位数及极差的定义分别求解，然后判断即可.
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∵AC=6，
∴AD+CD=6，
∴CD+BD=6，
∵BC=4，
∴的周长是CD+BD+BC=6+4=10，
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线得出AD=BD，再根据边之间的关系可得CD+BD=6，再根据三角形周长即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，可得共有 种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个班次，所以由题意得： ÷(24÷8)=70
解得：x=21，即有21名护士.
故答案为：C.
【分析】共x人，每2人一班，轮流值班，则有 种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以8=每天3个班，所以总组合数除以3可得出最长需要的天数，解方程即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—构造直角三角形；二次函数-面积问题
11．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵=9，
又∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
12．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵．
∴，
故答案为：．
【分析】化简代数式，再整体代入即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴此函数图象的两个分支位于一、三象限，在每一个象限内随着的增大而减小，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；不等式的性质；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，，是的三边，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
【分析】先利用三角形三边的关系可得，，再利用绝对值的性质去掉绝对值，最后合并同类项即可.
15．【答案】438
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意得，，
在中，，
（米），
在中，，
则（米），
则（米），
故答案是：．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∵∠ADC＝90°，CD=2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，先利用等腰直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式及等面积法求出，再证出△DEF∽△BEC，利用相似三角形的性质可得，即，求出，再结合，利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
17．【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
18．【答案】证明：∵B是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由线段中点的性质可得，由平行线的性质“两直线平行同位角相等”可得，结合已知用边角边可证 ABC≌ BDE，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”即可求解．
19．【答案】解：
∵从1，2，3中选一个作为x的值，且
∴把代入，得出．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的乘除，结合平方差公式，完全平方公式化简，再根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
20．【答案】（1）解：调查的总人数为：（人），
B组的人数为：（人），
D组的人数为：（人），
补全条形统计图，如图所示：
（2）72
（3）解：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有：
（人）．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）C组所对应的圆心角为：；
【分析】（1）根据统计表用A组人数除以其所占的百分比计算出总人数，然后求出m、n的值，再补全条形统计图即可；
（2）用C组所占的百分比乘以即可求解；
（3）先算出样本中每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占百分比，再乘以全校人数即可求得．
21．【答案】（1）解：当时，
设，
将代入，
可得：，
∴，
∴；
当时，
设，
将点，代入，
可得，
解得：，
∴.
（2）解：当时，，
解得：；
当时，，
解得：，
∵，
∴选甲家商店能购买该水果更多一些．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）结合函数图象中的数据利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将代入，求出x的值；再将代入，求出x的值，最后比较大小即可.
22．【答案】（1）解：∵y 经过点A（2，-6）
∴-6=
∴m=-10
∵y过点B（n，6）
∴6n=-12
∴n=-2
（2）x＜-2或者0＜x＜2；
（3）解：直线y=-3x向上平移9的单位得到直线的解析式为y=-3x+9
∴由题意得
解得或者
∴C（4，-3），D(-1，12)
令y=0可得-3x+9=0，得x=3
∴一次函数y=-3x+9与x轴的交点坐标为（3，0）
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（2）根据图象可得，x＜-2或者0＜x＜2
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得y，再将点B坐标代入即可得n值.
（2）当反比例函数图象在一次函数图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移性质可得直线y=-3x向上平移9的单位得到直线的解析式为y=-3x+9，联立直线与反比例函数解析式可得C（4，-3），D(-1，12)，根据x轴上点的坐标特征可得一次函数y=-3x+9与x轴的交点坐标为（3，0），再根据三角形面积即可求出答案.
