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广东省广州市华侨外国语学校2024年中考二模数学试题
1．（2024·广州模拟）-2的倒数是（　　）
A．-2 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】-2的倒数是-
故答案为：B
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，即可求解。
2．（2024·广州模拟）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层是个小正方形，第二层右边个小正方形，
故答案为：D．
【分析】利用三视图的定义及特征分析求解即可.
3．（2024·广州模拟）不等式的解集在数轴上表示为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
．
在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
【分析】本题考查一元一次不等式的解法即在数轴上表示不等式的解集。根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围可得：，在数轴上表示出不等式可选出答案．
4．（2024·广州模拟）2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分.为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训练，现葵城中学七（1）班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6则这组数据的中位数是（　　）.
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：根据题意，把统计数据分别为7，12，10，6，9，6进行排序（小到大）得出6，6，7，9，10，12，
∵数据有6个，为偶数个，
∴取中间两个数的平均数：，
∴中位数为，
故答案为：C．
【分析】先将数据从小到大排列，再利用中位数的定义及计算方法分析求解即可.
5．（2024·广州模拟）下列运算正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2（a-1）=2a-2，故此选项计算正确，符合题意；
B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意；
C、3a+2a=5a，故此选项计算错误，不符合题意；
D、（ab）2=a2b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据去括号法则（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），即可判断A选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
6．（2024·广州模拟）有两辆车按编号，张、李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐号车的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图为：
由树状图可得，共有种等可能的结果，其中两位老师同坐号车的结果数为，
∴两位老师同坐号车的概率是，
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出总的结果数和两位老师同坐号车的结果数，利用概率公式计算即可求解.
7．（2024·广州模拟）一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，
∴k＜0．
∵b＜0，
∴此函数的图象经过第二、三‘四象限，不经过第一象限．
故选A．
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
8．（2024·广州模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图象在一次函数图象下方，
即当时，的取值范围是或，
故选：C．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．观察图像可得：两个函数相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，据此可得当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数下方图象对应的的取值范围，进而可选出答案．
9．（2024·广州模拟）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，，则等于（　　）
A．6 B．4 C． D．3
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵切于点C，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，根据切线性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据勾股定理可得，，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
10．（2024·广州模拟）已知抛物线 （ 是常数， ）经过点 ，当 时，与其对应的函数值 ．有下列结论：① ；②关于x的方程 有两个不等的实数根；③ ．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵抛物线 （ 是常数， ）经过点 ，当 时，与其对应的函数值 ．
∴c=1＞0，a-b+c= -1，4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2，2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，
∵ ，
∴△= = ＞0，
∴ 有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
故答案为：D．
【分析】①当x=0时，c=1，由点（-1，-1）得a=b-2，由x=-2时，与其对应的函数值y＞1可得b＞4，进而得出abc＞0，据判断即可；②将a=b-2，c=1代入方程，根据根的判别式即可判断；③将a=b-2，c=1代入a+b+c，求解后即可判断.
11．（2024·广州模拟）4的算术平方根是　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
12．（2024·广州模拟）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ；
故答案为 ．
【分析】先提取公因式5，再利用平方差公式因式分解即可。
13．（2024·广州模拟）圆的一条弦所对圆心角是，则劣弧所对的圆周角为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：弦所对的圆心角是，
∴劣弧所对圆心角是，
劣弧所对的圆周角为，
故答案为：．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
14．（2024·广州模拟）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是　 　.
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴
=
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3.
【分析】由一元二次方程的根的意义和根与系数的关系可得，，即，再整体代换即可求解.
15．（2024·广州模拟）如图，圆锥的母线与底面半径的夹角为，，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是　 　．
【答案】216
【知识点】圆锥的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，
，
则令，，
．
令圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为，
则，
解得，
所以圆锥侧面展开扇形的圆心角是．
故答案为：216．
【分析】根据正切定义可得，令，，根据勾股定理可得AB=5m，圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为，结合圆锥侧面展开图的性质建立方程，解方程即可求出答案.
