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2024-2025学年广东省广州四中高三（下）4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数在复平面里位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
4.已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为：，当棱台的高为，体积为时，则此时正三棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆与抛物线：，椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知角，满足，，则( )
A. B. C. D.
7.下列结论正确的是( )
A. 若数列的前项和，则数列为等差数列
B. 若数列为等比数列，且前项和，则
C. 若数列为单调递增的等比数列，则公比
D. 若，，是不全相等的非零实数，且，，成等差数列，则能构成等差数列
8.已知函数，它的两个相邻的极值点之间的距离为若先将函数的图像向左平移个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像，则在上的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 事件与事件相互独立，且，，则
B. 样本数据，，，，，，，，，的上四分位数为
C. 某分层抽样有层，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，则总方差为
D. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与点的残差相等，则
10.已知函数对任意的，都有，，且当时，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 是奇函数
C.
D. 不等式的解集是
11.已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分
C. 当时，三棱锥的外接球的体积为
D. 记点到直线的距离为，当时，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的第项是的展开式中的常数项，则该数列的前项和 ______．
13.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ______．
14.项数为的数列满足，，，，当且仅当时其中，，，，规定：，，称为“好数列”在项数为且，，，的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求的大小；
若，的平分线交于点，且，求的面积．
16.本小题分
人工智能简称的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能每人只能选一项，统计结果如下：
软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计
大学生人数
假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响．
从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；
从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，中的方差记作，比较与的大小．
结论不要求证明
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面．
求证：；
若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．
18.本小题分
已知函数，．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ当时，恒成立，求的取值范围；
Ⅲ当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且．
参考数据：．
19.本小题分
已知双曲线：的两条渐近线为，且经过点．
求双曲线的方程；
过点作两条互相垂直的直线两条直线的斜率都存在分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线两条直线的斜率都存在分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；依此类推得到点列，．
求数列的通项公式；
、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：直线的倾斜角总是；点和关于轴对称设点的坐标为，数列的前项和为证明：．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据，由正弦定理得，
在中，，
所以，整理得，
因为，，所以，，结合，可得．
根据平分，可得，
由，得，
即，整理得，
在中，由余弦定理得，
即，即，将代入得，解得舍负，
所以的面积．
16.解：设从该地区的大学生随机抽取人，此人选择“视频创作”的事件为，
则．
因为抽取的人中喜欢“视频创作”的人数为，
所以的所有可能取值为，，，
，，，
所以的分布列为：
．
或，则
由可得；
由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，
可得．
因此．
17.证明：连接，
在直角梯形中，易得，，
又因为，所以，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以，又因为，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以．
解：如图，取的中点，的中点，连接，，
由题意可得，，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
设为平面的一个法向量，
则，
令，则平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
所以，
解得或舍，
即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为，
平面，且，
所以到平面的距离为，又四边形的面积为，
所以四棱锥的体积．
18.解：因为其中，．
当时，恒成立，的增区间为，无减区间；
当时，令，得，由可得；由可得．
此时，函数的减区间为，增区间为．
综上所述：当时，的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为．
当时，恒成立，即恒成立．
令，则，其中，由，可得；
由可得所以，函数的减区间为，增区间为．
所以即，故的取值范围是．
当时，，，令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又因为，且，
所以存在唯一的，使得，即．
当时，，即，单调递减，当时，，
即，单调递增，所以是在上唯一的极小值点．
则，由可知．
19.解：双曲线：的两条渐近线为，且经过点．
故得，即，
又双曲线经过点，解得，
所以双曲线的方程为．
令，设两条直线的方程分别为和，
设，，由得，
由，得，，
则，，
点，同理得点，
于是直线的斜率，
直线的方程为：，
令，得，因此，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
证明：(ⅱ)设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为，
由消去得，因此，，
则，
所以．
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