资源简介

2025 年四川省泸州市高考数学三诊试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | = + 1}， = { | = 2 }，则 ∩ =( )
A. {(0,1)} B. (0, + ∞) C. [0, + ∞) D.
2.已知复数 满足( + )(1 + ) = 2，则 =( )
A. 1 B. 1 + C. 1 + 2 D. 1 2
3.( 2 1 )
6的展开式中的常数项为( )
A. 20 B. 20 C. 15 D. 15
4.已知 + 2 = 0，则 2 =( )
A. 45 B.
4
5 C.
3 D. 35 5
5.已知函数 ( ) = [log 2(4 + 1) + ] ，对 ∈ 满足 ( ) = ( )恒成立，则 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
6.已知函数 ( ) = sin( 3 )( > 0) (
2
的图象关于点 3 , 0)

对称，且在(0, 2 )上为增函数，则 的值为( )
A. 12 B. 1 C.
3
2 D. 2
7.已知圆台的上底面半径是 1，下底面半径是 2，且圆台的体积为 7 ，则该圆台的外接球的表面积为( )
A. 5 B. 13 C. 20 D. 25
2
8
2
.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的焦点分别为 1， 2，过 1的直线与 交于 ， 两点，若| 1| = 2| 1|，
且∠ = 2 2，则 的离心率为( )
A. 5 B. 1 C. 59 3 3 D.
5
9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知 10 个互不相同的样本数据 1， 2，…， 10的平均值为 ，则关于新样本数据 1， 2，…， 10， ，下
列说法正确的是( )
A.极差不变 B.平均数变大 C.方差变小 D.中位数变小
10.在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，过点 (4,0)的直线 与抛物线 交于 ，
两点，则下列说法正确的是( )
A.对任意直线 ，均有∠ = 2
B.若| | = 2| |，则| | + | | = 11
第 1页，共 9页
C. △ 面积的最小值为 16
D.以 为直径的圆与 的准线不可能相切
11.若函数 = ( )的图象上存在 个不同点 1， 2，…， ( ≥ 2, ∈ )，且在这 个点处的切线的斜率相
等，称该函数 = ( )存在 点切线，则下列说法正确的是( )
A.函数 ( ) = 存在 点切线
B.函数 ( ) = 1 1存在 点切线
C.若函数 = ( )为单调函数，则该函数不存在 点切线
D. 1若函数 ( ) = + 2存在 3 点切线，则 的取值范围是( 6, + ∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 2，且| | = 2，则| + | = ______．
13.某班举行中国民族音乐晚会，晚会安排了 1 个吹奏节目，2 个弹拨节目，1 个拉弦节目，2 个打击乐节
目，安排演出顺序时，要求 2 个弹拨节目不能相邻，且吹奏节目排在最前或最后，不同的排法种数为
______. (用具体数字作答)
14.在△ 中，若 = ，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某校课题组在高一年级选取 ， 两个班级，开展“数学问题深度学习”的研究，其中 班为常规教学班，
班为课改研究班，两个班级的人数分别为 50 人.在某次数学测试后，对 ， 两班学生的数学成绩(单位：
分)进行整理，分数分布在[90,150]内，按照[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]
分组，得到如下的频率分布直方图，并规定：小于 120 分为不优秀，大于或等于 120 分为优秀．
第 2页，共 9页
(Ⅰ)由以上统计数据填写下面的 2 × 2 列联表，并根据相关数据判断，能否有 95%的把握认为成绩是否优秀
与课改研究有关？
数学成绩 班 班 总计
优秀
不优秀
总计
(Ⅱ)对 ， 两班成绩在 110 分以下的学生，按照班级进行分层，采用分层随机抽样的方法抽出 6 人，再从
抽取的这 6 人中随机抽取 2 人，记 为抽取的 2 人中来自 班的人数，求 的分布列和数学期望．
0.1 0.05 0.025 0.01
2.706 3.841 5.024 6.635
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 1) 1 22 ．
(Ⅰ)当 = 2 时，求 ( )的极大值；
(Ⅱ)若 ( )在(0, + ∞)有最小值，且最小值大于 ，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
在四棱锥 中，底面 是梯形， // ， = 2 = 2 ， ⊥ ， ⊥ ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(Ⅱ)若△ = 2 7是正三角形， ，点 是棱 上的动点，当平面 与平面 的夹角的余弦值为14时，
求 的长度．
18.(本小题 17 分)
已知数列{ }的前 项和为 ( ∈ )，且满足 + = + 2，若 = 1．
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
第 3页，共 9页
1
, 为奇数,(Ⅱ)设 = 1 ， = +2
2 , 为偶数.
( )试比较 3与 4的大小，并说明理由；
( )若数列{ }的前
5
项和为 ，求证： < 6．
19.(本小题 17 分)
2 2 6
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > > 0)的右顶点到其渐近线的距离为 3 ，点(2,1)在 上．
(Ⅰ)求 的方程；
(Ⅱ)过点 (2,0)的直线 交双曲线 于 ， 两点．
( )若 与 4的渐近线交于点 ， ，且 △ = 3 ( 是坐标原点)，求 的方程；△
( )记 = ，若点 满足 = ，求点 的轨迹方程．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 2
13.144
14.43
15.解：(Ⅰ)由图可知， 班优秀人数为：50 × (0.02 + 0.016 + 0.008) × 10 = 22；
班优秀人数为：50 × (0.028 + 0.024 + 0.012) × 10 = 32；
数学成绩 班 班 总计
优秀 22 32 54
不优秀 28 18 46
总计 50 50 100
2 = 100×(22×18 32×28)
2
54×46×50×50 ≈ 4.026 > 3.841，
所以有 95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关．
(Ⅱ)由图可知， 班 110 分以下人数为：50 × (0.024 + 0.008) × 10 = 16；
班 110 分以下人数为：50 × (0.004 + 0.012) × 10 = 8；
采用分层随机抽样的方法抽出 6 人中， 班有 4 人， 班有 2 人，
所有取值为：0，1，2；
2
( = 0) = 22 =
1
，
6 15
第 5页，共 9页
1
( = 1) = 4
1
2
2 =
8
6 15
，
2
( = 2) = 4 = 22 5， 6
的分布列为：
0 1 2
1 8 2
15 15 5
数学期望 ( ) = 0 × 1 8 2 415 + 1 × 15 + 2 × 5 = 3．
16.解：(Ⅰ)当 = 2 时， ( ) = ( 1) 2，
′( ) = + ( 1) 2 = 2 = ( 2)，
令 ′( ) = 0，解得 = 0 或 = 2，
当 < 0 或 > 2， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
当 0 < < 2 时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
所以当 = 0 时， ( )的极大值为 (0) = (0 1) 0 02 = 1．
(Ⅱ) ( ) = ( 1) 12
2， ′( ) = = ( )，
当 < 0 时， ∈ (0, + ∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增，无最小值，不符题意；
当 > 0 时，令 ′( ) = ( ) = 0，则 = 0 或 = ，
当 0 < ≤ 1 时， ∈ (0, + ∞)， ′( ) > 0，所以 ( )单调递增，无最小值，
当 > 1 时，当 0 < < ， ′( ) < 0，当 > ， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递减，
所以当 = 时， ( )有最小值，最小值为 ( ) = ( 1) 1 22 ( ) = [ 1
1
2 ( )
2]，
[ 1 1 ( )2] > 1 1所以 2 ，即
2
2 ( ) > 1，
化简得 12 ( )
2 + > 0，即 (2 ) > 0，
解得 0 < < 2，即 1 < < 2，所以 的取值范围是(1, 2).
17.解：(1)证明：设 = ，则 = 2 ， = ，
梯形 中， ⊥ ， // ，所以 = = 2 ，
因为 = 2 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，
第 6页，共 9页
所以平面 ⊥平面 ．
(Ⅱ)因为 = 2，所以 = 2，△ 是边长为 2 的正三角形，
以 为原点， ， 分别为 ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设 = (0 ≤ ≤ 2)， (2,0,0)， (1, 1,0)，
= (1,1,0)， = (1,0, 3)， = ( 2, , 0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= + = 0
则 ，
= 3 = 0
令 = 1，可得 = ( 3, 3, 1)，
设平面 的一个法向量为 = ( 1, 1, 1)，
= 2 +
则 1 1
= 0