16．（2024·广州模拟）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，
（1）当，则　 　
（2）当最大时，　 　
【答案】；3
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴由勾股定理得：，，
∴，
故答案为：；
②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点O为中点，
∴，
∴由勾股定理得，
∵，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴的最大值转化为的最大值，
∵，
∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，
∵，
∴当三点共线时，取得最大值为18，
∴．
故答案为：3．
【分析】①根据矩形性质可得，，再根据勾股定理可得AM，DM，再根据边之间的关系即可求出答案.
②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，根据矩形性质可得，，根据勾股定理可得OC=10，则，再根据矩形性质可得，由相似三角形判定定理可得，，则，即的最大值转化为的最大值，
由，知点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，由，故当三点共线时，取得最大值为18，故．
17．（2024·广州模拟）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，立方根．先计算出三角函数值可求出的值，再利用立方根的定义可求出的值，利用零次幂的定义可求出的值，应用有理数的乘方可求出的值，据此可得：原式，再进行计算可求出答案.
18．（2024·广州模拟）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】考查平行四边形的判定与性质.利用平行四边形的性质可得：，，利用线段的运算可证明，再根据，利用平行四边形的判定可证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证明结论.
19．（2024·广州模拟）已知
（1）化简T．
（2）若a为二次函数的最小值，求此时的T值．
【答案】（1）解：
，
∴．
（2）解：，
∴二次函数的最小值为3，
∴，
∴．
【知识点】分式的化简求值；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可；
（2）先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得最小值，从而可得a的值，最后将a的值代入计算即可.
20．（2024·广州模拟）某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为．
分段 成绩范围 频数 频率
A a m
B 20 b
C c
D 70分以下 10 n
（1）在统计表中，______，______，______；
（2）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）5，0.4，15
（2）解：∵A段共有5人，男生比女生少1人
∴设A段女生有x人，则男生有（x-1）人
∴x+x-1=5
∴x=3
∴x-1=2
即段有男生2人，女生3人，记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1
男1男2 男1女1 男1女2 男1女3
男2 男2男1
男2女1 男2女2 男2女3
女1 女1男1 女1男2
女1女2 女1女3
女2 女2男1 女2男2 女2女1
女2女3
女3 女3男1 女3男2 女3女1 女3女2
任选2人参加复赛共20种结果，并且它们出现的可能性相等，
其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，
∴恰好选到1名男生和1名女生的概率P=．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）解：∵D段所对应扇形圆心角为72°∴D段所对应的频率
∴总人数为：（人，
∴C段的频数：（人，
B段对应的频率：
∴A段的频数：（人，
故答案为：5，0.4，15；
【分析】
本题主要考查了频数和频率的关系，以及概率的求法，解题的关键是熟练掌握概率公式，即随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数。
（1）在扇形统计图中，整个圆的圆心角是360°，各部分扇形圆心角度数与360°的比值=该部分在总体中所占的频率，根据扇形统计图中D段对应扇形圆心角为，可得出D段的频率，根据D段频数为10和频率计算公式：频率=频数÷总数，可得出总人数为：（人，再根据C段频率为0.3和频数计算公式：频数=频率×总数，可得出：C段的频数：（人，根据B段频数为20，总人数为50和频率计算公式：频率=频数÷总数，可得出总人数为： B段对应的频率： ，最后根据总人数50人，B段频数为20，C段频数为15人，D段频数为10人，从而得出A段频数（人，即可得出答案；
（2）根据第（1）问可知：A段共有5人，由男生比女生少1人，可设女生有x人，则男生有x-1人，根距男生比女生少1人可列出关于x的一元一次方程：x+x-1=5，解得x=3，说明女生有3人，男生有2人根据男女生人数可列表格可知：任选2人参加复赛共20种结果，并且它们出现的可能性相等，其中其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，然后根据概率计算公式，代入数据即可得出答案．
21．（2024·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，与轴相交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点的直线交反比例函数的图象于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）解：将点代入中，
得：，
解得：，
，
将代入反比例函数中，得：，
解得：，
反比例函数表达式为：；
（2）如图，过点作轴于点，
，
，
在中，令，则，
解得：，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
，
，
设直线的表达式为：，将，代入，
得：，
解得：，
直线的表达式为：，
联立，
解得：（舍去）或，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）过点作轴于点，则，根据x轴上点的坐标特征，令y=0代入一次函数解析式可得，根据两点间距离可得，再根据等腰三角形性质可得，则，设直线的表达式为：，根据待定系数法将点A，D坐标代入直线解析式可得直线的表达式为：，再联立反比例函数解析式，解方程组即可求出答案.
