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2025年湖北省宜昌市远安第一高级中学高考数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
4.若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则的解集是( )
A. B. C. D.
7.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下底面面积之差的绝对值为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在二项式的展开式中，前项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为
C. 常数项为
D. 展开式中系数最大项为第项和第项
10.已知，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则( )
A. B.
C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为
11.已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将两个，两个，一个排成一行，则不同的排法种数为______用数字作答
13.函数的最小值为______．
14.已知正四面体的棱长为，动点满足，用所有这样的点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为已知输入的问题表达不清晰的概率为．
求智能客服的回答被采纳的概率；
在某次测试中输入了个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数求的分布．
16.本小题分
如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上．
求证：平面平面；
当直线与平面所成角的正弦值为时，求．
17.本小题分
已知双曲线的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于，两点，当轴时，．
求的方程；
过作直线的垂线，垂足为．
证明：直线过定点；
求面积的最小值．
18.本小题分
已知，，函数，．
当时，求的极值；
若存在零点．
当时，求的取值范围；
求证：．
19.本小题分
如图，已知给定线段长为，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，靠近，以为底边向外部作顶角为的等腰三角形依次类推，取的腰的三等分点，靠近，以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列
用表示出的外接圆半径；
当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部；
若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：根据题意，设“输入的问题表达清晰”，事件“智能客服的回答被采纳”，
则，则，
，，
故，
根据题意，可取的值为、、、，则，
则，
，
，
，
故的分布为：


16.解：证明：由正方形有，又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，
所以，
过点作，则，，，
所以，
所以，即，
又，所以平面，又平面，
所以平面平面；
由知，，两两互相垂直，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图：
则有，，，，
设，则，
设，则有，
解得，，，
得；
所以，，，
设平面的法向量为，
则有，
令，得，
设直线与平面所成角为，
所以，
解得，
所以或．
17.解：由题设，则，
由轴时，，不妨令，代入双曲线得，
所以，则所求方程为；
证明：设，，则，由斜率不为，设：，
联立双曲线并整理得，则，，
所以，，
由，直线，
根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，
令，则，
因为，所以，
而，则，
所以过定点；
由，
由，，可得，
令，则，
由，故，当时取等号．
综上，的最小值为．
18.解：时，，
当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值．
当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增，
函数的极小值是，无极大值．
当时，因为函数存在零点，故有解，
若，此时无解，所以，有解，，
若，单调递增，，此时不存在零点；
若，令，，，
由零点存在定理可知存在，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，解得，故，
即的取值范围是．
证明：因为函数存在零点，所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故．
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离，
，所以，
时，要证，只需证，
即证，
令，，则，
令，，故，在上为增函数，故，
即，在上为增函数，
故，故，即成立．
19.解：设的外接圆半径为，
由题意知，，，
又，故，
故的外接圆半径为．
证明：设的外心为，外接圆半径为，的中点为，，
则，，，
注意到的中点也为，故A的中垂线与中垂线重合，
由题意知，，均在的中垂线上，
而，
，
故．
另一方面，，
故的外接圆内切于的外接圆，
从而的外接圆各点位于的外接圆上或其内部．
反复使用结论可得，的外接圆位于外接圆上或其内部，
故各顶点均在外接圆上或其内部，
若满足题意，则位于在外接圆上或其内部，
故A，
由知，
，，
由题意，，即，
解得，
故，
当，同上可得，
由知，，共线，故A，即
故，故的外接圆位于外接圆上或其内部，
故各顶点均在外接圆上或其内部，
故的范围为．
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