，
= 1 3 1 = 0
令 1 = 3 ，可得 = ( 3 , 2 3, )，
因为平面 与平面 的夹角的余弦值为 7，
14
| | |4 6| 7
所以| || = = | 7(4 2+12) 14，
11
解得 = 1 或= 5 (舍)；
所以 的长度为 1．
18.解：(Ⅰ)因为 + = + 2①，所以 = 1 时， 1 + 1 = 3
3
，解得 1 = 2，
≥ 2 时， 1 + 1 = + 1
1
②，由① ②得， 1 + = 1，所以 = 2 ( 1 + 1)( ≥ 2)，
则 1 1 = 2 ( 1 1)( ≥ 2)，即 =
1
2 1( ≥ 2)，
1 1 1
因为 1 = 1 1 = 2，所以{ }是以2为首项，2为公比的等比数列，
1
所以 = ( 2 ) ；
第 7页，共 9页
1 , 为奇数,
(Ⅱ)由(Ⅰ)， = 1 = =
( +2)
，所以
2 sin( 1
，
) 2 , 为偶数.
( ) 3 > 4，理由如下：
3 =
1 = 13×5 15， 4 = sin
1
16，
设函数 ( ) = ，则 ′( ) = 1 ≥ 0 恒成立，所以 ( )在 上递增，
又 (0) = 0，所以当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) = > 0 恒成立，
即 > 在(0, + ∞) 1 1 1上恒成立，所以 sin 16 < 16 < 15，即 3 > 4；
( )证明：由已知得，当 为奇数时， = ( 1 + 3 + . . . + ) + ( 2 + 4 + . . . + 1)
1 1 1 1 1 1
= ( 1× 3 + 3 × 5 + . . . + ( + 2) ) + [sin(2 )
2 + sin( 4 12 ) + . . . + sin(2 ) ]
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 2 (1 3 + 3 5 + . . . + + 2 ) + [sin(
2
2 ) + sin(
4
2 ) + . . . + sin( )
1
2 ]
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 [1 ( ) 2 ]
< 2 (1 + 2 ) + [( )
2
2 + (
4
2 ) + . . . + ( )
1
2 ] = 2 (1 + 2 ) +
4 4
1 14
= 5 1 1 1 1 56 2( +2) 3 × ( 2 ) < 6；
当 为偶数时， = ( 1 + 3 + . . . + 1) + ( 2 + 4 + . . . + )
1 1 1 1 1 1
= ( 1× 3 + 3 × 5 + . . . + ( 1)( + 1) ) + [sin(2 )
2 + sin( )42 + . . . + sin( )

