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2025年上海市徐汇区高考数学二模试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、为两个随机事件，则“、为互斥事件”是“、为对立事件”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
2.在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为( )
A. B. C. D.
3.在桌面上有一个质地均匀的正四面体从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为现有下列两个结论：；则下列说法正确的是( )
A. 正确，错误 B. 错误，正确 C. 、都正确 D. 、都错误
4.已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如表：
设，若集合，其中，，为常数，则符合要求的集合的个数不可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知全集，，则 ______．
6.复数其中为虚数单位的虚部是______．
7.在空间直角坐标系中，向量，若，则 ______．
8.已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是______．
9.如图是一个列联表，则 ______．
总计
总计
10.已知，则的值为______．
11.已知平面，是直角三角形，且，，则点到直线的距离是______．
12.已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且，则的大小为______．
13.已知两个随机事件，，若，，，则 ______．
14.已知为双曲线的左焦点，是双曲线右支上一点，线段与以该双曲线实轴为直径的圆相切于线段的中点，则该双曲线的离心率为______．
15.如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料为了尽量减少对绿地的破坏不计路宽，则原直路与新直路的交叉点到的距离为______米
16.设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为和，高．
求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小；
现削去部分铁料不计损耗，将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部求削去部分与原正四棱台的体积之比．
18.本小题分
已知函数，其中
解关于的不等式；
若存在唯一的实数，使得，，依次成等差数列，求实数的取值范围．
19.本小题分
某公司生产的糖果每包标识“净含量”，但公司承认实际的净含量存在误差已知每包糖果的实际净含量单位：服从正态分布
随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过的概率精确到；
随机抽取包该公司生产的糖果，记其中净含量小于的包数为求的分布和期望精确到．
参考数据：，，，其中为标准正态分布函数．
20.本小题分
已知抛物线：，点是抛物线的焦点．
求点的坐标及点到准线的距离；
过点作相互垂直的两条直线，，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值；
过点且斜率为的直线交抛物线于、两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值．
21.本小题分
对于函数，记，，，如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”．
已知函数，其中，求证：对任意实数，，，都有；
设，，，若函数的最小导周期为，记，当实数，变化时，求的最小值；
设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：设正方形，的中心分别为，，连接，
则平面，
分别取，的中点，，连接，，，
则，．
又，分别为等腰梯形底边，的中点，所以，
由，可得四边形是一个直角梯形，
，又，
所以为侧面与底面所成二面角的平面角，
因为正四棱台上、下底面的边长分别为和，高．
则，
所以．
所以侧面与底面所成二面角的大小为；
设圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高，
则圆台的体积为．
又正四棱台的体积，
所以削去部分的体积，
所以削去部分与正四棱台的体积之比为．
18.解：函数为单调增函数，
则，
解得；
若存在唯一的实数，使得，，依次成等差数列，
即，也就是方程恰有一个实数解，
即在上恰有一个实数解．
等价于在上恰有一个实数解．
即在上恰有一个实数解．
令，则在上恰有一个实数解．
关于的二次函数在上的图象如图：
由图可知，时只有一个交点．
．
19.解：由题意，，
令，则，
因此，
故净含量误差超过的概率约为；
由题意可知，可能的取值为、、、，
由可知，任取一包糖果，净含量小于的概率为，
故服从二项分布，的所有可能取值为，，，，
则，，，，
所以的分布列为：

所以．
20.解：易知，
解得，
因为点是抛物线的焦点，
所以，点到准线的距离为；
证明：易知直线，的斜率存在且不等于并过点，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
，
同理得，
则；
直线的方程为，
联立，
解得或，
令，
此时，，
在中，，
在中，，
因为，，
所以
设，
此时，
整理得，
所以点在以点为圆心，为半径的圆上除去与直线的两个交点，
因为圆心在直线上，
所以点到直线距离的最大值为．
故面积最大值．
21.解：证明：因为，
，
，
，
所以对任意实数，，，都有；
因为，且函数的最小导周期为，
所以，，
由题意知，对任意实数恒成立，
令，则，即，
令，则，则，
所以，或，；
若，，
则，，
最小导周期为，不是，与已知矛盾；
若，，
则，，，
最小导周期为，符合要求，
所以．
又因为
，
可视为点与点之间的距离，
当实数，变化时，
点在直线上运动，点在曲线上运动，
因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值，
而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切，
则切点到直线的距离即为所求．
设切点，
因为，
切线斜率，得，
所以切点为，
又因为点到直线距离，
即的最小值为；
证明：因为，，
记，即．
由在上恒成立及存在使，
可知是函数的极大值点，
于是，
则，
又，
则，
由，得，则，
又因为，
所以，
由，得，
又因为，
所以
，
有，于是，
所以．
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