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浙江省宁波市2025届高三下学期高考模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列中，，记为的前项和，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知点，到同一直线的距离分别为，，若这样的直线恰有条，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为、、，内部装有毫升墨水将墨水瓶倾斜，使其一条长边置于水平地面，高边所在直线与水平地面成度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，其中，为的极小值点若在内有最大值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面说法正确的是( )
A. 若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
B. 若，，，是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
C. 已知是随机变量，则
D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于
10.国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片及其电子设备”的专利，该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量，降低电路的功耗，提高计算效率该专利蕴含的数学背景是一种以为基数，以，，为基本数码的计数体系对称三进制三进制数对应的十进制数为，其中，，，，，，，，，为了记号的方便，我们用表示数码，比如，，下面选项正确的是( )
A.
B.
C. 若，，，，，，，则
D. 存在唯一的，，，，，，，，使得成立
11.如图，在平行六面体中，，，，，，为中点，在线段上包含端点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得平面
B. 存在点，使得平面平面
C. 不存在点，使得
D. 不存在点，使得四棱锥有内切球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的常数项为 ．
13.在中，，，则 ．
14.关于的方程且有唯一实数解，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是与的交点．
若是的中点，证明：平面
求与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
在，，，，这个自然数中，任取个数．
求这个数中恰有个是偶数的概率
设为这个数中两数相邻的组数例如：若取出的数为，，，则有两组相邻的数，和，，此时的值是求随机变量的分布列及其数学期望．
17.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性
当时，恒成立，求的取值范围
求证：当时，．
18.本小题分
已知椭圆，点到椭圆上点的距离的最大值为．
求椭圆的方程
若过定点的直线交椭圆于点，，设点，直线与直线交于直线上一点，求直线的方程．
19.本小题分
设维向量，，定义运算：．
当时，若且，，试比较与的大小
已知，记，且，，，和，，均为，，，的某一排列．
求，
若，求提示：
参考答案
1.
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14.
15.证明：连结交于点，连结，
点是中点，点是中点，
是的中位线，即，
又平面，平面，
平面．
解：由题意，以原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系．
，，，，，，，，
，，，
设平面的法向量，
，
不妨令，则，，
，可得，
设与平面所成角为，则，，
即与平面所成角的正弦值为．

16.解：从个自然数中任意选三个共有种选择，恰有一个偶数的情况有种，故概率为．
当时，共有种当时，共有种当时，共有种的分布列如下：
所以
17.解：已知，
则，，
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
因为
所以．
设，
当时，，所以，
所以在上单调递减，
所以，不合题意，
当时，令，得，
所以当时，，即，
所以在上单调递减，所以，矛盾，
当时，，，
所以在上单调递增，所以，
综上，
由知，取，则，
令，有，
即，
所以，
即．
18.解：设椭圆上的点满足，
，
设，，
，二次函数开口向下，对称轴，
，解得或，
，，
即椭圆．
设直线，，，
由于对称性，不妨设，此时，直线，的斜率分别为，，
联立椭圆方程得，，
，
由韦达定理得，
，，
联立得，
因为直线与直线交于直线上一点，
所以，化简得，
即，化简得，
由求根公式可得，，
代入得，，
两边平方得，解得，即或舍去，
当时，，
由对称性可知当时，亦满足条件，此时，
综上所述，直线的方程为或．
19.解：，
所以．
先求，不妨设，，其中，，为，，的排列，
所以，
而可取的值为，，故，
再求，不妨设，，其中，，，为，，，的排列，
当时，，而可取，，故可取，，，
当时，，而可取，，，可取，，，，，
当时，，而可取，，，故可取，，，，，
当时，，而可取，，故可取，，，
综上．
由可得，若存在，，则不妨交换，，则会变大，
不妨设，则时，最小
时，最大，
所以中的元素均属于集合，
设表示集合且的元素个数，
即表示集合的元素个数，
下证，
当时，由知，我们考虑及，
因为中的最小元素为，最大元素为，
即中的元素均在中，
设，，其中，，，为，，，的任一排列，
则可能取值为，
即恰好没有覆盖到集合中的个元素，
当，，其中，，，为，，，的任一排列，
则，
故可能取值为，
即恰好没有覆盖到集合中个元素，
又因为当时，，
即，
又，
故不覆盖集合的元素至多有个，
故，
又因为，
所以，
所以．
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