2 ]
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 2 (1 +
2 4
3 3 5 + . . . + 1 + 1 ) + [sin(2 ) + sin(2 ) + . . . + sin(2 ) ]
1 [1 (1

1 1 1 2 1 1 1 1< (1 ) + [( ) + ( )4 + . . . + ( ) ] = (1 ) + 4 4
)2]
2 + 1 2 2 2 2 + 1 1 14
= 5 1 1 1 56 2( +1) 3 × ( 2 ) < 6；
故 <
5
6．
2 2
19. ( ) = 1 ( , 0) = 解： 由双曲线 ： 2 2 可得右顶点为 ，其中一条渐近线方程为 ，
4 1 6
因为双曲线 经过点(2,1)，可得 2 2 = 1，又因为右顶点到渐近线 = 的距离为 3 ，
6 2
可得 = 联立方程组，解得 = 2， = 1 ，所以双曲线 的方程为 2
2+ 2 3 2
= 1．
2( )( )由双曲线 ： 22 = 1
1
，可得渐近线方程为 =± 2 ，即 ± 2 = 0，
第 8页，共 9页
设直线 的方程为 = + 2，且 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)， ( 4, 4)
= + 2
联立方程组 2 2 ，整理得(
2 2) 2 + 4 + 2 = 0，则 2 2 ≠ 0，
2 = 1
且 = (4 )2 8( 2 2) > 0，
≠ 2 + = 4 解得 ，可得 1 2 2 2，
2
1 2 = 2 2，
2
则| 21 2| = ( 1 + 2)2 4 = (
4 )2 8 = 8 +161 2 2 2 2 2 ( 2 2)2，
2 2
| | = 8 +16 = 1 × 2 × 8 +16 = 8
2+16
即 1 2 2 2 ，所以 2 2 2 2 2 ，
= + 2 2 2
联立方程组 ，解得
± 2 = 0 3
= + 2 , 4 = 2，
4 2
1
所以 = 2 × 2 × | 3
4 2 4 2 2
3| = 2 2，因为 = 3，可得 =
4 2 = 4，
8 2+16 8 2+16 3
2 2
=± 1 1解得 2所以直线 的方程为 =± 2 + 2.即 2 + 4 = 0 或 2 4 = 0．
( )设 ( , )，由 = ，可得(2 1, 1) = ( 2 2, 2)，
21 2
1 = 2 + 2(1 + ) 1 = 1可得 = 因为 ， 在曲线 上，可得
2
2 ，
1 2 2
2
2
2 = 1
[ 2 2(1+ )]2
2 = (
2
2) = 1
= 3 1 1 所以 ，解得
2 22 2 2
2 ，所以 1 = 2 + 2又由 = ．
2 2 = 1
可得( 1, 1) = ( 2 , 2 )，即 1 = ( 2 )，即(1 ) = 1 2．
将 1 =
1
2 +
1 1
2和 2 = 2 2 ，代入化简得(1 ) = 1 ，因为 ≠ 1，可得 = 1，
所以点 的轨迹方程为 = 1．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