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2025年江苏省南通市如皋中学高考数学适应性试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.在直角梯形中，，，，是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
4.有个男生和个女生站成一排合影，则女生甲不在两端且个女生不相邻的不同排法总数为( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在四面体中，，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，点到直线的距离为，则四面体体积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.每年月日为“世界读书日”，某小学为鼓励学生进行课外阅读，拓宽学生眼界，对热爱课外阅读的班级进行表彰，规定从班级中随机抽取位同学，统计他们一学年内阅读课外书籍的本数，若抽取的位同学在一学年内阅读课外书籍的本数都不低于，则该班级被评选为“优阅班级”以下是个班级抽取的位同学的统计数据：
六班：中位数为，众数为
六班：众数为，极差为
六班：平均数为，极差为
六班：平均数为，方差为
根据以上信息，一定被评为“优阅班级”的是( )
A. 六班 B. 六班 C. 六班 D. 六班
10.在棱长为的正方体中，点在棱上运动，则( )
A. 若点为的中点，则平面平面
B.
C. 异面直线，所成角的取值范围是
D. 点到平面距离的最小值为
11.设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则( )
A. 集合不是“可拆等和集”
B. 若集合是“可拆等和集”，则的取值共有个
C. 存在公比为正整数，且公比不为的等比数列，使得集合是“可拆等和集”
D. 若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.在的展开式中，常数项为______．
13.在平面直角坐标系中，已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，设线段的中点为，若，则实数的值为______．
14.某校高三年级共个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立根据以往经验，高三班选手甲和高三班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为，除甲、乙外的其他名选手水平相当，则高三班的选手甲通过第一轮的概率为______，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，，且对任意的，，都有．
设，求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求证：．
16.本小题分
在中，，，分别是内角，，的对边，．
求角的大小；
设为边上一点，若，且，求面积的最小值．
17.本小题分
已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为．
求的值；
证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且．
18.本小题分
在正三棱台中，，，分别是，的中点．
求证：四边形是矩形；
若，求直线与平面所成角的正弦值；
若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知纵坐标为的点是抛物线：上一点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，若直线，的斜率之和为．
求抛物线的方程；
设，都在轴下方，且点在点的左侧，直线，与轴分别交于点，，记，的面积分别为，，求的最大值；
记点关于轴的对称点为，设直线，交于点，直线，交于点，求证：直线恒过定点．
参考答案
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15.解：依题意，对任意的，，都有，
又，
则对任意的，，，
所以数列是公差为的等差数列，
又，，
所以，解得，
故，
所以；
证明：由可知，，
所以当，，
，
又符合上式，所以；
所以，
故
，
因为，，
所以．
16.解：依题意，，即，
结合正弦定理，可得，
因为，，所以，
即，
故，
因为，，，则，故；
因为，
所以，，
所以，
所以，
即，整理得．
由，可得，当且仅当时，等号成立．
故面积，
即面积的最小值为．
17.解：由题意，函数的定义域为，则，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，
所以的值为．
证明：由知，，，则，
于是切线的方程为，即，
令，，求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
由，得，而，函数在上的图象不间断，
则存在，使得，且当或时，，当时，，
函数在和上单调递增，在上单调递减，又，
当时，，于是函数在上无零点，
，而，函数在上的图象不间断，
因此存在，使得，
所以当时，切线与函数的图象有另一交点，且．
18.解：证明：延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结．
在正三棱台中，，是正三角形，
因为，分别是，的中点，
所以，且，
又，且，
所以，且，四边形是平行四边形．
因为几何体是正三棱台，
所以三棱锥是正三棱锥，是底面正的中心，所以．
又平面，平面，所以．
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，所以．
在正三棱台中，，是的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以
所以四边形是矩形．
延长交于点，连结，过点作，垂足为，连结．
由可知，平面，即平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面．
所以为直线与平面所成角．
在正三棱台中，，，不妨设，
则，，．
在等腰中，．
在中，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，“在上底面”为事件．
显然，当，时，，．
由全概率公式，当，时，
可得，
即，整理得．
所以当，时，，
又，，，
所以当，时，为定值，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
可得．
19.解：根据题目：已知纵坐标为的点是抛物线：上一点，
斜率为的直线与抛物线交于，两点，若直线，的斜率之和为．
设直线方程为，即，，
联立方程组，整理得，所以，
因为直线，的斜率之和为，即，
而，同理，
所以，整理得，
所以，解得，
所以抛物线的方程为；
由题：设，都在轴下方，且点在点的左侧，直线，与轴分别交于点，，记，的面积分别为，，
由可知，，，，点，
所以，．
直线的方程为，令，解得，
所以，同理．
所以，
且，其中为点到直线的距离，
所以
，
因为，都在轴下方，所以，即，
所以，
所以当且仅当时，取得最大值．
证明：记点关于轴的对称点为，设直线，交于点，直线，交于点，
显然轴的对称点为的坐标为．
因为直线的方程为，
且直线的方程为，
联立方程组，消去可得，
，所以，
同理与互换．
若，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
整理得，此时直线恒过定点．
若，则直线的方程为，经过点．
综上所述，直线恒过定点．
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