22．（2024·广州模拟）某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少．
（1）“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元，
①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；
②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，
根据题意得：
解得，
经检验，是原方程的解，且符合实际意义，
元，
答：“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元；
（2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，
则，
与的函数关系式为；
②∵购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，
，
解得，
，，是正整数，
当时，最大，最大值为，
答：购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，根据同样花费元，购进“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个．列出方程，解方程即可求出答案.
（2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可.
②根据购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半求出的取值范围，结合一次函数的性质即可求出答案.
23．（2024·广州模拟）如图，在中，是钝角．
（1）尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出圆，使其过两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，若，，．
求证：是圆的切线；
求圆的半径长；
【答案】（1）解：点如图所示：
（2）证明：如图所示，连接，
是直径，
即，
又是半径，
是的切线；
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
∴圆的半径长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）作出线段的垂直平分线确定圆心，再作出圆即可求解；
（2）①连接，根据圆周角定理可得，再根据等边对等角可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
②根据相似三角形判定定理可得，则，根据圆周角定理可得，再根据正切定义可得，则，再根据边之间的关系可得，即可求出答案.
24．（2024·广州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点为．
（1）直接写出点的坐标：　 　（用含的式子表示）；
（2）若过点作平行轴的直线交抛物线于点，（在的左边，在的右边），，求的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，将直线向上平移与抛物线分别交于、，与y轴交于，（在的左边，在的右边），且，当点关于直线的对称点在直线的上方时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：令，则
即，
设点的横坐标为，点的横坐标为，根据题意可得
，
解得，
又，
∴，
即，
∵，
∴当时，的最小值为；

（3）解：∵的坐标为，，
∴到的距离为
当关于的对称点在上时，
则
设，则
设、的横坐标为，则是方程即的两根，
∴
解得：
∴
又，
∴
解得：或（因为抛物线开口向上，，舍去）
即当关于的对称点在上时，
在（2）中，当，
∴当点关于直线的对称点在直线的上方时，

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）抛物线的对称轴为，
将代入抛物线，得
所以，点的坐标为
【分析】（1）抛物线的对称轴为，将代入抛物即可求出答案.
（2）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据题意可得，根据二次方程根与系数的关系可得，则，化简即可求出答案.
（3）根据点到直线的距离可得到的距离为，当关于的对称点在上时，则，设，则，设、的横坐标为，则是方程即的两根，可得，化简可得，再建立方程，解方程即可求出答案.
25．（2024·广州模拟）如图，在等腰直角三角形中，，，D、E分别是、上一点，且；
（1）如图1，当时，求的长度．
（2）如图2，过点E作，交于点F，作，交于点G，求证：．
（3）连接，当的长度最小时，求的面积．
【答案】（1）解：如图1：过D作交于S，设，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由题意知，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
如图2，连接，
图2
∵，，，
∴，
∴，，
设，则，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四点共圆，
如图2，作的外接圆，延长交的外接圆于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接，作于，
图3
由题意知，，，
由（2）可知，，
设，则，，，
由勾股定理得，，
∵，
∴当时，最小，即最小，
∵，
∴最小时，，
∴当的长度最小时，的面积为．
【知识点】二次函数的最值；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过D作交于S，设，根据等腰三角形性质可得，再根据正切，余弦定义及特殊角的三角函数值可得，，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据余弦定义即特殊角答三角函数值可得，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据边之间的关系可得，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，，，，，再根据角之间的关系可得，则四点共圆，作的外接圆，延长交的外接圆于，连接，根据等校对等边可得，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接，作于，根据正弦，余弦定义及特殊角的三角函数值可得，，设，则，，，根据勾股定理可得，结合二次函数的性质可得当时，最小，即最小，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1广东省广州市华侨外国语学校2024年中考二模数学试题
1．（2024·广州模拟）-2的倒数是（　　）
A．-2 B． C． D．2
2．（2024·广州模拟）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·广州模拟）不等式的解集在数轴上表示为（　　）．
A． B．
C． D．
4．（2024·广州模拟）2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分.为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训练，现葵城中学七（1）班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6则这组数据的中位数是（　　）.
