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江西省新余市2025届高三下学期第二次模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足其中为虚数单位，则在复平面上对应的点位于( )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
3.已知直线与直线平行，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切若圆台的侧面积为，上、下底面的面积之比为，则球的表面积为．
A. B. C. D.
8.若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药为了解该药的防治效果，科研人员选用了粒玉米种子其中一部分用该药做了处理进行试验，从中任选粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为未填写完整的列联表如下，则( )
抗病虫害 不抗病虫害 合计
种子经过该药处理
种子未经过该药处理
合计
附：．
A. 这粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有粒
B. 这粒玉米种子中抗病虫害的有粒
C. 的观测值约为
D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效
10.已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则( )
A. 存在公差为的等差数列，使得
B. 存在公比为的等比数列，使得
C. 若，则
D. 若，则
11.已知，，，，，，记当，，，中含，个时，所有不同值的个数记为下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则，
C. 对于任意奇数，
D. 对于任意整数，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，是椭圆：上的动点，若，则的最小值为________．
13.函数的最小值为 ．
14.已知正四面体的棱长为，动点满足，用所有这样的点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用人类反馈强化学习技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为．
在某次测试中输入了个问题，聊天机器人的回答有个被采纳，现从这个问题中抽取个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人的回答被采纳的概率为，求的值．
16.本小题分
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在线段上移动．
求证：直线 平面；
求与平面所成角的正弦值的最大值．
17.本小题分
已知点，分别为双曲线：的左、右焦点，过，的直线交双曲线于，两点，当直线的斜率不存在时，．
求双曲线的离心率；
过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程；
在的条件下，若点，分别为双曲线的左、右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上．
18.本小题分
已知函数．
若，求在处的切线方程；
设函数，讨论在区间上的单调性；
若存在两个极值点，，且，证明：．
19.本小题分
如图，已知给定线段长为，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，靠近，以为底边向外部作顶角为的等腰三角形依次类推，取的腰的三等分点，靠近，以为底边向外部作项角为的等腰三角形，得到三角形列
用表示出的外接圆半径
当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部
若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：由题可知的所有取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列：
则；
记“输入的问题没有语法错误”为事件，记“输入的问题有语法错误”为事件，
记“回答被采纳”为事件，
由已知得，，，，，，
所以由全概率公式得，
解得．
16.解：如图，在平面内，过点作，交于点，连接，，
由已知可得，，，
所以，，
所以，
所以．
又，所以．
因为平面，，平面，
所以平面．
同理可得，平面．
因为平面，平面，，
所以平面平面．
因为平面，所以直线平面．
由题知，平面．
又，
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，设，，
所以，，．
设是平面的一个法向量，
则，取，则是平面的一个法向量．
因为，．
设与平面所成的角为，
则，．
当时，
当时，
有
．
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以．
因为，所以．
综上所述，与平面所成角的正弦值的最大值为．
17.解：当直线的斜率不存在时，，
代入双曲线方程，可得，解得，
则，
所以，即，
整理得，解得或舍去．
故双曲线的离心率为．
双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为：
，即．
又，所以，
所以，即．
又，得，
代入，得，解得，
所以该双曲线的方程为．
易知，，
设直线的方程为，
与联立可得，
则．
设，
则，
则．
的方程为，
的方程为，
则
，
即，解得．
所以点在定直线上
18.解：时，，
，
，，
切线方程为：，即；
，．
当时，，所以在上为增函数．
当时，，
所以在上为增函数，上为减函数．
证明：因为，为的两个极值点，
所以有两个不等的根，由知，
不妨设，所以
得，即，
得，
，
所以
，
即，即，
，令，
设，因为，
所以函数在上为增函数，所以，
所以，所以，
即，所以，
综上所述，．
19.解：设的外接圆半径为，
由题意知，，，
又，则，
故的外接圆半径为；
设的外心为，外接圆半径为，的中点为，，
则，，，
注意到的中点也为，
故的中垂线与中垂线重合，
由题意知，，均在的中垂线上，
而，
，
故，
另一方面，，
故的外接圆内切于的外接圆，
从而的外接圆各点位于，的外接圆上或其内部，
反复使用结论可得，的外接圆位于外接圆上或其内部，
故各顶点均在外接圆上或其内部；
若满足题意，则位于在外接圆上或其内部，
故，
由知，
，，
由题意，，即，
解得，故，
当，同上可得，
由知，，，共线，故，即，
故，
故的外接圆位于外接圆上或其内部，
故各顶点均在外接圆上或其内部，
故的范围为
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