23．【答案】解：（1）如下图所示：
∵的外接圆的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，
∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；
（2）①如下图所示，连接OC、OB，
∵BD是的切线，
∴，
∵是对应的圆周角，是对应的圆心角，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如下图所示，连接CE，
∵与是对应的圆周角，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵AC=6，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先分别作出线段AC和AB的垂直平分线，交点即是外接圆的圆心O，再以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；
（2）①连接OC、OB，先利用圆周角的性质可得，再结合，可得，证出，再结合，证出即可；
②连接CE，先利用是的直径，可得，再结合，求出CE的长，再利用勾股定理可得，最后求出的半径为即可．
24．【答案】解：（1）∵抛物线G：y=ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c-5a），
把A（1，c-5a）代入y=ax2+bx+c，得：c-5a=a+b+c，
解得：b=-6a；
（2）∵b=-6a，
∴抛物线为：y=ax2-6ax+c（0＜a＜12），
故抛物线的对称轴为：，
故顶点D在第四象限，
如图，当点B在点C的左边时，即x1＜x2，
则BH=CH，
故，
即，
解得：，
即，
解得：，
∴点E的坐标为；
当点B在点C的右边时，即x1＞x2，
同理求得：，
∴点E的坐标为；
综上：点E的坐标为或.
（3）∵，
故抛物线G的顶点D的坐标为，
∵直线DE与抛物线G：y=ax2-6ax+c的另一个交点F的横坐标为，
故点F的纵坐标为，
故点F的坐标为，
设直线DF的解析式为y=kx+m，
将，代入y=kx+m，
得：，
解得：，
故直线DF的解析式为：y=6x-18+c-9a，
当点E的坐标为时，
设直线DE的解析式为y=dx+n，
将，代入y=dx+n，
得：，
解得：，
故直线DE解析式为：y=（6+18a-2c）x+7c-63a-18，
∵直线DE与直线DF是同一直线，
∴6=6+18a-2c，
∴c=9a，
∴抛物线解析式为：y=ax2-6ax+9a，
当x=3时，y=0，当x=6时，y=9a，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
若1＜x＜6，则当x=3时，ymin=0，当x=6时，ymax=9a，
∴0≤y＜9a；
当点E的坐标为时，
设直线DE的解析式为y=ex+f，
将，代入y=ex+f，
得：，
解得：，
故直线DE解析式为：y=（2c-18a-6）x-5c+45a+18，
∵直线DE与直线DF是同一直线，
∴6=2c-18a-6，
∴c=-9a，
∴抛物线解析式为：y=ax2-6ax-9a，
∵a＞0，
故c＜0，
即抛物线与y轴交于负半轴，故点F在第二象限，故舍去；
综上，当1＜x＜6时，有0≤y＜9a.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把A（1，c-5a）代入y=ax2+bx+c，即可求解；
（2）结合（1）结论，求出抛物线的解析式，得出对称轴，分为x1＜x2，和x1＞x2两种情况，得出，即可求出EH的值，即可求解；
（3）先求出点F的坐标，待定系数法求出直线DF解析式，根据（2）中点E的坐标，待定系数法求出直线DE解析式，即可列出方程，求出c与a的关系，再结合图象求出最值即可.
25．【答案】（1）解：∵四边形是菱形，且，，∴，，，
．
在中，，
∴，
∴．
∴．
（2）①如图，连接，设，∵，
∴，
在中，，
∴，，
即，
解得：（舍），．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴．
．
∴．
∴四边形的面积是．
②如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．
∵，，
∴．
∴，
∴在中，．
∴．
∴当E、F、G共线时，的值最小，此时．
∴，
∴四边形是矩形．
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∴．
∴当A、F、H共线时，的值最小．
在中，，
∴．
∴．
∴的值为81．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据四边形是菱形，且，，得出，，，．在中，根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理算出，即可解答；
（2）①如图，连接，设，在中，根据，得出，根据勾股定理即可解出，．证明，即可得出，．算出，，再根据即可计算；
②如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．证出，在中，根据直角三角形的性质得出，根据，得出当E、F、G共线时，的值最小，此时，证出四边形是矩形，即可得出，．证明，得出，得出当A、F、H共线时，的值最小，在中，根据定理得出，即可算出，即可解答．
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