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2024·广州模拟）下列运算正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
6．（2024·广州模拟）有两辆车按编号，张、李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐号车的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·广州模拟）一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2024·广州模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
9．（2024·广州模拟）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，，则等于（　　）
A．6 B．4 C． D．3
10．（2024·广州模拟）已知抛物线 （ 是常数， ）经过点 ，当 时，与其对应的函数值 ．有下列结论：① ；②关于x的方程 有两个不等的实数根；③ ．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2024·广州模拟）4的算术平方根是　 　．
12．（2024·广州模拟）分解因式： 　 　．
13．（2024·广州模拟）圆的一条弦所对圆心角是，则劣弧所对的圆周角为　 　．
14．（2024·广州模拟）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是　 　.
15．（2024·广州模拟）如图，圆锥的母线与底面半径的夹角为，，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是　 　．
16．（2024·广州模拟）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，
（1）当，则　 　
（2）当最大时，　 　
17．（2024·广州模拟）计算：
18．（2024·广州模拟）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：．
19．（2024·广州模拟）已知
（1）化简T．
（2）若a为二次函数的最小值，求此时的T值．
20．（2024·广州模拟）某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为．
分段 成绩范围 频数 频率
A a m
B 20 b
C c
D 70分以下 10 n
（1）在统计表中，______，______，______；
（2）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
21．（2024·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，与轴相交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点的直线交反比例函数的图象于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标．
22．（2024·广州模拟）某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少．
（1）“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元，
①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；
②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
23．（2024·广州模拟）如图，在中，是钝角．
（1）尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出圆，使其过两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，若，，．
求证：是圆的切线；
求圆的半径长；
24．（2024·广州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点为．
（1）直接写出点的坐标：　 　（用含的式子表示）；
（2）若过点作平行轴的直线交抛物线于点，（在的左边，在的右边），，求的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，将直线向上平移与抛物线分别交于、，与y轴交于，（在的左边，在的右边），且，当点关于直线的对称点在直线的上方时，求的取值范围．
25．（2024·广州模拟）如图，在等腰直角三角形中，，，D、E分别是、上一点，且；
（1）如图1，当时，求的长度．
（2）如图2，过点E作，交于点F，作，交于点G，求证：．
（3）连接，当的长度最小时，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】-2的倒数是-
故答案为：B
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，即可求解。
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层是个小正方形，第二层右边个小正方形，
故答案为：D．
【分析】利用三视图的定义及特征分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
．
在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
【分析】本题考查一元一次不等式的解法即在数轴上表示不等式的解集。根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围可得：，在数轴上表示出不等式可选出答案．
4．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：根据题意，把统计数据分别为7，12，10，6，9，6进行排序（小到大）得出6，6，7，9，10，12，
∵数据有6个，为偶数个，
∴取中间两个数的平均数：，
∴中位数为，
故答案为：C．
【分析】先将数据从小到大排列，再利用中位数的定义及计算方法分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2（a-1）=2a-2，故此选项计算正确，符合题意；
B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意；
C、3a+2a=5a，故此选项计算错误，不符合题意；
D、（ab）2=a2b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据去括号法则（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），即可判断A选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
6．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图为：
由树状图可得，共有种等可能的结果，其中两位老师同坐号车的结果数为，
∴两位老师同坐号车的概率是，
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出总的结果数和两位老师同坐号车的结果数，利用概率公式计算即可求解.
