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2025年山西省、陕西省、宁夏、青海省四县区高考数学质检试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在展开式中，含项的系数是( )
A. B. C. D.
5.设，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则在上的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点，若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点若的内切圆与直线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有一组数据为，，，，，，下列说法正确的是( )
A. 该组数据的中位数为 B. 该组数据的平均数为
C. 该组数据的方差为 D. 该组数据的第百分位数为
10.将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是( )
A. 的最小正周期为 B.
C. 为偶函数 D. 在上共有个极值点
11.在四棱锥中，，，四边形是平行四边形，，分别为棱，的中点，，点在平面的射影恰好是棱的中点，则( )
A. 平面
B. 线段的长为
C. 三棱锥的外接球的表面积为
D. 平面与平面夹角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的内角，，的对边分别为，，，且，，则 ______，的面积为______．
13.已知点在抛物线：上，点为圆：上任意一点，且的最小值为，则 ______，圆的半径 ______．
14.设函数，函数，，若函数恰有两个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在正四棱柱中，，，为棱的中点，D.
证明：平面．
求的值．
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动次已知每个质点移动次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动次后到达的点所对应的积分之和．
积分
求质点移动次后到达的点所对应的积分为的概率；
求随机变量的分布列及数学期望．
18.本小题分
已知，分别为椭圆：的左、右顶点，，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点．
求椭圆的标准方程．
试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
19.本小题分
已知集合，，，，集合满足，，，当取不同值时，各不相同记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得．
当时，求，，，．
当时，证明：成等差数列．
设，，，，，，证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：定义域为，
，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
由可得，
若恒成立，则，即，
故的范围为．
16.解：证明：在正四棱柱中，易知平面，
因为平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面；
在正四棱柱中，
易知四边形为矩形，四边形为正方形，
则，由为的中点，
则，
由，易知
则，
可得，解得．
由可知为平面的一个法向量，
在正四棱柱中，易知，，两两垂直，
则以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，
则，，
设直线与平面的夹角为，
则
．
17.解：设事件为“质点移动次后到达的点所对应的积分为”，
由题意可知点两次移动后在点，又起点为点，即的移动一次向左一次向右，
所以；
的所有可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：


．
18.解：依题意可得：，解得，，
所以椭圆的标准方程．
易得，，设，，，，，
，，
则，
所以，
得，，同理可得，
则．
19.解；当时，集合，其子集及其对应的为：
空集：；：；：；：；
重新排列之后：，，，；
证明：当时，设，，
，，其中，，，，”，，，，，，
由得，去除，的相同元素，设剩余元素中最大的元素为，
设剩余元素中最大的元素为，，，，，若，
则同理有，所以对任意的，，即恒成立，由题意可知，，
因为对任意的，，恒成立，且，
所以，所以，故，
所以成等差数列；
证明：若，，
即，
若不包含于，则，，不妨设，，
则，，，，由，得，
设，，，，，
，，，，
由，，得
，
因为，所以，
则，
因为，，所以，因为，，所以，
，
即，得，
即，
综上所述：．
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