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2025年云南省保山市腾冲五中高考数学一模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.函数与函数的图像如图和图，则函数的图像可能是( )
A. B.
C. D.
4.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.双曲线的左、右焦点分别为、过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知一个圆锥的底面半径为，其侧面面积是底面面积的倍，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则的值域是( )
A. B. C. D.
8.已知实数，满足，则下列不等式可能成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点在圆上，点，，则( )
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
10.在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是，方差为；乙队每场比赛平均失球数是，方差是，下列说法正确的有( )
A. 平均来说甲队比乙队防守技术好 B. 乙队比甲队的防守技术更稳定
C. 每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少 D. 乙队可能有一半的场次不失球
11.设是定义域为的可导函数，若存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，则称函数具有性质则( )
A. 若函数具有性质，则也具有性质
B. 若具有性质，则
C. 若具有性质，且，则
D. 若函数具有性质，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.已知单位向量满足，则 ______．
14.已知椭圆：，点，分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，且垂直于轴过原点作直线的垂线，垂足为，过原点作直线的垂线，垂足为，记，分别为，的面积若，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
等差数列的公差不为，其中，，，成等比数列数列满足．
求数列与的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从年月日至日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
日
万人
计算，的相关系数计算结果精确到，并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖已知某个旅游团中有个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？
参考公式：，，，参考数据：．
17.本小题分
已知函数，．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ若对任意两个不相等的正实数，恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱台中，平面平面，底面为正方形，，．
求证：平面；
点在直线上，且平面，求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知是抛物线：与椭圆：的一个交点，的焦点为，为坐标原点．
Ⅰ若点到轴的距离等于，求的方程；
Ⅱ若点满足，求直线斜率的最大值；
Ⅲ若存在过点但不过点的直线，与交于另一点，与交于另一点，且为线段的中点，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知，又
故
解得舍去，或
故当时，可知
当时，可知
得
又也满足，故当时，都有．
由知
故
由得
解得
16.解：因为，
所以，，
因为，
所以，
所以，
由此可以认为日期与游客人数的相关性很强；
由知，，
所以，
因为，
所以回归方程为；
记，
，
，即，
，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
由，解得或舍去，
当时，恰有一次中奖的概率最大．
17.解：Ⅰ函数的定义域为，
，
当时，时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增；
当时，时，，时，，时，，
在、上单调递增，在上单调递减；
当时，时，恒成立，故在上单调递增；
当时，时，，时，，时，，
在、上单调递增，在上单调递减．
Ⅱ设，由得，
即．
设，则在上单调递增，
在上恒成立，
则在上恒成立，
设，，
函数的对称轴为，则时，取得最大值，．
，则
则实数的取值范围为．
18.证明：平面平面，底面为正方形，
，则，
，．
过，分别作，垂直于，，
则，，，
则，，
则，则，
即，
，
平面．
平面平面，底面为正方形，
建立空间直角坐标系如图：则，，，，，，
则，，，
，则，，则，
在直线上，设，，
平面，，即，得，
则，，
，
平面；
是平面的法向量，
则，
设与平面所成角为，
则，．
即与平面所成角的正弦值为．
19.解：Ⅰ设点，若点到轴的距离等于，
则，
由抛物线的定义有，，
的方程为；
Ⅱ设点，由题意可得，则有，
由有，点在抛物线上，
，
，
当且仅当时，即，等号成立，
直线斜率的最大值为；
Ⅲ当直线的斜率不存在时，此时，点和点重合，不满足题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
由，
，
，，
，又点在抛物线上，
，
又，
，
，又点在椭圆上，
，
，
又，当且仅当时，即时等号成立，
，
，的最大值为．

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