7．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，
∴k＜0．
∵b＜0，
∴此函数的图象经过第二、三‘四象限，不经过第一象限．
故选A．
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
8．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图象在一次函数图象下方，
即当时，的取值范围是或，
故选：C．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．观察图像可得：两个函数相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，据此可得当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数下方图象对应的的取值范围，进而可选出答案．
9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵切于点C，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，根据切线性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据勾股定理可得，，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵抛物线 （ 是常数， ）经过点 ，当 时，与其对应的函数值 ．
∴c=1＞0，a-b+c= -1，4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2，2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，
∵ ，
∴△= = ＞0，
∴ 有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
故答案为：D．
【分析】①当x=0时，c=1，由点（-1，-1）得a=b-2，由x=-2时，与其对应的函数值y＞1可得b＞4，进而得出abc＞0，据判断即可；②将a=b-2，c=1代入方程，根据根的判别式即可判断；③将a=b-2，c=1代入a+b+c，求解后即可判断.
11．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ；
故答案为 ．
【分析】先提取公因式5，再利用平方差公式因式分解即可。
13．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：弦所对的圆心角是，
∴劣弧所对圆心角是，
劣弧所对的圆周角为，
故答案为：．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
14．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴
=
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3.
【分析】由一元二次方程的根的意义和根与系数的关系可得，，即，再整体代换即可求解.
15．【答案】216
【知识点】圆锥的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，
，
则令，，
．
令圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为，
则，
解得，
所以圆锥侧面展开扇形的圆心角是．
故答案为：216．
【分析】根据正切定义可得，令，，根据勾股定理可得AB=5m，圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为，结合圆锥侧面展开图的性质建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】；3
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴由勾股定理得：，，
∴，
故答案为：；
②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点O为中点，
∴，
∴由勾股定理得，
∵，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴的最大值转化为的最大值，
∵，
∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，
∵，
∴当三点共线时，取得最大值为18，
∴．
故答案为：3．
【分析】①根据矩形性质可得，，再根据勾股定理可得AM，DM，再根据边之间的关系即可求出答案.
②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，根据矩形性质可得，，根据勾股定理可得OC=10，则，再根据矩形性质可得，由相似三角形判定定理可得，，则，即的最大值转化为的最大值，
由，知点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，由，故当三点共线时，取得最大值为18，故．
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，立方根．先计算出三角函数值可求出的值，再利用立方根的定义可求出的值，利用零次幂的定义可求出的值，应用有理数的乘方可求出的值，据此可得：原式，再进行计算可求出答案.
18．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】考查平行四边形的判定与性质.利用平行四边形的性质可得：，，利用线段的运算可证明，再根据，利用平行四边形的判定可证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证明结论.
19．【答案】（1）解：
，
∴．
（2）解：，
∴二次函数的最小值为3，
∴，
∴．
【知识点】分式的化简求值；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可；
（2）先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得最小值，从而可得a的值，最后将a的值代入计算即可.
20．【答案】（1）5，0.4，15
（2）解：∵A段共有5人，男生比女生少1人
∴设A段女生有x人，则男生有（x-1）人
∴x+x-1=5
∴x=3
∴x-1=2
即段有男生2人，女生3人，记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1
男1男2 男1女1 男1女2 男1女3
男2 男2男1
男2女1 男2女2 男2女3
女1 女1男1 女1男2
女1女2 女1女3
女2 女2男1 女2男2 女2女1
女2女3
女3 女3男1 女3男2 女3女1 女3女2
任选2人参加复赛共20种结果，并且它们出现的可能性相等，
其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，
∴恰好选到1名男生和1名女生的概率P=．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）解：∵D段所对应扇形圆心角为72°∴D段所对应的频率
∴总人数为：（人，
∴C段的频数：（人，
B段对应的频率：
∴A段的频数：（人，
故答案为：5，0.4，15；
【分析】
本题主要考查了频数和频率的关系，以及概率的求法，解题的关键是熟练掌握概率公式，即随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数。
（1）在扇形统计图中，整个圆的圆心角是360°，各部分扇形圆心角度数与360°的比值=该部分在总体中所占的频率，根据扇形统计图中D段对应扇形圆心角为，可得出D段的频率，根据D段频数为10和频率计算公式：频率=频数÷总数，可得出总人数为：（人，再根据C段频率为0.3和频数计算公式：频数=频率×总数，可得出：C段的频数：（人，根据B段频数为20，总人数为50和频率计算公式：频率=频数÷总数，可得出总人数为： B段对应的频率： ，最后根据总人数50人，B段频数为20，C段频数为15人，D段频数为10人，从而得出A段频数（人，即可得出答案；
（2）根据第（1）问可知：A段共有5人，由男生比女生少1人，可设女生有x人，则男生有x-1人，根距男生比女生少1人可列出关于x的一元一次方程：x+x-1=5，解得x=3，说明女生有3人，男生有2人根据男女生人数可列表格可知：任选2人参加复赛共20种结果，并且它们出现的可能性相等，其中其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，然后根据概率计算公式，代入数据即可得出答案．
21．【答案】（1）解：将点代入中，
得：，
解得：，
，
将代入反比例函数中，得：，
解得：，
反比例函数表达式为：；
（2）如图，过点作轴于点，
，
，
在中，令，则，
解得：，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
，
，
设直线的表达式为：，将，代入，
得：，
解得：，
直线的表达式为：，
联立，
解得：（舍去）或，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）过点作轴于点，则，根据x轴上点的坐标特征，令y=0代入一次函数解析式可得，根据两点间距离可得，再根据等腰三角形性质可得，则，设直线的表达式为：，根据待定系数法将点A，D坐标代入直线解析式可得直线的表达式为：，再联立反比例函数解析式，解方程组即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，
根据题意得：
解得，
经检验，是原方程的解，且符合实际意义，
元，
答：“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元；
（2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，
则，
与的函数关系式为；
②∵购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，
，
解得，
，，是正整数，
当时，最大，最大值为，
答：购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，根据同样花费元，购进“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个．列出方程，解方程即可求出答案.
（2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可.
②根据购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半求出的取值范围，结合一次函数的性质即可求出答案.
23．【答案】（1）解：点如图所示：
（2）证明：如图所示，连接，
是直径，
即，
又是半径，
是的切线；
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
∴圆的半径长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）作出线段的垂直平分线确定圆心，再作出圆即可求解；
（2）①连接，根据圆周角定理可得，再根据等边对等角可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
②根据相似三角形判定定理可得，则，根据圆周角定理可得，再根据正切定义可得，则，再根据边之间的关系可得，即可求出答案.
24．【答案】（1）
（2）解：令，则
即，
设点的横坐标为，点的横坐标为，根据题意可得
，
解得，
又，
∴，
即，
∵，
∴当时，的最小值为；

（3）解：∵的坐标为，，
∴到的距离为
当关于的对称点在上时，
则
设，则
设、的横坐标为，则是方程即的两根，
∴
解得：
∴
又，
∴
解得：或（因为抛物线开口向上，，舍去）
即当关于的对称点在上时，
在（2）中，当，
∴当点关于直线的对称点在直线的上方时，

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）抛物线的对称轴为，
将代入抛物线，得
所以，点的坐标为
【分析】（1）抛物线的对称轴为，将代入抛物即可求出答案.
（2）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据题意可得，根据二次方程根与系数的关系可得，则，化简即可求出答案.
（3）根据点到直线的距离可得到的距离为，当关于的对称点在上时，则，设，则，设、的横坐标为，则是方程即的两根，可得，化简可得，再建立方程，解方程即可求出答案.
25．【答案】（1）解：如图1：过D作交于S，设，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由题意知，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
如图2，连接，
图2
∵，，，
∴，
∴，，
设，则，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四点共圆，
如图2，作的外接圆，延长交的外接圆于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接，作于，
图3
由题意知，，，
由（2）可知，，
设，则，，，
由勾股定理得，，
∵，
∴当时，最小，即最小，
∵，
∴最小时，，
∴当的长度最小时，的面积为．
【知识点】二次函数的最值；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过D作交于S，设，根据等腰三角形性质可得，再根据正切，余弦定义及特殊角的三角函数值可得，，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据余弦定义即特殊角答三角函数值可得，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据边之间的关系可得，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，，，，，再根据角之间的关系可得，则四点共圆，作的外接圆，延长交的外接圆于，连接，根据等校对等边可得，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接，作于，根据正弦，余弦定义及特殊角的三角函数值可得，，设，则，，，根据勾股定理可得，结合二次函数的性质可得当时，最小，即最小，再根据三角形面积即可求出答案.
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